книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

« i s = « .я (Л и - ., Л „ У ; а 1в = а м ( _ К п + и ^ у .

I ll

Раскрывая определитель (5.18), (5.19), получаем трансцендентное уравнение, по которому можно определить критическую нагрузку для осесимметричной формы потери устойчивости. Трансцендентное урав­ нение можно исследовать численными методами без каких-либо пред­ положений о толщине оболочки, что и будет проведено в дальнейшем.

Перейдем к анализу корней уравнения (5.18), (5.19) для тонкостен­ ных оболочек. В этом случае h/R, h!l < 1. Тогда для определения кри­ тической нагрузки можно использовать асимптотические формулы для функций Бесселя и Макдональда [32] при больших аргументах:

Определим критическую нагрузку в случае, когда вдоль образую­ щей тонкостенной оболочки образуется большое количество волн, т. е.

и соотношения (2.40), (5.20) и (5.21), трансцендентное уравнение (5.18),

112

Подставляя (5.23) в уравнение (5.22) и определяя постоянные А2 и B2t получаем с точностью до х~2и е2 выражение для критического напряже­ ния. Затем, минимизируя это выражение по и и переходя к техниче­ ским постоянным (4.25) и (4.30), находим

(5.24)

откуда следует, что значение верхней критической нагрузки, вычислен­ ное с использованием гипотезы Кирхгофа — Лява для тонкостенных оболочек, совпадает независимо от свойств материала с первым чле­ ном асимптотического разложения для критической нагрузки, которая получена на основе трехмерных линеаризированных уравнений.

Для сравнительно толстостенных оболочек, а также оболочек, вы­ полненных из композиционных материалов, формула (5.24) может давать существенные погрешности.

Аналогично можно исследовать устойчивость трансверсально-изо­ тропной цилиндрической панели с немалым центральным углом. Эти результаты по виду совпадают с полученными выше. Кроме того, здесь также подтверждается вывод об асимптотической точности теории, основанной на гипотезах Кирхгофа — Лява.

Следует отметить, что выше рассмотрена потеря устойчивости транс­ версально-изотропной цилиндрической оболочки, ось изотропии ко­ торой совпадает с осью Охд. Этому случаю соответствуют с определен­ ной точностью [127, 128] цилиндрические оболочки из композицион­ ных материалов с преимущественно продольной намоткой; основное докритическое напряженное состояние определяется по формулам (4.1) и решение основных уравнений (2.8) сводится к решениям уравнений (2.30) относительно функций Т и X.

В случае трансверсально-изотропной оболочки, ось изотропии которой совпадает с осью 0 (т. е. в любом сечении 0 = const, все нап­ равления являются упругоэквивалентными, что соответствует цилинд­ рическим оболочкам с преимущественно поперечной намоткой), изло­ женный выше метод не удается применить. Аналогичный случай имеет место и для цилиндрически-ортотропных оболочек, т. е. для цилинд­ рических оболочек, изготовленных продольно-поперечной намоткой. Докритическое состояние для этих случаев является более сложным и имеет вид (5.7), (5.9), где компоненты основного напряженного со­ стояния изменяются по толщине оболочки.

Ниже для указанных выше типов анизотропии после неполного разделения переменных будут применены методы степенных или обоб­ щенных степенных рядов для решения соответствующих систем обык­ новенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициен­ тами.

§ 35. Изотропная цилиндрическая оболочка

Рассмотрим задачу § 34 для изотропной оболочки. Тогда все ре­ зультаты получаются из предыдущих как частные случаи. Из формул (2.39), (4.2) получаем представление перемещений в круговой цилинд.

113

В характеристических же определителях (5.16)...(5.19) следует поло­ жить

Величины С? для изотропной оболочки получаем из выражений (2.40) при %х = \ s = 1 и ап = 0:

Перейдем к анализу корней характеристического уравнения (5.16), (5.17) для неосесимметричной формы потери устойчивости в случае тонкостенной оболочки, учитывая формулы (5.26) и (5.27). В этом слу­ чае hIR < 1 , hll 1. Тогда для определения критической нагрузки нужно воспользоваться асимптотическими разложениями функций

лученное трансцендентное уравнение входят функции с аргументами вида £, (х ± е), причем £{х > 1, а £(е < 1 (/ = 1, 2, 3).

На основании формул сложения для функций Бесселя и Макдо­ нальда получаем функции, которые будут зависеть от одного из аргу­

откуда с точностью до i/5 находим:

Ш = 1 + - т У '+ ж ^ - '1 М = 4 - » + - й - * , + - я г Л

114

Считая т > 1, находим минимальное значение выражения (5.33). Минимизируя р по х, получаем выражение

Подставляя формулу (5.34) в (5.33) и ограничиваясь главным членом, имеем

' Рассмотрим осесимметричные деформации изотропной цилиндри­ ческой оболочки. Раскрывая определитель (5.18), (5.19) с учетом фор­ мул (5.25)...(5.26) и удерживая члены с точностью до х ~ \ е4 и е8 х~2, выводим уравнение [при этом используются формулы (5.20), (5.28)...

~ [1 + "3“ е2 (£2 + £з) + -щ -е4(^ + £3) + -§-84С2£з 4*

+da,4 [- 4h*T*—|- -g-6,(Й+ 2Й)] +

+йм?[ - 4б,*-г_ -§--x <>, (d+ 2d)] +

Представляя значения корня уравнения (5.36) в виде ряда

и затем подставляя в выражение (5.36), получаем уравнения для опре­ деления величин Аг, В2, Л4, Bit Са и т. д. В результате решения каж-

116

В определителе (5.46), (5.47) вторая, четвертая и шестая строки ана* логичны соответственно первой, третьей и пятой строкам, но х + с нужно заменить на к — е. Аргументы функций в /„, К„ опущены. Они

Полученное трансцендентное уравнение (5.46), (5.47) служит для нахождения критического напряжения ркр, при котором происходит потеря устойчивости цилиндрической панели. Это уравнение можно решать численными методами.

Исследуем корни трансцендентного уравнения для тонкостенных цилиндрических панелей при образовании большого количества волн

иия при больших аргументах для модифицированных функций Бесселя и Макдональда (5.20) и (5.21), после некоторых преобразований полу­

чаем с точностью до е2 и х-2 уравнение для определения критического

Представляя решение уравнения (5.48) в виде (5.23), с точностью до е2, х-2 имеем

х 2 представляет собой большое число. Найдем значение верхнего кри­ тического напряжения. Рассматривая ркр как непрерывную функцию от х, видим, что минимум выражения (5.49) будет при условии

Из выражений (5.49) и (5.50)

~ ТЩ т=Щ

. Следует заметить, что формула (5.51) справедлива лишь iдля пане­ ли, охватывающей сравнительно большой центральный угол. Если же центральный угол Р очень мал, то условия выпучивания панели .при­ близятся к .условиям продольно сжатой прямоугольной ^ЛаЬтннки»?

§ 37. Точность и пределы применимости гипотезы Кирхгофа—Лява в теории устойчивости

тонкостенных изотропных цилиндрических оболочек

Результаты, полученные в § 33...36, позволяют выяснить вопрос о точности и пределах применимости гипотезы Кирхгофа — Лява в тео­ рии упругой устойчивости тонкостенных изотропных цилиндрических оболочек. Дляизотропных и трансверсально-изотропных тонкостен­ ных цилиндрических оболочек первый член разложения критической нагрузки;.вычисленной по трехмерной линеаризированной теории, совпадает с критической нагрузкой,-подсчитанной с привлечением ги­ потезы Кирхгофа — Лява. Гипотеза Кирхгофа — Лява является асим- птотически'-точной независимо от свойств материала цилиндрических оболочек .(ниже будет .показано, что аналогичный случай имеет место и для цилйндрически-ортотропной оболочки).

На прймёрё потери устойчивости цилиндрической оболочки при осесимметрйчйых'Деформациях выяснены пределы применимости гипо­ тезы Кирхгбфа — Лява-при определении критической нагрузки. Из выражений (5.41), (5.42) видно, что потеря устойчивости цилиндриче­ ской изотропной оболочки может произойти в пределах упругости толь­ ко в-случае'-очень’ тонких оболочек (например! для стальной оболочки при Е — 2,1 • 1011 Н/м2; о„ = 4,2 • 10н Н/м2; v = 0,3 находим, что /?/2й •> 303). Из формулы (5.42). следует, что.длв металлических оболо­ чек при упругЬй потере устойчивости гипотеза Кирхгофа — Лява дает наибольшую погрешность «0,2% (при R/2h =?= 303).. Очевидно, при определении'-критических нагрузок для изотропных оболочек гипотеза Кирхгофа — Лява практически не вносит погрешностей. Поэтому ре­ зультаты, • полученные на основании гипотезы Кирхгофа— Лява в теории упругой устойчивости изотропных цилиндрических оболочек средней'длины, Практически не требуют уточнений. Они незначитель­ но завышены.

, Ниже будет показано, что для цилиндрических анизотропных обо­ лочек погрешности гипотезы Кирхгофа — Лява при вычислении кри­ тических нагрузок значительны и пренебрегать, ими при практиче­ ских расчетах уже нельзя.

§ 38. Ортотропные цилиндрические оболочки

Пусть цилиндрически-ортотроПная оболочка сжата вдоль оси уси­ лиями интенсивности р-и нагружена внешним боковым равномерным давлением q. Основные уравнения в перемещениях после разделения переменных 0 и х3 для второго и третьего' вариантов теорий малых на­ чальных деформаций имеют вид (2.53).- г-

Из соотношений (2.10),- (2:14)-выводим граничные условия (5.13) иа;цилиндрических поверхностях г ft в случае лишьосевого сжатия:

-Прй,,внедшем боковом равномерном.давлении из граничных усло­ вий (1?Д0)„вуНРдад .фрриууцд для/срставляющи#; поверхностных сил

120