книги / Основы механики глубокого бурения

Лекция 7

О МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ УГЛУБЛЕНИЯ ЗАБОЯ

Пусть механическая скорость бурения v = — (здесь Н - те-

кущая глубина скважины, t - время) есть некоторая функция v = f(vо, 0. гДе г>о - начальная механическая скорость бурения при совершенно новом (неизношенном) долоте, а время нахождения t долота на забое показывает, что величина v изменяется по мере изменения состояния долота (износ его вооружения и опоры).

Начальная скорость бурения v0, как правило, при проектиро­ вании режимов бурения представляется в виде эмпирической зависимости от параметров Р (осевая нагрузка на долото) и п (скорость вращения долота) и соответствующего им набора экс­ периментально определяемых констант.

Наиболее простой и вполне удовлетворительно подтверждае­ мой стендовыми экспериментами зависимостью является сле­ дующая [5]:

где А, а и р - константы, определяемые экспериментально, при­ чем а > 1, р е[0, 1].

Тем не менее существует значительное количество функцио­ нальных зависимостей, полученных, как правило, эксперимен­ тальным путем как в стендовых, так и в промышленных услови­ ях, описывающих взаимосвязь между механической скоростью бурения vo в начале бурения скважины (долото не изношено) и соответствующими параметрами. Приведем некоторые из них.

В работе [1] изучение с помощью промысловых исследований, проведенных в ряде регионов СССР и ГДР, закономерностей изменения начальной механической скорости проходки vo позво­ лило предложить все виды функций vo от п и Р аппроксимиро­ вать формулой

(7.2)

61

Здесь Л, а, (3, b, k - коэффициенты, отражающие влияние на закономерности разрушения горной породы ее механических свойств, типа и состояния долота, а также условий очистки забоя от шлама.

Зависимость, полученная Г.М. Эффендиевым, имеет вид [4]:

тель износостойкости долота, для трехшарошечных долот в = 1,3; q - показатель разрушающей способности долота, для трехша­

шечных долот получены на основе промысловых данных.

Можно было бы привести еще довольно большое количество подобных зависимостей, однако в этом нет необходимости. Важ­ но отметить другое: сопоставление функций (7.1), (7.2) и (7.3), описывающих начальную скорость бурения, показывает ощути­ мую разницу как в их структуре, так и в наборах независимых переменных, определяющих эти зависимости. Однако на вопрос, какая из приведенных выше зависимостей даёт наиболее правдо­ подобное описание углубления забоя, в публикациях, посвящён­ ных данной проблеме, вряд ли можно найти аргументированный ответ.

Присмотримся более внимательно к написанным соотношени­ ям. Во-первых, необходимо отметить, что все константы, входя­ щие в (7.1)—(7.3), - неотрицательны. Во-вторых, если при всех прочих фиксированных параметрах зависимость (7.1) монотонно возрастает с увеличением осевой нагрузки Р, то зависимости (7.2) и (7.3) могут иметь максимальные значения v02 и п0з при соответствующих значениях осевой нагрузки Р2 и Рз, которые найдутся из условий равенства нулю производных от функций (7.2) и (7.3) (рис. 7.1):

в случае (7.2)

62

Рис. 7.1. Примеры зависимостей меха­ нической скорости от осевой нагрузки

в случае (7.3)

Заметим, что зависимость (7.1) в большей мере характерна при отработке долот в стендовых условиях, в то время как зави­ симости (7.2) и (7.3) получены согласно промышленным данным (на рис. 7.1 около каждой кривой стоит соответствующий ей но­ мер зависимости).

Обратимся теперь к закономерностям, описывающим механи­ ческую скорость бурения в форме v = f(vо, £)> то есть с учетом износа долота в процессе бурения скважины.

Довольно часто процесс эволюции скорости во времени опи­ сывается зависимостью

где а и г - опытные коэффициенты.

Очевидно, что формула (7.5) при малых значениях показателя экспоненты rt путем разложения в ряд Тейлора и пренебрежения членами разложения выше первого порядка, принимает вид:

v - Voe~rt ~ о0-(1 -rt) = vо - at,

(здесь введено обозначение а = гоо), и мы приходим к формуле (7.4).

63

Теперь отметим следующее. Поскольку (7.4) и (7.5) не всегда адекватно описывают эволюцию изменения механической скоро­ сти бурения во времени, то Р.А. Бадаловым было предложено дифференциальное уравнение, которое дает более общую зави­ симость механической скорости бурения v = f(v0, t):

где (1 и Т| - некоторые постоянные (причем р. > 0; Т| может при­ нимать и положительные, и отрицательные значения, а также может быть равным нулю), о(0) = о<> [3].

Решение этого уравнения записывается как

В частности, при т| = 0 из (7.7) (с точностью до обозначений) получается зависимость (7.4), а при Т| = 1 - зависимость (7.5).

А теперь рассмотрим ряд зависимостей изменения механиче­ ской скорости бурения в процессе проводки скважины, которые были предложены в последние годы.

(7-8)

Эта зависимость предложена Г.М. Эффендиевым [4]. Введя обозначение (см. (7.3))

*=4# 'fl® VeXH-e0 *=X(p-’l)'

где р - плотность бурового раствора, кг/м3; т| - градиент порового (пластового) давления в эквивалентных плотности единицах; Я - текущая глубина скважины, м; X- эмпирический коэффици­ ент, запишем данное соотношение как

Эта зависимость предложена С.А. Ширин-Заде и была ис­ пользована в работе [2]. Здесь Я - текущая глубина разбуривае­ мого интервала, а коэффициенты а, Ь, с характеризуют техноло-

64

гические параметры и горно-геологические условия проводки скважины. При этом утверждается, что если Ь2 - 4ас > 0, то обеспечивается динамическая устойчивость углубления скважи­ ны, а при b2 - 4ас < 0 процесс углубления неустойчивый, что приводит к искривлению ствола скважины и отклонению забоя от заданного азимута.

Эта эмпирическая зависимость, полученная по данным отра­ ботки долот на месторождениях Урало-Поволжья, приведена в книге [5]. Здесь ап Ь- эмпирические коэффициенты, зависящие от параметров режима бурения и конструкции долота (для на­

где а = ^ , Av - темп снижения механической скорости бурения

в начальный период времени (величина постоянная); т- показа­ тель степени, зависящий от типа долота, абразивности породы и ряда других параметров; f0 ~ продолжительность периода, приня­ того в качестве базового. Эта зависимость предложена Г.М. Меджидовым [4].

На первый взгляд приведенные зависимости, полученные различными авторами, не имеют ничего общего как между собой, так и с дифференциальным уравнением (7.6). Однако рассмот­ рим их внимательнее.

1. Рассмотрим формулу (7.9). Прологарифмируем ее левую и правую части а затем продифференцируем по времени:

Я = | (lni>0 - Inо),

^ = - Ь 2 ,ц (0 ) = ц0.

Итак, мы видим, что зависимость (7.9) является решением уравнения (7.6) при значении его параметров ц = k, л = 2.

2. Обратимся к соотношению (7.10) и будем рассуждать сле­ дующим образом.

65

Из уравнения (7.10) видно, что при Я = 0 параметр с = vQ. Далее очевидно, что максимальная проходка Ятах будет при зна­ чении о = 0 , поскольку наличие экстремума предполагает равен­

ство ^ = о = О (суть данного равенства вытекает также из того, at

что максимальная проходка будет при полном износе долота, то есть когда v = 0). Следовательно, максимальная проходка Ятах найдется из уравнения

+ № „„+ !> „= О,

откуда

и_ - b ± ■jb2 - 4av0

Очевидно, что требованием вещественности Я шах является не отрицательность подкоренного выражения: b2 - Aavo > 0. Далее, поскольку Ятах - величина положительная, то наряду с требова­ нием Ь2 - Ааьо > 0 должны выполняться и некоторые ограниче­ ния на коэффициенты а и Ь. Условие же минимума скорости механического бурения в зависимости от величины проходки Я согласно (7.10) имеет вид:

Ш = 2аН+ Ь = 0, ^ = 2а > 0 .

Следовательно, коэффициент а должен быть положительным, а экстремальные значения к 'и Я ’ запишутся:

Iг=♦ Ь2

Далее, в силу изложенного выше справедливы равенства v = = 0 и Н* = Ятах, что даёт

Отсюда видно, что коэффициент а действительно положите­ лен, а из требования положительности Ятах вытекает отрицатель-

66

ность коэффициента b. Обозначив b = -d, где d > 0 , перепишем (7.10) так:

Характер изменения скорости бурения v от проходки Я изо­ бражен иа рис. 7.2. Определим теперь из полученного уравнения параметр Я в виде функции от параметра v

и продифференцируем данное равенство по времени V.

d!i = v =-2E-.vJ2 Л , dt d dt'

После несложных преобразований получаем:

Итак, мы вновь приходим к дифференциальному уравнению (7.6). Следовательно, при разумно подобранных коэффициентах, отражающих физическую суть процесса углубления скважины, зависимость (7.10) является тоже решением уравнения (7.6) при

AV

67

3.Рассмотрим зависимость (7.11). Перепишем её в виде

bt2+ at - (o0 - v) = О

и решим полученное уравнение относительно £

Сделаем в полученном уравнении замену переменной:

После этого получаем, что исходное уравнение преобразуется к виду

Продифференцируем данное уравнение по переменной £

После несложных преобразований мы снова получаем диф­ ференциальное уравнение (7.6):

Значения входящих в уравнение параметров суть р = 2,

”= !•

4.Наконец, обратимся к соотношению (7.12) и выразим из него текущее время бурения £:

После введения вместо v новой переменной z

68

Рис. 7.3. Характер изменения функций г и v во времени t

Следовательно, тенденции поведения данных функций во вре­ мени одинаковы.

Итак, мы установили, что рассмотренные в п.п. 1-4 математи­ ческие модели углубления забоя скважины, предложенные раз­ личными авторами, посредством некоторых преобразований мо­ гут быть сведены к модели, описываемой уравнением (7.6). По­ этому можно говорить о некоторой хорошо «замаскированной» взаимосвязи между зависимостями (7.9)-(7.12), которая, в ко­ нечном счете, заключена в уравнении (7.6).

И действительно, почему соотношения, выражающие фунда­ ментальные законы природы, имеют вполне определенную фор­ му записи, в то время как зависимостей типа v = f(v0, t) можно указать превеликое множество? Однако двинемся дальше и на примере уравнения (7.6) рассмотрим еще одну проблему.

Пусть бурение некоторого интервала скважины начинается совершенно новым (неизношенным) долотом с некоторой глуби­ ны #о и пусть малый интервал ДЯ разбуривается без заметного износа долота (в этом смысле и необходимо понимать термин «малый интервал»: для легко разрушаемых пород он будет боль­ ше, чем для трудно разбуриваемых). Скорость бурения в начале интервала равна щ, а в конце его v = ц(ДЯ). Данная ситуация показана на рис. 7.4. Пусть изменение механической скорости бурения описывается задачей (7.6):

70