книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта
..pdfт. е. давление вдали от скважин изменяется по логарифмиче скому закону, при этом изобары приближенно можно заменить окружностями с общим центром, совпадающим с серединой от резка /.
При qi + q z = 0, т. е. в случае, когда сток (скважина) по глощает ровно такое же количество жидкости, которое посту пает извне в источник (в нагнетательную скважину).
^ ~ т а г - - г С08<р + с - |
(ш -65) |
т.е. р вдали от скважин при <}>ф 90° изменяется по закону г -1. Результат можно обобщить на случай любого числа скважин.
Пусть имеется N скважин с дебитами <71, <72, . . qN■Обозначим через Q алгебраическую сумму дебитов:
|
Е <7<=Q. |
|
|
<IIL66> |
|
|
г—1 |
|
|
|
|
Давление в любой точке пласта определится по следующей |
|||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
- ^ - р = £ |
qt \nrt + |
C. |
|
(III.67) |
|
<=1 |
|
|
|
|
Используя (Ш .67), получим |
|
|
|
||
2 kh |
N - 1 |
|
|
|
|
—^ <7(1п—Н—|-Q1пГдг +С. |
(III.68) |
||||
|
}=\ |
N |
|
|
|
Каждый из членов ряда стремится |
к нулю |
при удалении |
|||
точки от группы скважин по закону |
р ~ г ~ 1 |
[см. уравнение |
|||
(III.65) ]. Поэтому |
при больших расстояниях |
суммой |
можно |
||
пренебречь и принять |
|
|
|
|
|
|
р « |
Q In rN + |
С, |
|
(III.69) |
т.е. получается тот же результат, что и для двух скважин.
В.Н. Щелкачевым было введено понятие укрупненной сква жины. Под укрупненной скважиной подразумеваем некую фик тивную скважину, охватывающую область, в которой находятся реальные скважины. Радиус этой «скважины» выбран таким об разом, чтобы за пределами этой области можно было бы с до статочной для практики точностью считать движение плоскора диальным.
Дебит укрупненной скважины равен алгебраической сумме дебитов реальных скважин. При равенстве этой суммы нулю давление за пределами области можно считать практически по стоянным и равным первоначальному пластовому давлению.
71
Ниже будут рассмотрены два наиболее простых и вместе с тем характерных примера применения принципа суперпозиции, из которых будут сделаны соответствующие выводы.
1. Добывающая и нагнетательная скважины в бесконечно большом пласте.
Полагая в (III.54) q1 = — Цг = Ц, получим
р = - щ г ь т г + с -
Определим вид изобар. Из уравнения (III.70) видно, что дав ление должно быть одинаково во всех тех точках, для которых отношение ri/r2 постоянно. Отсюда следует, что изобарой яв ляется такая кривая, отношение расстояний каждой точки ко
торой до центров |
скважин — величина |
постоянная. Можно по |
||||||||
|
|
|
казать, что условие постоян |
|||||||
|
|
|
ства |
отношения |
|
радиусов- |
||||
|
|
|
векторов г\ и г2 характерно |
|||||||
|
|
|
для двух семейств окружно |
|||||||
|
|
|
стей, центры которых лежат |
|||||||
|
|
|
на оси |
абсцисс. |
Ни |
один |
||||
|
|
|
из этих |
центров |
не совпа |
|||||
|
|
|
дает |
с |
центрами |
скважин |
||||
|
|
|
А и В. |
|
|
радиус изо |
||||
|
|
|
|
Чем меньше |
||||||
Рис. III.4. Кривая изменения давления по ли* |
бары, т. е. чем |
ближе |
она |
|||||||
|
нии, соединяющей забои скважин |
к |
центру |
скважины, |
тем |
|||||
|
|
|
меньше |
ее относительный |
||||||
эксцентриситет. Это согласуется с выводом |
о |
том, |
что изобара |
|||||||
в окрестности скважины приближенно |
соответствует |
условию |
||||||||
г = |
const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясним смысл постоянной интегрирования С. |
|
|
|
||||||
|
Будем изучать характер изменения давления вдали от стока |
|||||||||
А |
и источника В |
(рис. II 1.4). Чем |
дальше |
рассматриваемая |
точка пласта от работающих скважин Л и Б, тем меньше она подвержена возмущающему действию их. Очевидно, на беско нечно далекую точку эти скважины не влияют и
Р = Рк- |
(Ш.71) |
С другой стороны, для бесконечно далеких точек отношение rl/r2= 1 , вследствие чего
ln(r,/r2) = 0 . (III.72)
Подставляя в уравнение (III.70) р и In из (III.71) и (III.72), получим
рк= С . |
(III.73) |
Уравнение раскрывает смысл постоянной интегрирования С. Эта постоянная, равная давлению в бесконечно далекой (или,
72
что практически одно и то |
же,— очень далекой) |
точке пласта, |
не подверженной действию |
(или практически |
подверженной |
в весьма слабой степени) возмущающих скважин А и В. Под
ставляя значение С из |
(111.73) |
в |
уравнение |
(III.70), получим |
|||||
|
' , - - 5 Э Г 1" Т |
Г + ' ’ - |
|
|
<Ш-74> |
||||
Пусть давление на забое добывающей скважины А равно |
|||||||||
Подставив в |
(III.74) rl = Rc, г2=1 = 2а, р = |
р'с , |
получим |
||||||
|
* '= т & г1"-1г+ л - |
|
|
<ш-75> |
|||||
Обозначим через р" давление в нагнетательной |
сква |
||||||||
жине В. |
в (111.74) |
rt^ 2 a, |
|
|
Rc. Р = |
|
имеем |
||
Подставив |
r2 = |
р", |
|||||||
|
|
П - in |
Rс |
+ Рк- |
|
|
(III.76) |
||
|
|
2яkh |
1 |
|
|
||||
Вычитая из (111.76) уравнение |
|
(III.75), имеем |
|
|
|||||
|
Рс - |
|
|
|
|
2q |
|
|
(111.77) |
|
|
|
|
|
Rc |
|
|
||
Складывая |
(III .75) с |
(111.76), получим |
|
|
|
||||
|
p’c + pl = |
2pK, |
рк = |
-^-(р'с+ рЭ, |
|
(111.78) |
|||
T . e. пластовое (статическое) |
давление равно среднему |
ариф |
метическому значению давлений на забоях скважин при одина ковых дебитах, независимо от их величины.
Для линии симметрии у имеем п = г2 и р = рк, т. е. давле ние на этой линии равно пластовому (статическому) давлению.
Построим кривую изменения давления по линии, соединяю щей центры скважин (см. рис. II 1.4). Из нее видно, что репрессионная «вершина» в области нагнетательной скважины (левая заштрихованная часть) представляет собой как бы переверну тую депрессионную воронку в области добывающей скважины (правая заштрихованная часть).
Решим эту же задачу методом теории функций комплексного переменного. Представим плоскость течения жидкости (х, у) как плоскость комплексного переменного z = x+ iy . Тогда комп
лексная функция F(z) = ф (х, |
у) + rip (л:, у), |
обусловленная дей |
|
ствием одного стока, будет |
|
|
|
F (z) = ф(х, у) + |
(X, у) = "2^ |
In z + С, |
(Ш.79) |
k
где ф(х, у) = — р — потенциал течения; ф(х, у ) — функция М1
тока, не изменяющаяся вдоль заданной линии тока. С перехо
73
дом к другой линии тока значение ее меняется. Отбросив посто
янную С как несущественную |
величину, получим |
из |
(II 1.79) |
|||||||
|
4 |
|
= x |
+ |
iy, |
|
|
|
(III.80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда, отделяя действительную часть от мнимой, получим |
||||||||||
<р= ^ тг1п^ |
х2 + У2= ^ |
к |
1 пг’ |
* = ~ 2 h r arc{z i = |
^ n r b’ |
|||||
где 0 — угол, образованный |
вектором |
г с осью х. Из |
получен |
|||||||
ных выражений следует, что |
окружность |
х2+ у 2 = |
г2 действи |
|||||||
тельно представляет изопотенциальную линию <р = |
const |
(изо |
||||||||
бару), а функция тока <р, постоянная |
вдоль прямых линий 0 = |
|||||||||
= ylx = const, проходящих через начало |
координат, |
действи |
||||||||
тельно является линией тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В случае одного стока и одного источника комплексный по |
||||||||||
тенциал равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F<г>= -Ш 1п<г - »>- тяг 3" <* + »>=1 ST >" |
|
|
■ |
<ш-8'> |
||||||
Отделяя действительную часть от мнимой, получим |
|
|
||||||||
|
» = TSTta7 r . |
Ч-— ^-<02 —в,). |
|
|
(Ш.82) |
|||||
Переходя |
к давлению, |
получим |
формулу |
(III.70) |
с точ |
ностью до постоянной интегрирования.
Задаваясь различными значениями ф, получим уравнения ли ний тока.
2 . Две добывающие скважины в пласте бесконечно больших
размеров. |
qi = Цг = |
q. Уравнение (III.54) при этом имеет вид |
Примем |
||
р - |
г' + 7 |
Ж 'г, + ■С = A ; I n (л,r,) + С. (ПТ.83) |
Отсюда ясно, что давление будет одинаково во всех точках, для которых Г1Г2 = const. Кривые, удовлетворяющие этому ус ловию, называются овалами Кассини (кассиноидами), или лемнискатными кривыми. Здесь так же, как и в предыдущей за даче, изобары в окрестности скважин имеют форму, близкую к окружности.
По мере удаления от центров стоков изобары постепенно вытягиваются к оси симметрии, а затем после слияния прини мают форму овала, который на больших расстояниях от сква жин приближается по своему виду к окружности.
Подставляя в уравнение (II 1.83) вместо ri = Rc, Г2 ~ 2 а и
р = рс, получим |
|
Р с = 2nkh 1п 2о^с + С• |
(III.84) |
|
74
Исключая С из (111.83) и (III.84), имеем
р ~ Рс = ~Ш/Г1а ~Ш Г ‘ |
<ш -85> |
Эту задачу также можно решить методом теории функций комплексного переменного.
ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ В ПЛАСТЕ ОГРАНИЧЕННЫХ РАЗМЕРОВ
Анализируя свойства потоков, рассмотренных в предыдущих разделах, приходим к выводу, что на достаточно большом рас стоянии от области расположения стоков и источников, по срав нению с размерами этой области, поток можно считать практи чески одномерным — плоскорадиальным. Указанная особенность полей позволяет решать в приближенной постановке ряд задач фильтрации в пластах ограниченных размеров. Действительно, если поток вдали от скважины можно заменить плоскорадиаль ным, то любую из изобар в «далекой» области можно с доста точной для практики точностью аппроксимировать окружностью и давление на этой окружности (изобаре) принять за давление рк на поверхности питания. Таким образом, вырезая из беско нечной области фильтрации ряд окружностей, охватывающих рассматриваемую группу скважин, и принимая на них постоян ное давление, равное среднему давлению на этой окружности, получим ряд решений для круговых пластов различного раз мера.
Допустимо для упрощения решения принимать за давление на поверхности питания не среднее давление на окружности, а значение его в характерных ее точках. Учитывая близость этой окружности к изобаре, можно предполагать, что такое упрощенное решение будет близко к истинному, точному.
Мы приведем еще один достаточно простой пример, иллюст рирующий метод.
Пусть на бесконечном пласте имеются две равнодебитные добывающие скважины (рис. III.5). Давление в пласте опреде
лим по формуле |
|
|
|
P = |
1 £fF ln( 'i '2) + C. |
(III.86) |
|
Проведем из середины |
отрезка |
AtA2 = 2а, как из |
центра, |
окружность достаточно большого радиуса RK•Давление в точке |
|||
этой окружности, очевидно, будет |
|
|
|
Рк = 1 5 Г 1п У (Я « + о2)2 - |
4Rio2cos2 ф + С. |
(III.87) |
75
Из |
(111.87) следует, |
что |
рк достигает |
экстремальных |
значе |
||||||||
ний при <р= 90° (ф = |
270°) |
и ф = |
0° |
(ф = |
180°), |
а именно |
|
||||||
|
Рк<р— 90° = |
2nkh |
|
+ |
G2) + |
С |
|
|
(III.88) |
||||
|
Рку=о°== -Л |
г-ln (Як — а2) + |
С |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Вводя граничные |
условия на |
поверхности |
скважин |
r = |
Rc |
||||||||
г г » 2 с т |
р = рс или г « 2 а |
r2 = |
Rc Р = |
Рс |
и приняв для про |
||||||||
стоты выкладок рс = |
0, получим из |
(1 1 1 .88) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
С |
|
ДО |
In 2 atfс |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2я£/г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TV |
In ■ |
2аRс |
|
|
|
|
|
(III.89) |
|||
|
|
Рк |
In ^к + а |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2aRc |
|
|
|
|
|
|
|
|
В табл. II1.3 приводятся результаты определения по формуле |
|||||||||||||
(III.89) |
отношения р"!р'к для R |
= |
0,1 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Из |
таблицы |
следует, |
что |
||||
|
Рк |
|
|
|
окружности |
с |
высокой |
сте |
|||||
|
|
|
|
|
пенью |
точности |
можно |
рас |
|||||
|
|
|
|
|
сматривать как изобары. Сле |
||||||||
|
|
|
|
|
довательно, |
задаваясь |
любым |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
Ш. З |
|
|
|
|
|
|
|
Результаты определения рк” /рк' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
в зависимости от величин а и /| , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
a, м |
|
|
|
|
RK. м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
1000 |
2000 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
100 |
|
0,992 |
0,999 |
0,999 |
|||
Рис. Ш .5. К расчету притока |
жидкости |
|
200 |
|
0,963 |
0,994 |
0,999 |
||||||
к двум скважинам в круговом пласте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
значением давления р'к или р ", |
можно |
очень |
точно |
опре |
|||||||||
делить дебит скважин, находящихся в аналогичных |
усло |
||||||||||||
виях. |
Подмеченная |
особенность |
фильтрационного поля |
поз |
воляет применить следующую приближенную подстановку гj*» atrzf&R (величина R при этом велика по сравнению с расстоя
нием между скважинами). Тогда |
формула |
(III.86) с учетом |
||
граничных условий примет вид |
|
R2 |
|
|
Р — Рс |
ДО |
In |
(III.90) |
|
2nkh |
2oRc ' |
76
Полагая, что р равно давлению рк на круговом контуре пи тания радиуса RK, получим формулу для расчета дебитов двух равнодебитных скважин, симметрично расположенных в пласте круговой формы:
Ц = 2nkh ( / > к — Рс) |
(III.91) |
ц In •2аR с |
|
Отметим, что выбор центра окружности в середине отрезка A IA2 необязательное условие получения приближенной формулы (111.91). Мы могли бы выбрать центр в какой-либо другой точке этого отрезка или даже вне его (но вблизи точек Ai и А2). Действительно, поскольку при достаточно большом радиусе RK логарифмы расстояний от точек контура питания до центров скважин приблизительно одинаковы и их можно принять рав ными логарифму RK, то выбор центра окружности не имеет зна чения. Но раз это так, то полученный вывод остается справед ливым для двух несимметрично расположенных по отношению к окружности радиуса RKравнодебитных скважин.
Конечно, приведенные рассуждения правильны, если RK зна чительно больше 2а и центр окружности находится не слишком далеко от центров скважин А\ и А2.
Приведенные соображения приемлемы и для более сложных условий, например, при двух скважинах разного дебита или большом числе скважин.
Однако в каждом отдельном случае путем оценок, аналогич ных приведенным, следует выяснить область применения пред ложенного приближенного способа.
Задача о фильтрации жидкости к скважинам в круговом пласте имеет точное решение и для небольшого числа скважин, расположенных геометрически правильно. Это решение не на много сложнее приближенного.
Приближенным способом следует пользоваться при иррегу лярном расположении большого числа скважин. В этих усло виях точный метод оказывается достаточно громоздким.
Точное решение основано на способе зеркальных отображе ний, сущность которого проиллюстрируем на нескольких про стых примерах (рис. III.6).
Вначале рассмотрим задачу о фильтрации жидкости к сква жине, расположенной у прямолинейного контура питания АВ на расстоянии а. Чтобы линия АВ была контуром питания (т. е. изобарой), необходимо зеркально отобразить скважину с деби том q, поместив за пределами пласта на расстоянии о фиктив ную скважину с таким же дебитом q обратного знака (если реальная скважина — добывающая, фиктивная должна быть на гнетательной и наоборот). Тогда мы получим случай двух рав нодебитных скважин разного знака, подробно рассмотренный выше [см. уравнение (III.74)].
77
Из этого выражения определим дебит скважины. Предполо
жим ri = |
г2, р = рк и ri = Rc, г% = |
2 а, р = рс, тогда |
|
||
|
<7 = |
2nkh |
Рк — Рс |
(III.92) |
|
|
Ц |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Для |
нахождения функции тока ф необходимо воспользо |
||||
ваться комплексным потенциалом |
(III.81). |
|
Так же просто решается задача, когда линия АВ является непроницаемой границей (экраном).
Зеркальная, фиктивная скважина на расстоянии о от этой линии должна иметь такой же дебит как по величине, так и по знаку. Полученный случай двух равнодебитных скважин одного
а
■ Ъ 9 - ч Т |
V -4 |
I— б-
в
Рис. III.6. Схема расположения скважины у прямолинейного контура питания (а) и у не проницаемого экрана (6)
знака рассмотрен выше [см. уравнение (III.83)]. Поле давле ний согласно уравнению (III.85) найдем из следующего выра жения:
|
|
Г\г2 |
|
(III.93) |
Р —P‘ = l£ f/T ln 2а /?с |
‘ |
|||
При достаточно большом |
расстоянии |
от |
центра скважины |
|
Г1 ~Г2«*/?Кдебит скважины будет |
|
|
||
Ц = |
2nkh |
Рк — Рс |
|
(III.94) |
И |
|
|
||
|
|
|
|
In 2аRс
Уравнение совпадает с выражением (111.91) для дебита од ной из двух равнодебитных скважин, симметрично расположен ных в круговом пласте. Следовательно, непроницаемый экран вызывает такое же снижение дебита единственной скважины (по сравнению с дебитом ее в бесконечном пласте), как и вто рая такая же скважина, расположенная в бесконечной области на расстоянии 2 а и находящаяся в таких же условиях.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда скважина расположена эксцентрично в круговом пласте радиуса RK. За
78
пределами кругового пласта помещаем фиктивную скважину с дебитом, равным дебиту реальной скважины, но обратного знака (рис. III.7). Расстояние между скважинами —
2
2 а =
( е — величина эксцентриситета).
Легко показать, что при таком выборе места расположения фиктивной скважины отношение расстояний от каждой сква жины до любой точки окружности ri/r2 будет постоянной вели чиной, равной e/RK. Иными словами, окружность действительно будет изобарой [см. формулу (II 1.70)].
Для определения дебита во спользуемся формулой
2nkhМ In гп1 + С. (III.95)
Приняв граничные условия на: контуре питания при г1/г2 = = e/RK р = рк, поверхности скважины при г = Rc и
Р2 - * 2
гг--
К - * '
Рис. II 1.7. К расчету дебита несоосно рас* положенной скважины в круговом пласте
р — рс У1подставив их в (III.95), получим
4 = |
2nkh |
( Рк — Рс) |
(III.96) |
Ц |
In RKRC |
||
|
R l - e 2 |
|
|
При концентрическом расположении скважины в пласте е = |
|||
= 0 2 а-»- с» (отображенная |
скважина должна быть удалена |
в бесконечность, ее действие на рассматриваемую область равно нулю) формула (III.96) переходит в формулу Дюпюи.
Комплексный потенциал для этого случая получится из соот ветствующего выражения для двух равнодебитных скважин раз ного знака [см. уравнение (III.81)], если принять расстояние между скважинами
2 а =
е
Описанным выше методом решим еще одну задачу. Пусть в безграничном пласте имеется одна эксплуатационная сква жина At с дебитом qi (рис. II 1.8, а).
Проницаемость правой полуплоскости равна ki, левой — k2. Линия АВ между этими полуплоскостями является границей
79
изменения проницаемости пласта. Скважина расположена от этого порога на расстоянии ОАи равном а. Необходимо постро ить изобары и линии токов в таком пласте.
Ввиду различия проницаемостей указанных областей линии токов и изобары должны претерпеть излом на границе измене ния проницаемости пласта.
Попытаемся решить задачу методом фиктивных стоков—ис точников.
Однако в рассматриваемом случае есть одна особенность, которой не было в решенных ранее задачах. При построении поля давлений и линий тока необходимо учитывать не только граничные условия на поверхности скважины A i, но также и ye
ti
А
|
/ / |
/у' \ п I п ft |
|
А\ |
|
о — х |
о - - |
|
А г |
|
|
В |
|
|
|
Рис. III.8. К методу |
фиктивных стоков — источников |
ловия на пороге АВ, т. е. стыке двух контактируемых областей с различными проницаемостями.
Эти условия представляют следующее:
давление ртв любой точке порога с правой стороны равня ется давлению на нем слева, т. е. р меняется непрерывно без скачка при переходе через порог из одной области в другую; нормальная составляющая vn скорости фильтрации в любой
точке порога справа равна таковой слева.
После сделанных замечаний перейдем к рассмотрению каж дой из областей.
Построим вначале поле давлений и линии токов в правой по луплоскости фильтрации при помощи одного фиктивного стока или источника, расположенного в левой полуплоскости. Поме
стим в |
точке Аг левой полуплоскости на расстоянии ОА2 = |
= ОА\ = |
а фиктивный источник с дебитом q2 (см. рис. III.8, б). |
Величина его нам неизвестна, ее мы должны определить из приведенных выше граничных условий.
Возникает вопрос: почему в точке А2 помещается источник, а не сток? Тот или иной выбор не должен повлиять на правиль ность конечных формул. Если выбор сделан неправильно, то
80