книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfОсвободиться одновременно от неоднородности в уравнении и в гранич ных условиях можно в случаях, когда правая часть (4.5) и неоднород ность в уравнении имеют следующий вид:
f{x,t) = g{x)h{t\ |
/u(t) = a h(t), v{t) = p h {t\ |
при этом h(t) представлено в виде |
|
h{t) —coswt, sin wt, shwt, |
shw, ewt для уравнения |
utl = |
+ ocux + fiu + g(x)h(t) |
и h(t) = ewt для уравнения |
|
ut = |
+ ccux + fiu + g(x)h(t). |
При этом u(x,t) следует искать в виде u(x,t)=v(x,t) + w(x)/i(?), где функ ция w(x)h(t) удовлетворяет неоднородному уравнению и граничным ус ловиям.
Задача 4.5. Свести неоднородную задачу к задаче с однородным уравне нием и граничными условиями.
ии ~ ихх + 3н* +4cosx sh 2t, t> 0, 0 < x < ;r,
иА |
_ = О, |
и\ |
= -2 shl, |
|
|||
* 1*=0 |
IХ=7Г |
|
|
|
\ |
||
|
|
|
|
е - е |
5п-Ах |
||
4 -0 |
='• |
“'1 - 0 = 2 |
- sin х - cos х |
||||
4еЪп +1 |
|||||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Решение: u(x,t) = v(x,/)+ w(x)-sh2t
Подставляя функцию w(x)-sh2t в неоднородные уравнения и граничные условия, получаем
f4w = w”+ 3w' + 4cosx,
}w'(o) = 0, w(n) = 1.
Решая уравнение системы, обратимся к решению неоднородных диффе ренциальных уравнений
W —w° + w“,
где w° - общее решение однородного уравнения и>1+ Зи'о - 4w0 = 0 Составляем уравнение характеристик:
А2 + ЗА - 4 = 0
Его корни: Я, = -4, Л2 = 1. Тогда общее решение имеет вид
w0(x) = +С2ех, а частное решение неоднородного уравнения ищем
в виде
w"(x) = -4cosx+ = В sinx . Подставим в исходное неоднородное уравнение и получим
- A cos х - В sin х - ЗА sin х + ЗВ cos х - 4A cos х - 4 В sin х + 4 cos х = 0,
, |
5 _ |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда А |
= —, В |
, т.е. частное решение неоднородного уравнения име |
|||||||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
н( |
\ |
5 |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
(х) = —cos х —-sin х . |
|
||||||
|
|
|
|
|
W |
4 |
|
4 |
|
|
|
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
W(х)=Схе 4jc+С 2е * + —cCOSXo s x -—----sinx; . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
Из граничных условий получаем систему |
|
|
|||||||||
|
|
-4C je 4х +С2ех |
|
sin x - —cos |
= 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
5 |
4 |
|
4 |
*=o |
|
|
|
Схе~4х +С2ех |
|
|
3 |
= 1, |
|
||||
|
|
+ —cosx— sinx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
—4Cj + C2 — |
= 0, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С,е~4л + С0ел - - |
= 1. |
|
|
||||||
|
|
I _ V |
|
|
|
3 |
|
-471 |
|
|
|
|
|
|
|
1н— e |
|
|
|
||||
Отсюда C, = |
4 |
4 , |
; C2 =___4 |
|
|
|
|
||||
|
4ел + е~4л |
|
|
4ел + e~4n ' |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
|
\ + ex |
|
l + -3e -4;r |
|
|
|
|
|
|
,-Ax ------ e |
|
5 |
3 . |
|||||
|
W(x)I = |
4 |
4 |
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
4e;r + e_4;r |
+ —cosx— sinx. |
||||||||
|
|
|
|
4 |
4 |
||||||
Тогда из начальных условий имеем
4 = 0 |
= |
4 = 0 |
“ |
iW(x )s^ |
t ) t=0 = |
1’ |
|
|
|
|
4 = o =ut\,-^2w^ |
h2tX=0 = |
|
|
|
||||||
_ е 2я-4Л + g-Ax( 1 е 4я _ |
3 g 5* | + e * . « Л |
) |
1 |
|
7 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
||
|
te bn +1 |
|
|
-----------+ —cosx — siiu |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|||
Ответ: заменяя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- \ x |
1 |
з |
, |
\ |
1 |
3 „ -4 |
|
|
|
\ |
|
--------e |
|
+ e |
+ - e |
J 5 |
|
|
3 . |
||
W(:M ) = v(x,f)+ |
4 |
4 |
|
V |
4 |
|
|
|||
|
-------------------------- + —cos*— sin* |
|||||||||
|
|
Aen +e~4* |
|
|
4 |
|
|
4 |
||
приводим задачу к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vtt = |
|
+ ЗМд., t >0, |
0 < х < к, |
|
|
|
||||
|
|
|
=0 |
'х —п |
|
|
|
|
|
|
|
|
4=о = !• |
|
|
|
|
|
|
||
е х _ е 2к-4х + е - 4 х ( I е 4х _ l e 5n Л |
е |
Ап |
У |
|||||||
|
|
|
|
U |
|
4 |
+ е* |
|
+ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
||
4 = о =2 |
4е5;г +1 |
|
17 .
+—cosx— smx.
22
4.2.Метод Дюамеля
Метод Дюамеля заключается в сведении задачи для уравнения ги перболического и параболического типа с неоднородным уравнением и однородными граничными условиями к вспомогательной задаче с одно родным уравнением и неоднородными граничными условиями.
Пусть дана задача Коши для уравнения гиперболического типа.
U“ |
d \ (*»t,x)dx +V,(x, t, X ] t = t |
= |
|
|
dt и |
|
|
t |
t |
r t |
\ |
= Jvtf(x,/,r)rfT + vt(jc,f,r)|re/ = Jv„(x^,rV r + ^ |
Y |
||
0 |
0 |
|
|
(из формулы дифференцирования по параметру и второго начального ус ловия задачи (4.2.2)). Далее напишем уравнение задачи, используя пред
ставление (4.2.3) |
t |
|
|
|
р(х)и„ (x,t) = Jv„ (x,t, x)dx +f(x ,t) = |
|
о |
/ |
/ |
= jlv(x, r, x)dr +f(x , t)= L jv(*, t, x)dx + f(x, /) = Lu{x, t) + f( x ,t) . |
|
о |
о |
Таким образом, u(x,t) удовлетворяет уравнению задачи (4.2.1). Тем са мым теорема доказана.
Задача 4.6. Доказать формулу Даламбера (3.3).
Предлагаем провести решение задачи самостоятельно по следующей схе ме.
1.Решение задачи (3.1)-(3.2) в силу принципа суперпозиции представлено
ввиде и = v + w , где v и w - решение задач
Гv„ ~ а2vxr> |
t>0, |
x e R , |
(4.2.4) |
|
Н,=о= ^М ’ |
4 =0= ^ ( 4 |
|||
|
||||
wt = a2wxx + f(x,t), |
t >0, x € R, |
(4.2.5) |
||
|
|
|
||
соответственно.
2. Найти решение задачи Коши методом характеристик. Доказать непо средственной подстановкой, что при введенных в теореме 3.1 ограниче ниях на функции <р(х) и у/{х) , функция v действительно удовлетворяет (4.2.4). В результате получим:
< x+at
vfr, х) = | [<р(х + at) + <р{х - at)]+ г |
(4.2.6) |
2а x-at |
|
Доказательство теоремы предлагается провести самостоятельно, как ана лог теоремы 4.1 для параболического уравнения.
Задача 4.7. Известно, что если функция и е C.{R пj, то классическое реше ние задачи Коши для уравнения теплопроводности, т.е. функция из класса
С2(г> 0)п С (/> 0), определяемая
U ,= a2AU + f( x ,t\ t > 0 ,x e S \
4.0=«>М
существует и единственна и выражается формулой Пуассона
/ |
х |
(4.2.8) |
U{x,t) = ( 2 a ^ j п jV(£) 4«2' dC |
||
Rn
Доказать формулу Пуассона для соответствующей задачи Коши с неод
нородным условием, т.е. что решение задачи
Ut =a2AU + f( x ,t\ о 0, x e R n, 4 = о = Ж )
при / e C 2(t> О), определенная вместе с производной до второго порядка включительно на полосе 0 < t < Т , достигается формулой
(*-с)2 |
, |
_____ |
J E S L |
U{x,t) = i^.a-Jnt) П \(pi£)e 4°2‘ |
+ | |
-т) ”е |
^ ^ ^ d ^ d r |
R" |
о Rn |
|
|
Решение рекомендуем проводить по схеме задачи 4.6.
Метод Дюамеля позволяет в ограниченных типах задач освободиться от неоднородности как в самом уравнении, так и в граничных условиях, ко гда неоднородность имеет зависимость от t или специальный вид.
Задача 4.8. Освободиться от неоднородности в следующей задаче
и И = 0 2и,л + /(* ,').
4,о =<“(').
Ч-о=0' 4,-0=4*)-
Решение. Ищем U(x,t) в виде U =v + v{t)x + /u(t), где v - решение задачи
vtt - a 2vxx + F{x,t\ |
t> 0, 0 < x< l, |
(4.2.9) |
||||
vU |
= v - U |
= 0 ’ |
|
|
|
|
vU |
= °W» |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
F{x, t) = f(x , t)- v"(t)x - /Л |
ф(х) = -^(о)х - //(о), |
|
||||
*Р(х) = у/(х)~ v(Q)x - //(О). |
|
|
|
|
||
Рассмотрим функцию V(x,t)= V} + V2, где |
Vk является решением задачи. |
|||||
М |
, |
= « 2('’|) „ , |
t> о, 0 < к / , |
|
||
•v' L -o= (v>)-1„/ = °- |
|
<4-211) |
||||
4 |
, 0 = « > (4 (v ,),L ) = 4 'to |
|
||||
Г |
|
|
|
|
|
|
М и - ° 2 М х х + F (* ’' \ |
'> 0 , О< х < 1 , |
|
||||
• V2U = ( V2£ U = 0 , |
|
|
(4.2.12) |
|||
v2l,_0 = (V2)/Uo = 0 - |
|
|
|
|||
Пусть при некотором т> 0 |
V = (x,t, г) является решением задачи |
|||||
Vt t = a2Vxx, |
О т , |
0 <х<1, |
|
|||
^ 0 = ^ |
= |
0 , |
|
|
|
(4.2.13) |
4 - r = ° - |
V‘L r = F( M |
|
|
|
||
t
Согласно теореме 4.1 функция, заданная v(x,t) = $V(x,t,r)dT, удовлетворя-
о
ет уравнению и начальным условиям задачи, таким образом v = v2. Преобразуем задачу (4.2.13), положив в ней z =t - т и введя но
вую функцию v(x,z,r)= V (x,t,r). Тогда v при г> 0 является решением задачи
v2Z = а 2^ , |
z > 0, |
0 < х <1, |
х=0 |
= V, / |
= 0 , |
х=1 |
|
VL=о v?lz=0 Итак, получаем после преобразования
|
о |
|
|
Ответ: |
u{x,t)=v(x,t) = jV(x,/-r,r)rfT + v(t)x +ju(t), |
||
|
t |
|
|
где 0 о с < /, t> 0, здесь v(x,t) и |
V(x,t,r) - решения соответствующих |
||
задач |
|
|
|
|
vtt=a1vxx, |
/>0, |
0 <х<1, |
|
vL o = v* L |
= 0 - |
|
|
>1„0=ф( 4 |
v,|M =4«(x). |
|
|
|
t> О, |
0 <х<1, |
4 - о = 0' причем Ф,'?,/*’ определяются равенствами (4.2.9).
4.3.Решение задачи Коши в волновой форме
ввиде суммы ряда
Вглаве 2 был изучен метод характеристик для решения задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Решение задачи Коши (3.1)- (3.2) легко находится с помощью формулы Даламбера. Для решения со ответствующих задач для двумерного и трехмерного волнового уравне ния доказаны формулы Пуассона и Кирхгофа, которые также хорошо из вестны. Однако даже для начальных условий простейшего вида нахожде ние решения с помощью этих формул является достаточно трудоемким в техническом отношении процессом, включающим в себя вычисление тройных или поверхностных интегралов. В ряде случаев оказывается удобным и изящным нахождение решения задачи Коши в виде суммы ря да, причем она имеет один вид для «-мерной функции при всех п>1. Ана логично формула справедлива и для «-мерного уравнения теплопровод ности. Прежде чем выписывать формулы, напомним некоторые сведения
оразности в ряд некоторых стандартных функций и об операторе Лапла
са.
Утверждение. Пусть uk,vk е Сс0(£>), D- наименьшее замкнутое
00 00
множество в R " ,n e N , ряды ^ и к |
и |
^ v k |
равномерно и абсолютно |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
00 |
|
|
сходятся в области Д тогда Vor,/? е R |
ряд ^(ocvk + fhik) равномерно и |
|||
|
|
1 |
|
|
00 |
|
|
00 |
00 |
абсолютно сходится в области D и Z |
f a |
n + f a n |
) = |
V n + /? £ U „ |
1 |
|
|
1 |
1 |
Для решения стандартных задач полезны следующие разложения в
ряд Тейлора при |/| < со:
оо f n
e ' ~ Z L ’
о"
оо, 2п \п 1
c o s l= X ( ^ (2й)
2п-\ оо
« в « - Х И Г , й |
|
“? И , ' ^ гл5 |
|
||
1 |
Лп |
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
c h r= S ? ^ i ’ |
|
|
|
|
|
о |
(2я) |
|
|
|
|
00 |
Л п |
|
оо |
,2я+1 |
|
sh^ = Т ]/—---- \ = У] 7"-----v |
|
||||
1 |
(2л-О |
|
о |
(2" + 1) |
|
Вспомним «-мерный оператор |
Лапласа Ди :C 2(i?”)-» |
ОП- |
|||
ределяемый равенством |
|
|
|
|
|
|
л |
V |
a2v |
|
|
|
|
и=1 Охк |
|
||
Рассмотрим частный случай оператора Лапласа при «=1,2,3 в различных системах координат:
1 ) « 1 , |
ДV = Vjg p , |
2) «=2 а) в декартовой ортогональной системе координат х, _у