книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта
..pdfошибка будет автоматически исправлена тем, что в конечной формуле дебит выбранной фиктивной скважины будет фигури ровать со знаком минус.
В результате взаимодействия реальной добывающей сква жины (стока) Ai и фиктивной нагнетательной (источника) Аг
давление в любой точке пласта будет равно |
|
|
<1п-97> |
а на границе изменения проницаемости |
|
+ |
(Ш.98) |
где гг — расстояние от Ai и А2 до любой точки этой границы. Составляющая скорости фильтрации на границе АВ, обус
ловленная работой добывающей скважины Аи
— S h r - |
<Ш" > |
а проекция ее на направление, перпендикулярное к порогу АВ,
v„ |
Я1 |
а |
(III. 100) |
|
2яггЛ |
Гг |
|||
|
|
Точно таким же способом найдем соответствующую ско рость фильтрации, обусловленную действием фиктивного источ ника А2,
|
v2 |
|
Я2 |
(III.101) |
|
|
|
|
2яrrh |
|
|
. и проекцию |
|
|
|
а |
|
vn |
|
|
Я2 |
(III. 102) |
|
|
2яrTh |
Гг ‘ |
|||
|
|
|
|||
Сумма о' и v" будет равна нормальной составляющей ско |
|||||
рости фильтрации в точке |
этой |
границы |
(см. рис. III.8, б): |
||
|
_ |
|
(?1 + ?2>в |
(III. 103) |
|
|
|
|
|
|
2я ф
Определив давление рГ и нормальную составляющую скоро сти фильтрации на границе АВ в правой полуплоскости, перей дем к определению этих величин для левой полуплоскости.
Для построения фильтрационного потока в этой области по местим фиктивный сток Аз на расстоянии ОАз = а; дебит фик тивного стока — <7з, его также определим из граничных условий (см. рис. II 1.8, в).
6 Заказ № 203 |
81 |
Под действием фиктивного стока давление в левой области будет равно
|
P = |
-2S & - '" '- ' + |
C". |
|
<ШЛ04> |
||
а на пороге АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р г = т ё т |
Шгг + |
С2. |
|
(III. 105) |
||
Скорость фильтрации на этой границе будет |
|
|
|||||
|
|
v |
Яз |
’ |
|
|
(III. 106) |
|
|
|
2nrrh |
|
|
|
|
а нормальная составляющая ее |
|
|
|
|
|
||
|
Vn |
Яз |
|
а |
|
|
(III. 107) |
|
2кгTh |
ГГ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Первое условие— равенство давлений на границе АВ — по |
|||||||
лучим, приравняв (III.98) к (III.105): |
|
|
|
||||
М 1 |
М2 |
1п гг -(- Ci — |
Мз |
c2. |
(III. 108) |
||
2nkih 1п гг — |
2nkih |
2nk2fi In rr + |
|||||
Правая часть этого уравнения может равняться левой только |
|||||||
в том случае, если |
|
|
|
|
|
|
|
q i - q 2= - ^ - q 3, |
С, = С2. |
|
(III. 109) |
Второе условие— равенство нормальных составляющих ско ростей на границе — получится, если приравняем (III.103) и (III.107)
{Я\+Ч2)а_ д3а
2лhr\ 2nhr\
или <7i + <72 = <7з- |
(III. ПО) |
Из уравнений (III.109) и (ШЛЮ) определим
Величина <72 может быть положительной и отрицательной. Из (Ш Л И ) следует, что выбор в качестве фиктивной скважины А2 д л я правой полуплоскости источника правилен при значениях k2> ki.
Что же касается выбора фиктивной скважины Аз для левой полуплоскости, то он был сделан правильно: в этой точке дол жен помещаться именно сток, а не источник.
82
Физический смысл этого вполне очевиден. При любых про ницаемостях ki и k2 наличие добывающей скважины At должно возбудить движение жидкости от периферии к этой скважине во всей области фильтрации и, в частности, в левой полуплоско сти; такое движение, очевидно, можно возбудить стоком, поме
щенным в правой области, а не |
источником, |
находящимся |
там же. |
выражение |
для давления |
Из (III.111) и (III.97) получим |
||
в правой полуплоскости: |
|
|
+ ‘га" 2>
Из (III.111) и (III.104) имеем выражение для давления в ле вой полуплоскости:
Р = {~ ,^ |
) w |
lnr° + c - |
<I,U13> |
Для определения постоянной интегрирования С используем отмеченное нами ранее свойство фильтрационного потока, за ключающееся в том, что на достаточно большом расстоянии от скважины At изобары по своей форме близки к окружностям.
Пусть на некотором расстоянии RK давление равно рк. Ис пользуя это условие, исключим из (III.112) постоянную инте грирования, а затем определим искомое давление в правой по луплоскости:
Р |
Mi |
In |
П___ ( k2—k\\ |
Mi 1п |
Рк- (III. 114) |
|
2iik\h |
RK |
W I + * 2 / |
2я*1h |
|||
При |
rl = Rc |
и л2« 2 а |
p должно равняться |
давлению рс |
в скважине. Учтя это, получим окончательно формулу для опре деления дебита [61]:
Я\ = |
2nk\h |
(III. 115) |
|
По этому методу могут быть решены и другие более слож ные случаи [61].
БЕСКОНЕЧНАЯ ЦЕПОЧКА РАВНОУДАЛЕННЫХ СКВАЖИН В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ
Существует несколько способов решения этой задачи, но наи более простым является способ, основанный на теории функций комплексного переменного. Этим способом решим задачу.
6* |
83 |
Расположим вдоль оси |
абсцисс |
на равном |
расстоянии а = |
||
= 2а друг от друга 2п=\ |
стоков обильностью |
q. Комплексная |
|||
функция согласно |
принципу суперпозиции |
будет равна |
|||
F (2 ) = |
[In z + In (z — а) + |
. . . + |
In (z — па) + |
||
+ 1п (2 + |
ц )+ . . . |
+ 1п(2 + па)] = - ^ - In X |
+ ^ г 1п Н г - а 2 - 2а2 ••• ” 2fl2]- |
(ш -пв) |
С другой стороны, известно, что
^ F — n O - ^ S r ) - |
a "-"? ) |
Устремим п к бесконечности. Чтобы можно было использо вать формулу (II 1.117) для определения бесконечного произве дения, примем
и = яг/а1.
Тогда |
|
|
|
|
|
|
F(z) = |
-^ \ n s \ n ^ ~ . |
|
|
(III. 118) |
||
Отделяя действительную часть от мнимой, получим значение |
||||||
потенциала: |
|
|
|
|
|
|
ф= -е т |
ln [ch l T y — co sv |
JC] + |
C- |
(III. 119) |
||
Пусть при 2 = Rc |
y = R c |
Р = |
Рс, тогда, учитывая, |
что ср = |
||
k |
|
|
|
|
|
|
= — р, найдем давление в пласте: |
|
|
|
|
||
|
|
, |
% |
It |
х |
|
|
|
ch — у — cos — |
|
|||
Р— Рс |
4nkh |
In |
о |
о |
Rc |
(III. 120) |
|
ch — Rc —cos — |
|
||||
|
|
|
a |
a |
|
|
При наличии нескольких параллельных цепочек потенциал находится по принципу суперпозиции полей, обусловленных дей ствием каждой из них. Например, для двух цепочек потенциал равен
Ф |
= |
4пА |
1п |
у — cos |
Я2 |
In (с h - ^ - i y - H ) - |
|
|
|
ГГ1 3 |
4яА |
|
|
||
|
|
|
|
— co s -^ -(* — Xi)) + |
С. |
(III. 121) |
1 Второй член в (III.116) как постоянный отброшен.
84
Легко показать, что уже при значениях у > 2 а поток к це почке скважин будет практически линейным.
Действительно, при
|
|
, |
* |
|
|
|
|
|
ch — у |
2 е |
» 1 |
|
|
|
|
|
а и |
|
||
М |
i „ I |
„*у/®__ |
М |
( / / - ^ - 1 |
п 2 ) = |
|
Р — Рс 4nkh |
ш 2 |
е |
— |
2* (2стЛ) |
||
|
М |
( у -----~ 1п 2 ) . |
(Ш. 1 2 2 ) |
|||
|
2 k F |
По выражению (III.122) определяют падение давления на от резке пути
1 = У — ~ 1п 2,
перпендикулярном к цепочке скважин, при движении половины
а
потока — через поперечное сечение F = 2oh.
ЦЕПОЧКА РАВНОУДАЛЕННЫХ И РАВНОДЕБИТНЫХ СКВАЖИН В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ
Если число добывающих скважин в прямолинейной цепочке конечное, то давление в скважинах даже при одинаковых ин
тервалах между |
ними |
и оди |
|
|
||
наковых |
дебитах |
будут раз |
|
|
||
личны. |
общих |
|
соображений |
|
|
|
Из |
|
|
|
|||
ясно, что чем |
дальше |
распо |
|
|
||
ложена скважина от середины |
п |
v п х |
||||
цепочки, |
тем |
больше |
должно |
Рнс. 111.9. К расчету давления в бесконеч |
||
быть давление в ней. |
|
|||||
|
ном пласте (случай цепочки конечной дли |
|||||
Для |
нагнетательных сква |
|
ны) |
|||
жин должна |
иметь место об |
|
|
ратная тенденция, т. е. уменьшение давления нагнетания с пере ходом от центральных скважин к периферийным.
Пусть на бесконечно большом пласте имеется прямолиней
ная |
цепочка, состоящая |
из 2п+\ |
равнодебитных |
скважин |
|||
(рис. |
111.9). |
|
|
|
|
|
|
Давление в v-й скважине определим по принципу суперпо |
|||||||
зиции |
|
|
|
|
|
|
|
р„ = "2^ - |
[1п/?с + 1п 2 а + |
1п 2 . 2 а + . . . |
+ 1п (п — \) 2а + |
||||
или |
+ |
1п 2а + 1п 2 •2а + |
. . . + |
In (п + |
v) 2а] + |
С |
(III. 123) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р' = |
^ Ш |
[1п/?с + 2л1п2а + 1 п ( « - v )!(« + |
v)l] + |
C. |
(III. 124) |
85
Используя формулу Стирлинга для приближенного опреде ления факториала при большом числе множителей, получим 1
Pi = 2яkh |
[ln /?c + |
|
2п 1п 2 а + |
1п 2л — 2 л + |
|
||||
|
|
(п2 — у2) |
П+ -Я- |
(n -|_v) |
* |
|
|||
|
+ 1п |
|
2 |
|
+ С. |
(III. 125) |
|||
|
|
(п —v)v |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем |
разность |
давлений |
в v-й |
|
и центральной |
(v = 0) |
|||
скважинах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р , — ро = |
|
ц? . |
|
(л2 —у2) |
|
2 ( п + у ) |
(III-126) |
||
2*kh |
|
|
(n - v Y |
п2п+1 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Если принять v = |
const и |
п-*- оо, то, как легко видеть из |
|||||||
(II 1.126), эта |
разность |
будет |
стремиться |
к нулю, т. е. произой |
дет полное выравнивание давлений в средней части ряда дли ной, соответствующей 2 у + 1 скважинам.
Определим разность давлений в самой крайней и централь ной скважинах. В этом случае нельзя использовать выражение
(III.126), |
так как формула Стирлинга непригодна |
для |
случая |
|||||||
V = п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непосредственное вычисление величины рп для крайней |
||||||||||
скважины дает следующий результат: |
|
|
|
|
|
|||||
pn= |
- ^ |
j r [\nRc + |
\u2a + \ n 2 -2 o + |
. . . |
+ |
1п2«.2а] + |
С = |
|||
= |
" S |
r |
Пп Ъ + |
2" 1п 2а + |
1п (2л)!]-|- С = |
|
[in Rc + |
|||
+ |
2п 1п 2а + 1п У2л + (bn + |
1п 2п — 2п] + |
С. |
(III. 127) |
||||||
Для центральной скважины имеем |
|
|
|
|
|
|||||
Ро = |
|
|
[1п/?с + |
2(1п2а + |
1 п 2 .2 а + . . . |
+ 1п п2а)\ + С = |
||||
= |
т а " |
П п Я с + |
2 Я 1 п 2 а + |
2 1 п « ! ] + |
С = |
“ 2^ |
[ 1 п / ? с + |
+ 2п 1л 2а + 1п2л + (2п + 1)1пя — 2п] + С. (III.128)
Откуда
Р п ~ Р о = "2^ [(2 п + -i-) 1п 2п - 2п\пп - 1п ^/Щ . (III. 129)
1 Формула Стирлинга дает удовлетворительные результаты даже при п=
= 1-н2.
86
Описанным выше методом можно решить задачу фильтрации жидкости к одной горизонтальной скважине бесконечной про тяженности в однородном горизонтальном пласте конечной тол щины h. Эта задача решалась И. А. Чарным в предположении, что расстояния от оси скважины до кровли и подошвы пласта
одинаковы, а = hi2. Более общее |
решение, |
принадлежащее |
||
А. М. Пирвердяну |
[53], исходит из |
условия, |
что |
ось смещена |
в сторону кровли |
(подошвы), т. е. |
а ф h/2 |
(рис. |
ШЛО). |
Для решения задачи отобразим |
скважину зеркально кровле |
и подошве пласта. Затем отображенные скважины, в свою оче редь, отобразим относительно линий 1— 1, 2—2 и так далее до бесконечности.
Полученная указанным способом бес
конечная цепочка, как |
легко видеть из |
|||
рис. ШЛО, состоит из двух бесконечных |
||||
цепочек, в каждой из которых интерва |
||||
лы между скважинами одинаковы и |
||||
равны двойной толщине пласта: |
|
|||
|
2а = |
2/i |
|
(III. 130) |
(для наглядности скважины одной из та |
||||
ких цепочек зачернены). |
|
|||
Нетрудно доказать, что в результате |
||||
взаимодействия |
всех |
скважин |
выпол |
|
няется условие |
непроницаемости |
кровли Рнс. 111.10. К расчету дебита |
||
и подошвы пласта. |
постоянство |
горизонтальной скважины |
||
Чтобы получить |
давле |
ния на контуре питания АВ, отобразим все скважины относи тельно линии АВ и возьмем отображенные скважины с обрат ным знаком (это отображение показано на рис. ШЛО в виде цепочки II).
Итак, задача сводится к суперпозиции полей четырех це почек скважин: зачерненных справа; зачерненных слева; свет лых справа; светлых слева.
Для первой и второй групп скважин распределение давле ния описывается уравнением
|
сh— (у — Н) — cos — (х — а) |
|
4nk In |
а |
______ о _ _____' |
сh — (у + Н) — cos — (* — а) |
||
|
а ' ' |
а |
для третьей и четвертой — уравнением
М |
СЛД- (у - Я) — cos -5- (х + а) |
|
In |
|
|
ink |
сЛ-5- (у + Я) - cos |
(х + а) |
|
+С', (III. 131)
+С",
где q — дебит 1 м скважины, Н- расстояние от цепочки до линии АВ.
87
Результирующее давление р = р '+ р " . Граничными услови ями являются: при х = а — Rc, у = Н, р = рс\ при у = 0, р = = рк. Решение имеет вид [53]
|
|
д _ 2nk(pK~Pc) |
у |
|
X |
2пН |
h |
_2________ |
(III. 132) |
|
h |
I n 2nRc + 4 - 1 " |
л (2a — Rc) |
|
h
Расчеты по формуле показывают, что дебит совершенной го ризонтальной скважины практически не зависит от места рас положения ее по толщине.
Перейдем к рассмотрению несовершенных горизонтальных скважин. Окружим мысленно скважину цилиндрической поверх ностью радиуса Ro = R c+K где Л,— участок стабилизации, за пределами которого фильтрация имеет плоский характер в вер тикальной плоскости. Для всей внешней области расчет будем
вести по формуле |
(III.132), |
несколько |
видоизмененной, т. е. |
|||
|
|
|
2 |
л k(pK- p 'c) |
y |
|
X |
2яН |
|
|
|
|
. (III. 133) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- I n |
|
|
- I n |
я ( 2 д — R0) |
|
|
|
2яЯо |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 — c o s |
|
Формула |
(III.133) |
получена |
из (III.132) заменой рс давлением |
|||
р' на цилиндрической |
поверхности радиуса Ro и Rc—Ro. |
|||||
Внутри |
кольцевой |
области |
R o > R > - Rc расчет будем вести |
|||
по формуле В. И. Щурова |
|
|
|
|||
|
|
Я |
2 n k (р 'с - |
р с ) |
(III. 134) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I n |
Rc |
где С — коэффициент несовершенства по характеру вскрытия. Исключая из уравнений (III.133) и (III.134) промежуточное давление р'о, получим формулу для притока жидкости к несо
вершенной горизонтальной скважине
= |
2 n k ( р к - Дс) v |
Чц ^
X |
h |
_______ 1 |
_ 2 ________ |
(III. 135) |
2 я И |
+ £ + ~2~1" |
|
||
h |
2 я R с |
я ( 2 д — Rp) |
|
|
|
I n |
|
|
|
h
88
Отношение дебитов при а = hj2 и а = 0 будет
|
2яН |
■In |
2я/?с |
+ С |
|
|
|||
Я' |
2пН ■In |
|
+ 1п |
(IllЛ36) |
я /?с |
+ С |
|||
|
|
|
|
Из формулы (II 1.136) видно, что с ростом С различие между дебитами q' и q" должно уменьшаться.
Исследование [53] показывает, что в анизотропных пластах даже при наличии значительной анизотропии разница между дебитами, соответствующими симметричному и предельно несим метричному положению оси скважины, невелика. Это дает осно вание при расчете дебита горизонтальной скважины в боль шинстве случаев не считаться с возможной несимметричностью расположения ее в пласте и считать а = Л/2 .
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
Отличительные особенности всех задач фильтрации однород ной жидкости, рассмотренных в предыдущих разделах, заклю чались в следующих не во всех случаях оговоренных положе ниях:
кровля и подошва пласта принимались за параллельные пло скости;
скважины вскрывали пласт на полную толщину.
Указанные положения позволяли свести все задачи к пло ским течениям, при которых процесс течения зависит от двух координат х и у.
В реальных условиях пласт представляет собой структуру, которая в большей или меньшей степени отклоняется от модели, образованной параллельными плоскими границами. Однако ва жно отметить, что в большинстве случаев протяженность пласта
во много десятков |
раз |
больше расстояния |
между его |
кровлей |
и подошвой. Это дает |
основание, как справедливо |
отмечает |
||
В. П. Пилатовский |
[49], аппроксимировать |
реальный, |
в прин |
ципе не плоский пласт, моделью «тонкого» пласта, в котором частицы жидкости перемещались бы перпендикулярно к каж дому интервалу толщины. На основе этой модели В. П. Пилатовским [49] были разработаны методы решения задачи гидро механики тонкого пласта.
Эти методы можно использовать для расчетов фильтрации однородной жидкости в пластах, принимающих участие в строе нии геосинклинальных складок.
Если скважины без фильтра вскрыли пласт йена полную тол щину, или же если они при полном вскрытии пласта оборудо ваны фильтром, то в этих случаях фильтрационный поток яв ляется пространственным, даже тогда, когда кровля и подошва пласта — параллельные плоскости.
89
Для пространственных течений большое значение имеет по
ток, образованный точечным |
стоком (источником) в |
неограни |
||||||
ченном пласте (рис. III.11). |
|
|
|
|
|
|
||
Потенциал скорости <ptдля этого случая имеет вид *: |
||||||||
|
Ф; = |
_______ 4i________ |
|
|
(III. 137) |
|||
|
2я V (z - О2 + |
г2 |
’ |
|
||||
где г = ^ х 2+ у 2. |
|
при |
<7 > |
О— источник. Уравнение |
||||
При <7 < 0 |
имеем сток; |
|||||||
(III.137) — это |
преобразованное |
выражение (III.14), |
в котором |
|||||
|
|
давление заменено |
потенциалом ско |
|||||
|
|
рости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возьмем конечное число точечных |
|||||
|
|
стоков |
(источников) |
на вертикальной |
||||
|
|
оси и применим |
принцип |
суперпози |
||||
|
|
ции для определения потенциала ско |
||||||
|
|
рости, вызванного действием этих ис |
||||||
|
|
точников. |
|
|
|
|
||
|
|
ков |
Для конечного числа точечных сто |
|||||
|
|
потенциал |
скорости |
выразится |
||||
|
|
суммой |
|
|
|
|
|
|
|
Ф= У, -т~4л У/(___г - СУ^=)2 + |
гг2 + С, |
||||
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
(III. 138) |
Рис. III.11. Точечный сток (ис |
|
|
|
|
|
|
|
точник) в неограниченном пласте |
где |
gi, |
£2, |
..., |
£дг— координаты |
||
|
стоков. |
|
|
|
|
|
|
Обозначим расход всех стоков через |
|
|
|
||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
Qo = |
2 Q = |
2 ] |
qt. |
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
Увеличивая беспредельно |
число стоков |
(N ->-00), но сохра |
|||||
няя сумму расходов 2 Q неизменной, получим выражение |
|||||||
I |
С |
ЧЪ) & , |
, + |
с |
(III. 139) |
||
4л J V ( z - C ) * + r* |
|
|
|||||
характеризующее «действие» на |
рассматриваемую |
точку с ко |
ординатами z и г всех стоков отрезка — h, +h. При переходе от дискретного распределения к непрерывному мы заменим обо значение qt на <7 (0 -
Задаваясь той или иной интенсивностью стоков q(Q на от резке —h, +h, получим различные значения потенциала ско рости. Однако нас должно интересовать такое распределение <7 (£), которое обеспечивало бы получение постоянного потенци-
1 Определение потенциала скорости в главе I.
90