книги / Основы механики глубокого бурения

та элемента и стенки скважины). Сила ANc при этом направлена по нормали к поверхностям контакта.

Проведем из точки 0 нормаль пе, делящую пополам угол Да, и найдем уравнение движения выделенного элемента в осевом на­ правлении (рис. 15.5, поз. 4). В силу малости угла Да криволи­ нейный участок осевой линии элемента можно принять прямо­ линейным, а массу элемента записать в виде Ат= рFAS, где р и F - соответственно плотность материала и площадь поперечного сечения элемента. Получим уравнение равновесия элемента (так как рассматривается равномерное движение колонны, то силы инерции отсутствуют и её движение описывается уравнениями равновесия элемента с учетом направления его движения). Спро­ ектировав все силы, действующие на элемент, на осевое направ­ ление (оно перпендикулярно нормали пе), получаем:

N(S + Д5) cos - N(S)cos ^ + Amgcos а - AFC* 0. (15.6)

Здесь N(S + Д5) и N(S) - осевые усилия, действующие в тор­ цах элемента; g - ускорение свободного падения; а(5) - угол ме­ жду осью элемента и вертикалью.

Раскроем теперь все силы, входящие в равенство (15.6). Разность осевых сил может быть представлена как

N(S + & S)cos~- N(5) cos— * ^ M c o s f.

Абсолютная величина силы нормального давления между элементом и стенкой скважины ДNc равна сумме проекций на нормаль пе всех действующих на элемент сил:

ДNc = Amgsin а (5) - N(S + AS)sin^ - N(S)sin— .

В силу малости угла Да значение синуса можно заменить его углом, после чего имеем:

ANC= Amgsin а (5) - 0,5 (N(S + AS) +N(S)) Да.

Вспомним, что по закону Гука осевое усилие N(S) = EF— , где

Е - модуль Юнга; элементарный же угол Да = AS Подставив

R(S)

151

эти значения в равенство (15.6), с учетом записанных соотноше­ ний и выражения (15.5) для AFc после перехода к пределу при AS -» 0 получаем уравнение для определения осевого перемеще­ ния ы(5) поперечного сечения бурильной колонны на искрив­ ленном участке скважины:

Переходим теперь к вращательному движению. Поскольку, как было отмечено выше, длина Д5 элемента мала, а потому его ось можно считать прямолинейной, то для равномерного

вращательного движения можно записать (см. рис. 15.5, поз. 3

и 4):

в торцевых сечениях элемента, причем согласно закону Гука

M(S) = где Gv.Jp- соответственно модуль сдвига мате­

риала бурильной колонны и полярный момент инерции ее попе­ речного сечения; ДI = pJpAS- момент инерции элемента относи­ тельно своей оси; Q,5DAFX- момент сопротивления вращению элемента со стороны стенки скважины, а сила AFXопределяется согласно (15.5). Разность моментов может быть представлена,

как M(S + AS) - M(S) ~ — AS. Подставив записанные соотноше­

ния в (15.7) (с учетом (15.5) для AFX) и переходя к пределу при AS -» 0, получаем уравнение для определения угла закручивания ср(5) поперечного сечения колонны на искривленном участке скважины:

Оба полученных уравнения описывают состояние бурильной

152

колонны, расположенной в искривленной скважине. Поэтому запишем их в виде системы:

Здесь у = pg - удельный вес материала бурильной колонны. Необходимо отметить, что в уравнениях (15.8) радиус кри­

визны R(S) берётся с соответствующим знаком. Если криволи­ нейный участок имеет выпуклость вниз (как на рис. 15.5), то ра­ диус кривизны берётся со знаком «плюс» (случай а на рис. 15.6) и уравнения (15.8) не изменяются. Если же криволинейный уча­ сток имеет выпуклость вверх (случай б на рис. 15.6), то радиус кривизны берётся со знаком «минус» и в уравнениях (15.8) этот факт необходимо учитывать [6 ].

В силу отмеченного перепишем систему (15.8) следующим образом:

случае а (выпуклость вниз), а нижние знаки

вслучае б (выпуклость вверх) - см. рис. 15.6. Введем понятие эффективного коэффи­

циента трения:

Рис. 15.6. Участки скважины с различными знаками кривизны

153

Памятуя, что осевое усилие и крутящий момент в поперечном сечении стержня записываются как

N =EF^, M =GJP% , as ab

после несложных преобразований систему уравнений (15.9) можно записать следующим образом:

= (4‘ sina(S)-cosa(S))-q ,

(15.11)

^dS ± ^4v' SR(SK) W = 4vT - * ‘ sin“ (5 )' 9-

Здесь параметр q = yF- является погонным весом бурильной колонны (вес ее единицы длины).

Система уравнений (15.11) эквивалентна системе (15.9) и предназначена для нахождения осевых усилий и крутящих мо­ ментов, действующих в поперечных сечениях колонны в процес­ се бурения искривленного ствола скважины. В частности, при прямолинейной скважине с постоянным углом наклона к верти­ кали a (S) = ссо = const (этот угол именуется зенитным углом) радиус кривизны ствола скважины R(S) = » и уравнения (15.11) принимают следующую форму:

— = (^sinao-cosao)tf,

(15.12)

- k* sin a0 q.

Иногда удобнее пользоваться системой (15.11), когда аргу­ ментом является угол а. Так как dS = R(S) da, то в данном слу­ чае имеем:

чение параметра S).

Итак, нами получены все необходимые уравнения, описы­ вающие состояние БК в скважине криволинейного профиля.

154

Лекция 16

СОСТОЯНИЕ БУРИЛЬНОЙ колонны

В СКВАЖИНЕ ПРИ НАКЛОННО-НАПРАВЛЕННОМ БУРЕНИИ

Обратимся к предыдущей лекции и рассмотрим систему диф­ ференциальных уравнений (15.11). Если известен профиль искривленной скважины (известны R(S) и а(5')), осевое усилие N(S = 0) = A/о и вращающий момент M(S = 0) = М0 в верхнем сечении БК (устье скважины), то решение системы (15.11) имеет вид:

На рис. 16.1 изображена подобная ситуация, где через Р и Мц обозначены соответственно осевая нагрузка на долото и момент сопротивления вращению долота со стороны забоя в процессе его углубления. Очевидно, что решения системы (15.11), представ­ ленные формулами (16.1), дают возможность вычислять значе­ ния осевого усилия и крутящего момента в текущем поперечном сечении БК (напомним, что в силу значительной величины ра­ диуса искривления R(S) напряжениями изгиба пренебрегаем). Однако необходимо отметить, что, как правило, участки искрив­ ления скважины имеют постоянную кривизну, то есть радиус искривления R = const. Указанный факт позволяет значительно упростить процесс нахождения параметров N(S) и M(S).

А сейчас рассмотрим случай передачи осевого усилия на го­ ризонтальном участке скважины от его начала до забоя в случае вращения БК (роторный способ бурения) и при его отсутствии (бурение с применением забойного двигателя) [1, 2 , 3]. Расчёт­ ная схема изображена на рис. 16.2.

156

Обратимся к выражению (15.10). В случае п = 0 (вращение БК отсутствует) коэффициент трения к* = к, а потому

( 16*4)

где через Ь°тлК обозначена длина горизонтального участка, при

котором осевое усилие Р = 0 в случае п = 0 (бурение с примене­ нием забойного двигателя). Рассмотрим отношение длин, опре­ делимых формулами (16.3) и (16.4). Легко установить, что это отношение суть

^шах V

Соотношение (16.5) показывает, во сколько раз участок пере­ дачи осевой нагрузки на горизонтальном участке при роторном способе (л Ф0 ) отличается от соответствующего участка при бу­ рении с помощью забойных двигателей.

Пример. Пусть v = 36 м/ч = 0,01 м/с, п = 6,28 рад/с, D =

=127 мм = 0,127 м.

Вэтом случае согласно (16.5) имеем, что i^ !i = 40.

Итак, при вращающейся БК осевая нагрузка передаётся на забой гораздо эффективнее, чем при невращающейся БК. По­ этому при проводке горизонтального участка скважины ротор­ ным способом особых проблем не возникает.

Рассмотрим теперь скважину, состоящую из трёх участков: вертикального длиной /, криволинейного выпуклого вниз с по­ стоянным радиусом кривизны R0 и изменением угла а € [0 , л /2 ] и горизонтального длиной I (рис. 16.3).

Пусть растягивающее усилие в верхнем торце БК (усилие на крюке) равно No, а все участки БК состоят из труб одинакового диаметра и изготовлены из одного и того же материала. Усилие, приложенное к нижнему торцу (долото), обозначим через Р и введём для каждого из участков свою систему координат, как это показано на рис. 16.3:

-для вертикального участка ось 0SUгде координата Sj изме­ няется от нуля до /;

-для участка кривизны с постоянным радиусом Я0 угол а изменяется от нуля до п/2 ;

-для горизонтального участка ось OS2, где координата S2 из­ меняется от нуля до L.

158

о

l

Sx

Рис. 16.3. Пример скважины, состоящей из трёх различных участков

А теперь воспользуемся верхним соотношением (16.1) для осевого усилия. Поскольку для вертикального участка радиус R(S) = <*=, угол a (S) = 0, а коэффициент трения k* = const, то для осевого усилия на этом участке получаем:

( 16.6)

а усилие N(l) = N(Si = /) в месте соединения вертикального и искривлённого участков БК запишется как

На искривлённом участке радиус R(S) = R0, угол а, а коэф­ фициент трения k* = const. Поскольку на этом участке справед­ ливо равенство dS = Roda, то с учётом его выпуклости вниз (лекция 15, рис. 15.6, случай а) для осевого усилия на этом уча­ стке получаем

159

откуда с учётом значения ОД7) имеем

Усилие N(a = я/2) в месте соединения искривлённого и гори­ зонтального участков БК согласно (16.8) записывается как

Для осевого усилия на горизонтальном участке (здесь R(S) = = «о, угол a = 7с/ 2) согласно (16.1) имеем

Очевидно, что осевое усилие со стороны забоя (см. рис. 16.3)

P = -N(S2 = L):

N(S2= L) = -Р = N(a = п/2) + k'qL.

Подставив в данное равенство значение N(a = гс/2 ) после не­ сложных преобразований получаем

Р = (? , ' Т ^ « ^ - w" ) e'<'5‘'" + 7 7 p j9 i5 ) - 4'9i - (I 6-11)

Очевидно, что максимально возможное значение осевой на­ грузки на долото найдётся из (16.11) при k* = 0 :

^ » = й, + | й -А (о .

где 0ь = ql - вес вертикального, а Q, = 0,5nqRo - вес искривлен­ ного участков.

Зная закономерности (16.6), (16.8) и (16.10) изменения осе­ вых усилий в поперечных сечениях БК, аналогичным способом найдём значения крутящих моментов в различных участках ко­ лонны согласно второму соотношению системы (16.1), что затем позволит определить момент Мо на устье скважины, необходи­ мый для вращения БК. Решение данной задачи особого труда не

160