книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек
..pdfствами связующего; В то же |
время жесткость и прочность материала |
в направлении армирования |
характеризуются свойствами жестких |
и прочных волокон. Поскольку свойства полимерных связующих из меняются мало (табл. 3), анизотропия свойств композиционных мате риалов на основе перспективных наполнителей (табл. 1) существенно увеличивается. Анизотропия материалов, армированных жесткими и прочными волокнами, как правило, очень существенна, поэтому
необходимо внести поправки не только в |
постановку |
задач, но |
и в |
|||
привычные |
определения |
(тонкая оболочка, длинная |
и |
т. д.) |
[4 ]. |
|
В связи |
с этим для |
современных композиционных |
материалов |
|||
оказалось необходимым учитывать факторы, которыми |
пренебрегают |
|||||
обычные классические и технические теории стержней, |
пластин и обо |
|||||
лочек. |
|
|
|
|
|
|
§ 3. Основные направления исследования устойчивости |
|
|||||
тонкостенных элементов конструкций |
|
|
|
|
||
В настоящее время при исследовании |
устойчивости элементов кон |
|||||
струкций наметилось три основных направления. |
|
|
|
|||
Первое |
направление связано с исследованиями, выполненными на |
основе классических прикладных теорий стержней, пластин и оболо чек. Поскольку задачи устойчивости являются типичными для тонко стенных элементов конструкций из традиционных материалов (ме таллов), они в большинстве случаев ставились и исследовались на ос нове одномерных и двумерных теорий стержней, пластин и оболочек, построенных на гипотезах, Эйлера — Бе.рнулли Кирхгофа — Лява. Эти исследования позволили получить многие важные результаты, использующиеся при проектировании различного рода сооружений и
конструкций. В монографиях [26, 37, 82, |
111, 114, 118, 123, 130, |
131), |
в обзорных работах [31, 38, 41, 42, 144) |
н в некоторых других |
изло |
жены основы прикладных теорий устойчивости, методы исследований и решэния конкретных задач, а также дан анализ исследований по устойчивости упругих и неупругих систем. Кроме упомянутых работ вопросам устойчивости как в теоретическом, так и в практическом ас пектах посвящено много публикаций в нашей стране и за рубежом.
Ко второму направлению можно отнести исследования, проведен ные на основании уточненных одномерных и двумерных теорий стерж ней, пластин и оболочек. Эти теории построены путем введения соот ветствующих кинематических гипотез менее жестких, чем классиче ские, или при помощи других способов приведения трехмерных задач к двумерным. Одной из первых кинематических моделей, выходящей за рамки классических гипотез, была сдвиговая модель С. П. Тимо шенко [152]. В дальнейшем двумерные уточненные теории, учитыва
ющие |
деформации |
поперечных сдвигов, были |
развиты в |
работах |
|
[3...5, |
115, |
119, 120, 139, 147, 150] и др. |
|
|
|
Задачи |
устойчивости элементов конструкций |
из армированных ма |
|||
териалов с |
учетом |
макроструктуры, рассматривались В. В. |
Болоти |
ным и |
его сотрудниками на основе предложенной им континуальной |
теории |
армированных сред [30]. В этой теории введены вспомогатель- |
|
п |
ные гипотезы при исследовании взаимодействия наполнителя и свя зующего и применен принцип осреднения.
К третьему направлению относятся работы, выполненные в трех мерной постановке без привлечения каких-либо гипотез. Публикации (как общего характера, так и решение конкретных задач) по трехмерной теории упругой устойчивости можно разделить на две группы.
Первая группа исследований связана с предположением о малости докригических деформаций, что является приемлемым для сравни тельно жестких материалов. Задачам, относящимся к первой группе исследований, в основном посвящены монографии [64, 140 J, причем в первой рассмотрены плоские задачи для упругих и упруговязких тел, а во второй — плоские и пространственные задачи. К этой группе относятся также исследования, приведенные в работах [G...23, 26...29, 35, 45...64. 66...79, 83, 99, 102...104, 126, 134...137, 145, 146, 1511 и.в некоторых других. В монографии [76) сделан обзор работ по устой чивости упругих тел при всестороннем сжатии.
Упрощенное направление в трехмерной теории устойчивости пред ложено в работе [961. Сущность его заключается в том, что потеря устойчивости равновесия определяется в основном за счет изменения граничных условий В этом случае в граничных условиях удержива ются члены одного порядка малости, которыми пренебрегают в основ ных уравнениях (в качестве основных принимаются линейные уравне ния трехмерной теории упругости). В этом направлении выполнены работы [33, 34, 84, 85, 90, 91) и лр.
Во второй группе публикаций никаких ограничений на величину докритических деформаций не налагается, а используется теория ко нечных деформаций. Необходимость этого направления вполне оправ дана при исследовании устойчивости конструкций, изготовленных из каучукоподобных материалов. Несмотря на наличие общих непро тиворечивых форм функциональной зависимости между напряжения ми и деформациями при конечных деформациях, здесь обычно сталки ваются с отсутствием исчерпывающих сведений о поведении материа лов. Поэтому существует несколько вариантов постановок, связанных с выбором конкретных законов состояния. Теория упругости конечных деформаций в различных постановках изложена во многих моногра фиях [40, 44, 69, 109, 112, 113, 122, 142] и др.
Первой работой этого направления, где в тензорной форме полу чены основные линеаризированные соошошения трехмерной теории упругой устойчивости при конечных деформациях и рассмотрены конкретные задачи, была работа [141]. Этому же направлению посвя щена монография [69], в которой исследованы общие вопросы трехмер ных линеаризированных задач теории упругости, являющиеся общими для теории устойчивости, теории распространения волн в телах с на чальными напряжениями и теории колебаний предварительно нагру женных упругих тел, а также рассмотрены конкретные задачи устой чивости нелинейно-упругих тел. Анализ исследований, проведенных в этом направлении, изложен в работе [67].
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ЛИНЕАРИЗИРОВАННОЙ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
§ 4. Некоторые основные соотношения нелинейной теории упругости
Рассмотрим деформацию тела из идеально упругого материала, при которой точка М (положение ее до деформации опре делялось координатами xi по отношению к фиксированной прямоуголь ной декартовой системе координат) переходит в положение & по от ношению к той же системе координат.
Введем также криволинейную систему координат |
которая свя- |
зана с координатами xi так, что |
|
xt = x, (01э 02, 03), |
(1. 1) |
где Xi (0lf 02, 03) — однозначная и непрерывная вместе со своими производнымн функция. Предположим, что всюду
Ч-£-1>° |
( 1.2) |
|
|
и деформацию тела определим через координаты xi или 0t: |
|
*2, *з. 0 ; |
(1.3) |
& = & (0i. в„ 03, t). |
(1.4) |
Координаты 8, и Xi называются материальными или лагранжевыми (в частном случае координаты 0i можно выбрать таким образом, чтобы они совпадали с прямоугольными декартовыми координатами х,). От носительно функций £< (0lf 02, 03, 0 предположим, что они являются однозначными и необходимое число раз дифференцируемыми по 0 и t. При наличии деформаций в реальном теле, имеем
Ч -|г|>0- (1'5)
Положение точки тела до и после деформации определим соответ
ственно векторами г = г (01э 02, 03) и R = R (0lt 02, 03, t). Тогда ба зисные векторы и метрические тензоры для недеформированного и деформированного тела в координатах 0f будут иметь вид:
&Z=~W ~; |
|
|
|
|
|
дх™ дхГ1 |
|
|
S 4 ^ 8 iS i = |
||||
г |
Т' Г |
J g |
Ofe |
, |
J n |
of. |
G(, = |
Gfii — |
dQi |
—^ 7- |
. |
g |
gni — 0/, |
13
|
|
|
( j nG„, = 6{; |
|
|
(1.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gl = g ngn\ |
G1= |
G‘nGn; |
|
|
|
|
|
g = detU^i/U; |
G = |
det || йц ||; |
|
|
|
a _ |
<?> |
l |
dg . |
,7 |
p1' _ |
i |
ao |
g |
g |
g |
dgij ’ |
|
G |
G |
aGo |
где dt* w D 11— алгебраические дополнения элементов gti и G,/ соот ветственно в определителях g и G.
Компоненты алгебраических дополнений с?1и D1' не являются тен зорами в обцычном смысле, их иногда называют относительными тен зорами или контравариантными тензорами с весом 2.
Вектор перемещений и (0!, 02, 03, |
t) выразим в виде |
|
и = umgm = umgm = |
u j T = UmGm. |
(i .7) |
Если все величины отнесем к размерам тела до деформации и использу ем метрические тензоры в координатах 0£ недеформированного со стояния, то ковариантные составляющие тензора деформаций Грина представим в виде
2в£,- = Gn—gi, = V/Mf + V{M, + Viu,nViun. |
(1.8) |
Инварианты тензора деформаций Грина определяем по формулам.
Л = 3 2&т\ /2= |
3 + 4е£ + 2 (е"|е" — в«в£); |
^ ^ ^ |
/3 = det 1б* + |
2е* 1; е' = g*nemr. |
|
Напряженное состояние деформированного тела определяем при помощи симметричного тензора обобщенных напряжений ст*г/, изме ряемых на единицу площади недеформированного тела. Тогда уравне ния движения принимают вид
V, |с Л {Ьп + V„um)] - * ’m — рит = 0, |
(1. 10) |
где Х ’т — составляющие объемных сил, отнесенных к единице объема
недеформированного тела, причем X* = X"mgm. |
Величины |
а'Ч не |
|
являются напряжениями в точном смысле этого слова. |
|
||
Граничные условия на части |
поверхности 5 |
= Sx + S 2 в |
напря |
жениях представим в виде |
|
|
|
\o in (б'" + V „ 0 ) Nt |Sl = Р'т, |
|
(1.11) |
где Ni — составляющие орта нормали к поверхности недеформирован ного тела;
Р'т— составляющие поверхностных сил, действующих на дефор мированное тело, но отнесенных к единице поверхности недеформиро
ванного тела, причем Р* = P*mgm:
Граничные условия на части S2 поверхности S в перемещениях за писываем в виде
и* к = / * ( 01, 02, 08> /). |
(1. 12) |
14
Для динамических граничных и смешанных задач необходимо до бавить соответствующие условия:
ит l<=0 = fiV (9 i, |
^2» 0а); |
ит \i=T = |
gm* (01» |
02» |
03); |
(1-13) |
Um 1/=п = № (01, |
0 „ 03); |
ия |/-о = |
й , (01, |
02, |
03). |
(1.14) |
Если тело идеально упругое, то существует упругий потенциал или функция энергии деформации Ф, отнесенная к единице объема недеформированного тела, которая зависит от компонент деформации гц и обладает свойством
6Ф = а 1'8е//. |
П.15) |
В дальнейшем будем считать упругий потенциал Ф дважды непрерывно дифференцируемой функцией компонент тензора деформаций Грина. Из формулы (1.15) находим для сжимаемого тела
Если тело несжимаемо, то |
-«г + жг)Ф. |
(U 6) |
|
|
|
/3 = |
1; (л'&ец = О |
(1.17) |
и тогда выражение (1.16) заменяем |
|
|
|
|
(1.18) |
где р — скалярная функция |
координат 0/. |
|
Напряженное состояние в точке деформированного тела, |
отнесен |
ного к криволинейным координатам 0*, можно определять и через симметричный тензор напряжений |т), измеряемых на единицу пло
щади деформированного тела, |
|
т'' = а‘'7/.Г‘\ |
(1.19) |
Поэтому приведенные выше формулы можно легко записать и в случае
использования тензора напряжений (т). |
|
|
||||||
Введем еще несимметричный тензор напряжений |
Кирхгофа (/}, |
|||||||
связанный с введенным |
выше тензором обобщенных напряжений (о*) |
|||||||
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г 1= о‘тр(6" + V/'). |
(1.20) |
||||
В дальнейшем будем использовать и алгебраические инварианты |
||||||||
симметричного тензора |
деформаций: |
|
|
|
||||
|
|
= |
8/5 |
А% — 6^8/5 |
Л3 = |
8/8/6ft, |
(1.21) |
|
которые связаны с инвариантами |
(1.9) тензора деформаций Грина фор |
|||||||
мулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii = |
3 -f- 2Ах, |
1%= |
3 |
4Л| -(- 2ЛГ — 2/42» |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
/8 = |
2ЛХ+ |
2 (Л? - |
/4а) + |
|
(2/43- |
ЗЛ2Л, + |
Л?) + 1. |
15
§ 5. Трехмерные линеаризированные задачи для сжимаемых тел
В дальнейшем будем рассматривать три состояния упругого тела. Первое — естественное недеформированное состояние, при котором в теле отсутствуют напряжения и деформации, второе — начальное деформированное состояние (все величины, относящиеся к нему, будем отмечать индексом 0) и третье — возмущенное деформированное со стояние, все величины которого равны сумме соответствующих величин начального состояния и малых величин, называемых возмущениями. Ниже возмущения не будем отмечать никакими индексами.
Предполагая, что возмущения значительно меньше соответствую щих величин начального состояния, линеаризируем соотношения и уравнения, приведенные выше. Под линеаризированными соотноше ниями и уравнениями будем понимать соотношения и уравнения з воз мущениях. Все величины начального деформированного состояния вычисляем по приведенным выше формулам, если при всех величинах поставим индекс 0. Из выражений (1.8) получаем линеаризированные соотношения для ковариантных составляющих тензора деформаций
Грина |
|
2е// = (6Г + VfUo1) V/Hm+ (б/” + V(wol) ^iUm. |
(1-23) |
Из уравнения (1.10) находим линеаризированное уравнение дви
жения |
|
|
|
V, \а*1п (б„ + Упио) + |
aonVnum| + Х*т— piiw = 0. |
(1.24) |
|
Граничные условия на части S, поверхности S принимают вид |
|||
[а*,л (87 + |
+ |
ollnVnum\ Nt Is, = Р' т . |
(1.25) |
Аналогично получаем и граничные условия на части S2 поверх |
|||
ности 5: |
um\Si = 0. |
(1.26) |
|
|
|||
Линеаризированные |
условия |
для динамических граничных |
задач |
и линеаризированные начальные условия для динамических смешан ных задач согласно (1.13) и (1.14) приведем соответственно в таком виде:
ит|/-о = 0; |
ип |/=г = |
0; |
(1.27) |
ит|г=о — 0; |
ит\(~о = |
0. |
(1.28) |
При использовании тензора напряжений Кирхгофа уравнения дви
жения представляют следующим образом: |
|
|
Vitim + X 'm — ра" = 0. |
(1.29) |
|
Граничные условия на части |
поверхности 5 |
запишем в виде |
timNt |s, = P*m. |
(1.30). |
Линеаризируем выражение (1.20) для несимметричного тензора
напряжений Кирхгофа |
tmn: |
|
Г " = |
а тр (8р -f .Vp«о) + О о ^ У . |
(1.31) |
16
Линеаризируя уравнение состояния (1.16) для тензора обобщенных напряжений {о*} и для тензора напряжений Кирхгофа {/] (1.20), на ходим:
o'in = |
(1.32) |
Г = (ота%ар; Vat = V,^a, |
(1.33) |
-4. №?+w?) (-%■+■%){-%:+-%)*' (i-34)
-i[<6"+ '■ *> *■ +(-4-+-4-)x
х(-4г+-4 )+2^(-4 +-4 г)ф0- (U5>
Величины и представляют собой компоненты тензоров четвертого ранга. Согласно формуле (1.31) между ними существует связь:
= -tmafl + g«naff*i0.
.(1.36)
= I 1™* (gm + V X ).
С учетом |
соотношений (1.31) и (1.33) уравнения |
движения (1.24) |
и граничные |
условия (1.25) для сншмаемого упругого тела можно за |
|
писать в виде: |
|
|
|
V, (w,mapV,}«e) + Х 'т — ри 1= 0; |
(1.37) |
|
(«<maPVp«a)lVi |Sl = P*m. |
(1.38) |
Таким образом, выражения (1.24)...(1.28), (1.32) и (1.34) исчерпы вают постановку статических и динамических линеаризированных за дач для сжимаемых тел в случае, когда напряженное состояние дефор мированного тела определяется при помощи симметричного тензора обобщенных напряжений {а*}. Для несимметричного тензора Кирх гофа {/} имеем выражения (1.26)...(1.30), (1.33) и (1.35).
Приведем еще линеаризированное соотношение для симметричного тензора напряжений (т) (1.19):
а '1 = |т" + г№ 0' ( Г + Vjtf) VrumI Vb • |
(1.39) |
Вышеприведенные соотношения справедливы для теории конечных докритических деформаций. Ниже приведем классификацию линеари зированных задач для малых деформаций, под которыми будем пони мать малые начальные (докритические) деформации. Поэтому слово «начальные» иногда будем опускать. Кроме того, всюду возмущения значительно меньше соответствующих величин начального деформи рованного состояния.
-17
Предполагая малыми по сравнению с единицей удлинения и сдвиги, получаем первый вариант теории малых деформаций. Все линеаризи рованные соотношения и уравнения, приведенные выше, остаются в силе, если в них принять
ст*"~а''; Х'тс±Хт\ Р'т^ Рт |
(1.40) |
и не учесть изменения размеров тела до и после деформации. В этом случае соотношения (1.29), (1.30), (1.37), (1.38) и (1.32) переходят со ответственно в следующие:
V(t‘m+ x m — ри ‘ = 0; |
(1-41) |
|
timNi |s, = Р"; |
(1-42) |
|
{й1та*Чсиа) + Хт - р и т = 0; |
(1.43) |
|
(co,OTaPVPHa) Nt |6-, = Рт; |
(1.44) |
|
0й = |
Ъ!"а*Ъиа. |
(1-45) |
Предположим, что удлинения |
и сдвиги малы по сравнению с еди |
|
ницей, а начальное деформированное состояние определяется |
но гео |
метрически линейной теории. Тогда получаем второй вариант геории малых деформаций, а для компонент тензора деформаций имееи
2 V,«? + Vfи"; 2е„ =^Vfu{ + V,u,..
Все вышеприведенные соотношения остаются в силе, если учесть что
имеют место равенства (1.40) и, кроме того, |
|
6| + ViU^ 6{. |
(1.46) |
Линеаризированные уравнения движения (1.24) и граничные условия в напряжениях (1.25) для второго варианта теории малых деформаций принимают вид:
Vc (а{т+ a'oVnum) Хт— рит = 0; |
(1-47) |
(oim + o‘oлVnum)N l \st = P ,,l. |
(1.48) |
С учетом соотношений (1.31)...(1.36), (1.40) и (1.46) соотношения
(1.47) и (1.48) можно записать в виде: |
|
|
||
V, ((о‘",аРУрца) + Хт — рйт= 0; |
(1.49) |
|||
|
((о'лаЧ |
и а) ^ и , |
= /уи, |
(1.50) |
|
1 = |
х ,тац + |
^ |
|
|
■+'4г)('4 г+1Йг)ф"' |
(1.51) |
||
- ч |
|
Предполагая кроме предыдущих допущений, что и углы поворота также являются малыми величинами по сравнению с единицей, можно получить еще один упрощенный вариант теории малых начальных де формаций [112 J.
18
§ 6. Трехмерные линеаризированные задачи для несжимаемых тел
Для несжимаемого упругого тела из выражений (1.17) получаем линеаризированное условие несжимаемости
Gj/(67 + V/i/S)V{an - 0 . |
(1.52) |
Запишем линеаризированные уравнения состояния несжимаемого те. ла. Для этого сначала вычислим величину Gm. Линеаризируя шестое соотношение (1.6), имеем
G‘mG0mi + GhmGml = 0. |
(1.53) |
Умножая соотношение (1.53) на Со1и учитывая (1.6), (1.23), выводим
Gin = - (6? + V/iiS) (G?Go* + GoGo") V&u*. |
(1.54) |
Линеаризированные уравнения состояния для симметричного тен зора обобщенных напряжений о**1 и несимметричного тензора напря жений Кирхгофа tim представим в виде:
ст*"' = р/л“Ч « « + pGo"; |
(1.55) |
|
Г = |
+ G‘0n (6? + VnUo) р, |
(1-56) |
где |
|
|
^ = (6?+^ [ 4-(-4 |
+ж)(1|г +ж )ф"- |
|
— р° (dodo + GoGo")]; |
(1.57) |
|
= - г [ ( 6” + + |
’ <“•“>(155- + -4 г ) Ы г |
+ |
+1Йг)+2гт(-4г+1|г)]ф“+^/ “<!?- |
|
|
- (6? + V„«y> (6? + V,UJ) «$0? + CM ")] • |
(1.58) |
В выражениях (1.57) и (1.58) на аргументы упругого потенциала по
условию несжимаемости.наложена связь |
|
|
/3 = det || б* + 2ef || = det ВG« || (det ||gpgЦ)—1 = 1. |
(1.59) |
|
В соотношениях (1.55)...(1.58) величины |
р/я а и у!та$ — компо |
|
ненты тензоров четвертого ранга. Согласно выражению (1.31) |
между |
|
ними существует связь |
|
|
х‘та* = (б* + v nU-) у!"* + |
Я'лао ^ . |
(1.60) |
Линеаризированные уравнения движенйя с учетом (1.56) и гранич ные условия на части Sx поверхности S соответственно представим в
19
виде: |
|
|
^ \*lmalW + GfT№ + Vn«7) pi + * ’m- |
Pum = 0; |
(1.61) |
l*,m*4tua + Go" (fi« + V„a?) Pi ЛГ, (fl = |
P*m. |
(1.62) |
Граничное условие (1.26) на части S2поверхностиS и условия |
(1.27) и |
(1.28) для динамических граничных и смешанных задач остаются спра ведливы и для несжимаемого тела.
Таким образом, соотношения (1.26)...(1.28), (1.52), (1.57), (1.58), (1.61) и (1.62) исчерпывают постановку статических и динамических линеаризированных задач для несжимаемого упругого тела.
Линеаризированное выражение связи тензоров напряжений (а*} и {т} для несжимаемого тела имеет вид (1.39) при /§ = 1.
При малых докритических деформациях возможны упрощения вышеприведенных соотношений. Предполагая малыми по сравнению с единицей удлинения и сдвиги, можно получить соотношения для первого варианта теории малых деформаций. Поскольку для кесжима-
емого тела
> II > |
р |
линеаризированное условие несжимаемости
^ m(fi? + Vi4)Vmwn = 0. Линеаризированные уравнения состояния имеют вид:
Г
где величину x,mafi определяем по формуле
-/таР = (6т + УлЫ« ) ^ вР +
(1.63)
(1.64)
(1.65)
(1.66)
+^[^(1^ + ж )Ф“+Л1 > |
<L67) |
а величина Xlna&имеет вид (1.34).
В формулах (1.34) и (1.67) при малых деформациях упругий потен
циал не зависит от первого алгебраического инварианта Л?. Линеаризированные уравнения движения и граничные условия на
части 5, поверхности S для первого варианта теории малых деформаций
приведем в виде: |
pZr = 0; |
|
Vi [x"”aPVpUa + gln(«Г + V„Ho) P) + Xm - |
(1.68) |
|
[xlma%Ua + gin(6n + V X ) p] Nt k |
= P ” . |
(1.69) |
Граничные условия (1.26) на части S2поверхности 5 и условия (1.27) для динамических граничных задач, а также начальные условия (1.28)
20