книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfгде операторы Л £. ( 0 |
имеют вид |
(3.2). |
В общем случае |
колебания |
||
пластинки вызываются |
внешними усилиями |
вида (3.4), |
а начальные ус |
|||
ловия нулевые. |
|
|
|
|
|
|
Как |
и при рассмотрении трансверсально-изотропной пластинки, пе |
|||||
ремещения |
и, V , w будем искать, |
полагая их равными |
(З.б) .Для пре |
|||
образованных перемещений и09 V0,иТ0 из уравнений |
(3.36) |
получаем |
||||
систему обыкновенных уравнений |
|
|
|
|
||
А<55 J J T
(3-37'
При атом граничные условия (3.4) принимают вид
|
кА(0)и +oA(0)v +A(0)^ L - F± • |
|
||
|
K* i 3 ui |
& cLz " rz,о 9 |
|
|
|
|
, |
|
(3.38) |
|
|
+ d z |
“ ^ 5 5 -* Fxz.to\ |
|
|
|
|
F^z,o> * =±h- |
|
Здесь |
A^j - |
преобразованные по Лаплаоу операторы A^. |
||
Общее решение системы (3.37) ищем» полагая |
и1 -А&*х; |
|||
W = c e * z |
Для |
определения об из этой системы |
выводим алгебраи |
|
ческое уравнение шестого порядка |
|
|||
|
|
ос6-а0а4+Ьдссг-со=0, |
(3.39) |
|
Зак.689
где
-*»<л,> % № -% (л % * А % и ,у,
(3.40)
4 M > ^ V 2x<V“< v ^ < < ’‘ 2+
> № г+*(:1 я г*РРг)-к !(А' ? Ч ? М > Ч ? « г^ г)-
Корни уравнении (3.39) связаны зависимостями
оС1 *осг +из~ ао> « fë + c c fo c l* а *** -Ь 0; *,г<*?л ! =с0 ,’
(3.41)
& < № & ' № < № * : * * % * * + * * ) •
которые можно обратить по к, р , q . Как и при рассмотрении задачи д м
трановероально-изотрапной пластинки, после подстановки общего раде ния уравнений (3.37) в граничные условия (3.38) последние можно выразить через комбинации (3.41) и получить точные уравнения ко лебания.
Рассмотрим частный случай, когда внешние уоилия и искомые пере мещения не зависят от координаты у. При зтом система (3.37) приво дится к ВИДУ
|
(3.42) |
.(о)4гЩ |
d u t |
т.в. функция Щ определяется независимо от |
и ., Щ . Общие решения |
уравнений (3.42) |
|
u1 =A1ch(ocf z)+Azch(otzz)+A3sh(oi1 z ) +А^Н(осг г) ; |
|
V1 = в,сИ (рг)+ Bzsh(pz)', |
(3.43) |
Щ=[^,5^(afz)+/43cA(a,z)]o)f+[/12^Л(а2г;+/44с/7(а2г)]й/2 .
Здесь
A<J s aj - ( AHlk‘ +PP*>
“i= |
к |
’ |
а корни ос1$л г,)з удовлетворяют уравнениям
- p p z( p f ü * p ' ^ ’^ < p f p z*pi^')dSi * ‘*pi>‘> o -,
< У - М % кг+ррР)=0.
Продольные колебания пластинки. При продольных колебаниях плен
етинки внешние усилия Fz , |
Fj |
долины удовлетворять условиям |
F * = |
|
= F~; F^z -- F ~ z ', F*z |
- |
- F~z |
или постоянные интегрирования |
|
А3 , Ач< Вг необходимо полошить |
равными нулю. |
|
||
Разлагая (3.43) в степенные ряды по z и вводя главные |
части |
|||
смещений U0 =Af + Az ; |
Vg = B1 ,‘ |
W0 = cCjCOjAf* &г <ог А г |
для |
|
ч1, trf , urf , получаем
" |
A 'S |
° " Ju “ |
A T , |
Л / (2 л )! ’ |
2п
(3.44)
|
» 4 ? м “,+4"> |
|
” ’* |
|||
|
хо) |
г |
2 |
|
|
|
|
jf°h Z |
|
|
|||
■m «> |
* ” * |
^ |
|
^ о к . И |
z2"** |
|
(<?/•+! |
^ |
|
|
^ Я 2 л + / ) ! |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Г*г ^ г п — |
пгг /У2 П |
2i.2.w |
n(o)_Ç.’ 2(n-t-i) zi. |
тт_г*1 |
/ г |
||||
°я " * ? Л |
^ |
' |
Тп |
---- — а 1а г°п -г |
|
|
Д м главных честей |
t^. VQ, |
W0 |
из граничных условий (3.38) при |
|||
ходим и оиотеыв |
|
|
|
|
|
|
|
(Ф) 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
° |
Us+ |
|
г,») *ЭДЗД*">м .MW»)_ /,it*:V p 2 |
M| |
) Лг" _ |
|||
+ 1 Л з ---------- |
®п + Л м ( в/»1 |
А(0) |
Q n UWo)(2ri)[~ |
||
|
= Fz,o(k>4t P)'> |
|
|
|
|
ZI J62(rt+1) |
i2n+1 |
|
|
(3.46) |
|
V° (2 n + 1 )\ ~ |
? ц г ,о (к>Я>РУ' |
||||
n*0' |
|
||||
g |
(\(Аик2+РРгс(0) - л*игмо)\ |
|
||||
S u \ |
Afs |
Qn+1 |
1 2 °" ) |
|
||
10) |
|
|
|
|
|
|
-Q. |
|
*% (*£ + *& ) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
а,Л« A(0)\ |
(0) |
(o) |
A1t к +pp |
|
,zn*i |
|
[ k(A13+As s ) |
O M |
|||||
+ L— ®— |
Q”+' ~k (Qn + r- |
W F |
(2n+1)l |
|||
|
|
|
|
'55 |
|
|
= \AsÏÏ'FXZ)0(k,< l,p ).
Обращая (3.45) no к , p , выводим точные уравнения продольного колебания ортотропной плаотинки в плоской постановке ;
/^о{~ fa ?A,3^ ^ +/,5К ^ 2 ~AHfaï)Qn+A33ASs(AI3+Ass)
*[Aî s ^ г - А5 5 ^ ( р ^ - Ан ^ + ( р ^ ~ Аи £ ? ) } Q^ U(2nÿ,~
~^^ÇA13A650x 2(A13+A5s)Qn+A33[Qn+rA5s(PfaZ~AH0xz)Qn^*
a 4 6 )
7^^^г®П+А5${Р^~АП%£?)®П+» ~ [A55(A13+ASS)] ®n*
*[A” X* - A*SX1I% $ - A» & H $ ~ A" £ F) ]}yâ ^ "
~ ^ 0 \ ^ S s (A t3+ A Ss)Q n+t ~ [Q n + rA 5S ( f if a l~ A H J X F)® n ■j}'*
Я UZn+1 1
Для перемещений u , v , W через главные части U, V, W находим
U=%ofcn+As5(Pà i ~A" fo ^ Q^ U A*s(A,3+A5s)Qnfa}(£n)\;
|
V= % o ^ )V(2n)\ |
» |
|
||
ы г - ф ^ |
Л |
. ' Я |
\.Ass^iz |
Ass^ii{Pgt2~Al,âx *)* |
|
+(А11дхг |
Л « 2/ К М ОUd*)(zn+1)\+ |
||||
oo |
|
4 / |
/92\ |
_ 2п+/ |
|
+ ^Г0^ " +,“ Ass( /!>ât2 ~ A,1d x *)Qn^W(2n+1)! * |
|||||
Здесь операторы |
|
, Л(^ |
выражаются через комбинации опера |
||
торов л,2, сс| (см. |
табл. I и 2): |
|
|
||
“^зз Ass) "{[(^гз+Ass)~АиАзз~А55^дхг+
+(А33+-455)/?^-| ;
Af2,-M /1 Y1( o - - A -Щ (о — -А — )
*-1z-tA33A<*) [Pâtг Aiigxz)[Pâtz AssâxzJ-
В частности, ограничиваясь первыми слагаемыми в рядах (3.46), подучаем приближенные уравнения
(Аи Азз Ah )(% Ji) P AM $ jw )~ A'3( j x ) |
1 Азз(ГхгУ> |
|
Ш |
х - J - A A 1 (F |
) |
fa z |
/4 * /V«vryz-' |
|
Поперечные колебания пластинки» Чисто поперечные колебания вяз коупругой ортотропной пластинки возникают в том случае«когда внеш-
m e усилил удовлетворяет условиям Fz+ = -Fz ; Fx z -F~z ; = F ft ,
• греничные условия будут вшодняться, если постоянные интегрирова ния А, = Аг = Bf = 0.
Преобразованные величины перемещений в рядах по |
Z аписывавт- |
||||||||||||
ел формулами |
|
|
|
|
|
|
|
z2n+f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2п+1)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лп+1а |
z |
гп*1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
____ . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
в‘ (2п*1)1 ' |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
,2п |
|
|
|
2п . |
Л п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(СпП |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вводя вновь главные части величин |
UJ0 = «,Л3 + л г Ач ; |
Vt0 = |
|||||||||||
=JSBZ, W10- |
tü1 A3+ û>2 A+ , для ut, vrv |
|
urt |
получаем представления |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
>, - |
T- J/n (0) J (0> |
* , а г |
Qi0)\U |
i |
|
|
||||||
|
и1~£о“ ваН ~А п А("к1+/>р2 Qn |
)U,° |
|
|
|||||||||
|
/ \ |
A(0) |
2 Q(„a)K |
Л- |
2/7+/ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
' № + Р Р г |
|
л |
|
10J(2n+1)l |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Zn +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n+1)\ |
’ |
|
|
|
(3.47) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W. |
|
|
k(A '«k‘ *p p ‘ > |
|
|
|
" |
'* |
|||||
i=» V l |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
.2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2/J)! |
|
|
|
|
Обращая выражения |
(.3.47) по k ,p , |
записываем |
|
|
|
||||||||
u ^ |
0^ r |
As5(A33A^ ) \ p ^ ~ As s ^ |
W |
+ |
|
||||||||
|
|
|
/ |
|
-2 |
|
|
|
Л2\ |
|
\ |
-2Л+1 |
|
+(A13+As s )(A33A44t) 1\Pjt z ~ |
д х гГ |
п |
Ч (2n+1)\ ’ |
|
|||||||||
87
xr=T. |
z 2n+/ |
(3.48) |
|
' (2n+1)\ |
|||
n-0 z |
5 |
w “^,{ [''«Hsa'W (pft* A&JL*) ^îîA'',+
0
+lTn+ ASS(A „ A ^ ) (P ^ 2 ~ A5 S ^ F) ^ Wi}(2 Ïiji•
Главные части смещений Ul9 Vu W1 удовлетворяв? уравнениям, сле дующим из граничных условий. Тогда
„?о{ д х гА,3^ п^ Ass(A»aA^) (p/ t 2 Assgx z jQn\
~A3^-AS S (A33A ^ ) (PgPjT~ ASSg^r)~ASS^11 +
(A13+A5S )(A33K* ) \P§ti~A55'£g)(*n~
- Азз[-*к $ п +А55(АззАм ) |
M ! =f c ; |
£ { B U - ^ С^ЗЗ^44) \p§^Z ~ AS5fal)
(3.49)
~ [^ 1 гМ з З ^ 44) \ P f p ~ A S 5 f a ï ) ~ A S 5 Я П>+
Уравнения (3.46) и (3.49) являются точными уравнениями про дольных и чисто поперечных колебаний ортотропной вязкоупругой плас
тинки в плоской постановке* |
|
|
|
|
|
Примечание* Как видно из полученных результатов» учет |
анизот |
||||
ропии материала весьма сильно осложняет изучение колебания |
анизот |
||||
ропной вязкоупругой пластинки. |
|
|
|
|
|
Пусть для простоты колебание пластинки не зависит |
от |
коорди |
|||
наты^, а в системе плоских координата:^'материал среды |
|
трансвер |
|||
сально-изотропен» т*е* |
зависимости |
& ~ € |
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
(3.50) |
Произведем поворот |
осей a:', z ' вокруг перпендикулярной |
оси у |
|||
на угол у. Тогда вместо |
(3*50) в новых координатах (x,z) |
имеем |
|||
6ХЯс=Аи (£х х )+А13(еZ Z )+А15(е х г ); |
|
|
|||
&гг = Af3(€xx,)+A33(€zz)+A2S(€x z ) ‘, |
|
(3.51) |
|||
бд-jr= A^g(sxx )+AZS(£ZZ)+ASg(€x z); |
|
|
|||
при этом операторы Ay выражаются |
через |
операторы Ау* |
по |
зависимое- |
|
тям[16]
A n=A^cos^<p-(2Acf3 +A(Js)sLnz(fCOSZf+A(H sln4y ;
Л 33= A ^ s in ^ H Z A ^ A ^ s in ^ c o s^ + A ÿ co sy ,
A^HA^+A^-ZA^-Aÿ )slnz<pcosz<p+A%};
Зак.689
А**=4 (4 !>+Аз1 -2Агз~Ам )sLnz<fcoszr+Als l ; |
(3.52) |
|
A,5=\_2A(llsLn*<f-Z^cosz<p+(2A^+A%y
x ( cosz<p-sLnz(fj\siri(fcos<p ;
Azs-\2A^lco$zy-2A f a n гу -(£ А^+А%) *
*(cos?<p-sinz</>) sin (pcos <f,
■ уравнения движения в перемещениях принимают вид
(3.53)
Ы В ) ^ > М & Н Ш ) У
* Ы & У Ы & ) М В Ь ж -
Боли пластинка толщиной 2Л |
расположена в плоскости (о:,у) |
при |
|||
чем ось х |
дожит в средней плоскости пластинки, то задача |
сводится |
|||
к исследованию уравнений (3.53) |
при граничных условиях,заданных |
на |
|||
поверхностях пластинки |
z = ± /?. |
Здесь имеем вязкоупругую |
пластинку |
||
о "косой* |
анизотропией, |
для которой при любых внешних зоэдействиях |
|||
невозможны ни чисто продольные, ни чисто поперечные ходебания,а воз никают бодее сложные продольно-поперечные колебания*
Ддя нахождения общих решений уравнений (3.53) необходимо искать
смещения и , иг: |
|
|
ОО |
|
|
a = J e x p (ik x ) d k ^ u 0 e x p ( p t ) d p i |
(3.54) |
|
-00 |
I |
|
ОО
цг= J e x p ( ik x ) d k J ги0 e x p ( p t ) d p , |
(3.55) |