книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfДалее выбираем /л и v таким образом, чтобы избавиться от первых
производных, тогда w = e~2x~‘Z , получаем следующую задачу для:
Ztl -5 Z = Zrj. -2 e l sin6x, |
t> 0, 0 < x<l, |
|
4 . o = z U |
= z l,.0 = z ,L = o . |
|
I |
2 |
|
Далее решение ищем в виде |
Z = X{x)T(t). |
|
|
||
Для нахождения X решаем задачу Штурма - Лиувилля: |
||
|
[Хп +ХХ = Ъ, |
|
|
х ( о ) = х - |
-0 . |
|
2 |
|
Л„ = {in)2, Х„ = sin 2пх . Для нахождения Т строим следующую задачу
Т "-5 Т +4п2Т
пп " 1-2е‘,и = 3,
г(о)=г(о)=о.
Отсюда Тп(t) —0 при и * 3,
Tf + ЗЩ = -2е‘,
Т3 = А3cos S i t + В3sin S it,
Т3 = Ае1,
7\ |
= — Гcos >/зТг н— |
sinл/зТг — |
|
3 |
16^ |
S |
i |
u(x,t)= x + t + ~7 Г 1( cos S i t + —7= sin S i t - l e~2x sin6x. |
|||
|
10 |
l |
S i |
Задача 7.7.
Utt ~ UXX’
“U =0> “< L =0-
Решение. В силу неоднородности граничных условий решение ищем в виде и(x,r) = v(x,/) + w(x,t).
Подберем w(x,i) таким образом, чтобы не только |
граничные условия |
|||
стали однородными, но и уравнение сохранило однородность: w(x) = - |
||||
Далее выписываем задачу для v(x, t) : |
|
|
||
v« |
|
|
= 0, |
|
i v x |
- H „ o |
|
||
( v x |
+ H |
„ , |
- 0, |
|
> |
a |
|
‘ 1»г=и0 = 0. |
|
|
|
|
||
Поставим задачу Штурма - Лиувилля |
v' |
|
||
|
|
|||
[Х Я+ЛХ = 0, |
|
|
|
|
j -Г (о)- /ьГ(о) = 0, |
Х %/)+ hx(l) = 0. |
|||
В процессе решения получаем |
|
|
|
|
Хп —цп |
(п = 1,2,...), |
|
||
где /лп- положительные корни уравнения ctg /Л _ ]_(/£_ |
||||
|
|
|
h |
n ) |
Х п(х) = /лп соъцпх +h sin junx,
ii2 l[h2 +ju„)+2h
\K
Ставим задачу для нахождения Тп:
т;+£т„=о
Ч - о - 1 г» № » = |
I
\т ^п (х sinfinl - —-(cos ц п1- 1)
т„(о)! Hn
\ K |
К |
|
|
|
|
|
п = 2к + \, |
к = 0,1,2.. |
|||
|
|
|
0, |
п = 2к, |
|
к = 1,2,3.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
M<Uo = 0* |
|
|
|
|
Решаем |
задачу: |
при |
= 0 |
(ft = 1,2,3...) |
однородная задача, при |
||||
2ft+ 1, |
ft = 1,2.. Г: |
2а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2/t+l |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
/ |
л |
ос |
^ |
|
4ос |
•Т ~ |
\ C0SP2k+\t x |
|
|
U [ x , t ) = - - + |
2 ,------7^-2-----— |
|||||||
|
|
|
П |
k=QP2k+\ |
+ Л^2Л+1 J4" |
|
|
||
|
x W |
n cos i^+ l* + ^ sin >u2*+1*), |
|
|
|
||||
где |
- положительные корни уравнения ctg ^ |
= ^ |
£ _ А |
||||||
Задача |
7.8. |
Решить |
задачу |
о |
вынужденных |
л /*. |
|||
колебаниях упругой |
однородной струны под действием пропорциональной линейной
плотности F(‘). |
если |
к |
концам |
приложены |
силы ju(t), v(f) |
|||
соответственно. Начальные условия произвольны. |
|
|
||||||
utt = |
|
Fit} |
t>0, |
|
|
Е |
||
+А ——, |
0 <х<1, А - — |
|||||||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Р |
иYI |
_ |
МО |
„ I |
|
_ |
4 0 |
„2 |
Т |
п = —--Л , |
wJ |
|
= ------ , |
а |
——, |
|||
х \х=0 |
J* |
*\х=1 |
|
|
|
р ' |
||
и\1=0=<р(х\ »г|,=0= ^ ( 4 |
|
|
|
|||||
|
u = v +w, |
w = A(t)x2 + B(t)x +C(t), |
Wr =l |
\ / |
rp |
rp |
A(t) =
T21
|
A > h » -(t)xz _ А Ц Х+c.(,)=a2 |
+ ° М ‘) + Ж |
+£й, |
|||
tt |
2IT |
T |
w |
|
IT |
p |
т.е. получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
где |
v tt = д2ухс + /(*>')> t > 0 ’ 0 < X < 1 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
М - Zfe)+ " ( |
' ) ) |
- C-(,)-vl <b . d ! ) ^ |
+ А й х . |
||
J X ' ’ p |
IT |
w |
21T |
T |
|
|
Причем выберем C(f) таким образом, чтобы |
|
|
||||
|
с .м |
F (') |
| а г(у(<)+^(0) |
|
|
|
|
w |
р |
IT |
|
|
|
|
С(,)= |
ooL |
'P |
d^dr. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для нахождения v(x,f) получаем задачу |
|
|
||||
|
vtt = а |
vxx ~ |
А ) * А > ) л | р У ) д. |
|
||
|
21Т |
Т |
’ |
|
||
|
|
|
|
|||
|
^ м ' т 1 м х> _ м м х |
|
||||
|
1/=о |
|
2IT |
Т |
5 |
|
|
У(| |
w |
21Т |
Т |
|
|
|
' |/=0 |
|
|
|||
Решение ищем в виде v(x,r)= |
Для нахождения X получаем |
|||||
задачу Штурма - Лиувилля. |
|
|
|
|
||
|
|
fX ' +AX = 0, |
|
|
|
\х'(0)= Х '(})= 0.
Получаем собственные |
значения |
Лп =j^y-J |
и соответствующие |
|
собственные функции |
|
|
|
|
»»• / |
\ |
ДЛХ |
Л^ _ |
|
X„(x) |
= cos— |
, п = 0,1,2,..., |
|
Далее ставим задачу для нахождения T(t):
Т" 1 i a m S \ T - (f ' X n)
"Ь J - > . Г
Гв(о) = |
|
Гп(0) = f c ^ . |
. |
IKII2 |
IKII2 |
1) л * 0 ,
J/(x,f)cos——dx = j[a(/)x2 + fi(t)x\cos^^-dx =
о |
1 |
|
о |
|
1 |
= (2a(f)x + y 9 ( 0 ^ j |
c o s— j - | j y ) |
2 a ( r ) s in ^ y |
|||
( v{t)+M{t)Y |
м Щ |
i |
\ 2 |
nhx |
2 г |
|
|
||||
|
|
|
|||
IT |
т А ль |
|
cos- |
|
|
|
|
|
|
у(о)+До)х2 |
, До) |
I ЛЙХ , |
a n = T (M *b |
2/f |
Г |
I cos—-—ш = |
|
|||
rchx |
21 |
|
|
= y M x)cos—-—dx |
|
|
|
|
{nhf |
|
|
A - f j r [ f « « ¥ < V - |
^ (ov(o))| - |
Т.е. получаем задачу для определения Т: |
|
|
|||||
|
|
|
f anh^2 |
r . - e . w |
|
||
|
|
|
= |
J |
|
||
|
|
|
V I |
|
|
|
|
|
|
Т„(0) = а„, |
Г„(0) = Д . |
|
|||
nhat |
_ . nhat |
|
|
|
|
_ |
|
Тп =Ап cos |
+ 5„sin—-— |
- решение однородного уравнения. Далее |
|||||
~ ~ Г |
|
|
|
|
|
|
|
строим частное решение неоднородного уравнения, получаем |
|
||||||
_ / \ |
nhat |
_ |
. |
nhat |
, |
/Л |
|
Тп \П=ап cos— |
+ р п sin — |
+ hn {t) , |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
« » = у /»>(<)«» т |
" 1d ( - ^ |
H |
i - v<°)■л 4 |
р-2-4> |
А - —
яия; |
/ |
(nhfaT |
||
fr»(0= |
Jsin |
|
^ [(-i f v ' ( r ) ~ ; |
|
2) n=0 |
|
|
|
|
^ { ,Xf |
= у j[a W*2 |
+ |
= -g-[3v(0+ 2^W ]= g o (0 , |
|
|
'.* o )~ l |
I |
) K - |
No) - 2/<(0)] = « 0. |
|
= J |
|
||
|
l*< |
|
|
|
|
s ) ] r (& { ~ |
M O - 2^ (0)]. A. |
||
|
Foil |
0 |
|
|
|
|
{To - |
So(t)> |
|
|
|
F o ( 0 ) = a 0, |
Зо(о)=Д0; |
/
таким образом, TQ(t) =a 0 + flQt + Jg0(7Xr ~ TY T
u(x,t) = |
* h M x* - M |
x + ' ( t m ± m ± M |
£ x , (dT. |
|||
|
2IT |
T |
JJ |
Tp |
|
^ |
|
+ a 0 +/3Qe+ jgo{rXt-T)dr |
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
+ |
cos— |
+ p n sin— |
+ hn{t) |
^ |
Tthx |
|
cos---- |
l
Здесь a„,fin,hn определяются по формулам (7.2.4)
7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа
Задача 7.9. Тонкий однородный стержень, на боковой поверхности кото рого происходит теплообмен с окружающей средой, а конец х = / - теп лоизолирован. Найти распределение температур, если начальная темпера тура V - const.
ul =a2uxx-flu, 0 <х<1, t> О, ux(0,t)-hu(Q,t) = 0,
ы(х,0) =V, h> 0.
Решение ищем в виде u(x,t) = X (x)r(t). Для нахождения Х(х) поставим задачу Штурма - Лиувилля.
ГХ" + ЛХ = 0,
\ аг'(о) - аяг(о) = А"(/)=0.
Собственные значения Лп ={р„)2, где р п - положительные корни урав нения Яtg Я/ = h , а собственные функции Х п(х) = р пcos /лпх +hsin р пх ,
00
далее подставим u(x,t)= ^ T n(t)Xп(х) в исходное уравнение и граничное
Л=1
условие. Y jTnX n - ° 2Y^TnX n - P 'E jn X n ~ Таким образом, получаем задачу для нахождения Тп (t).
|
т:+а2м Х - /Я „ = 0 , |
|
|
Т„ = |
|
1 ^ |
cosf l n x + Asm fi„ x )d x = - r - |
2V |
т„(о)= A J = -— -Г |
-----rr— . |
|
Wt . |
l(h2 + K ) + h |
|
Итак, u(x,t) = 2FAУ — г t |
1—ГЛ— .е-("2Л!-/<>(и cos finx + Asm ft x). |
Z l M „W ! + ^ J + AJ
Задача 7.10. Найти распределение температур в стержне, концы которого поддерживаются при нулевой температуре, с боковой поверхности про исходит лучеиспускание в окружающую среду, в стержне имеется тепло-
7DC |
|
|
|
|
|
|
вой источник sin — . Начальная температура равна нулю. |
||||||
и( = а |
2 |
|
|
п |
■ Я* |
|
|
ихх - ри +sm— , |
|||||
и\ п =и\ |
, =0, |
«I |
= 0, |
|||
!дг=0 |
|
I |
х=1 |
’ |
1/=0 |
’ |
х я + л х = о,
х(о)= *(/)= о,
|
я"=(т ) |
^ W =sin^ f ’ п=1’2»---» |
|
Е З Д , - 5 > 2М + Е / В Д . = sinf • |
|
Таким образом, |
+ (а2Лп - /з)гп = | ^ ” * |
|
|
2 |
2 |
Ti +\ ^ - ~ P I7! =1> Г,(0)=0.
л„г
ап
Отсюда |
Ш = А е |
~Р |
|
|
J + |
„ 2 —2 |
|
||
|
|
|
а к |
- Р |
|
|
|
|
|
Из начального условия А{ = ------- - |
- Д 2 |
|
|
|
|
a V |
|
|
|
|
|
|
„2„2 |
|
|
|
|
а к |
|
|
/ 2 |
1 -е |
-Р |
. лх |
|
а2я 2 -/Я 2 |
|
sin— . |
|
|
|
|
/ |
7.4. Метод Фурье для уравнений параболического типа (неоднородные задачи)
Задача 7.11.
Uf^a^Uxx, 0 <х<1, О О,
M* L ~ At>
их\х=1 = Т '
“1,-0 = Т
Решение исходной задачи ищем в виде u(x,t) = v(x, t)+ w(x, t) , где w(x,t) удовлетворяет неоднородным граничным условиям
w (x,t)= y\Х2 + у 2х + у 3^ + {з^х2 +S2x + S3)r,
тогда
w, 1 ^ = (2У\х + у2 )Ж +(2^iх + 82)г|^ = y2At + S2T = A t,
wx\x=i =(2r\x + r2)At + (2$\x + 52)r \x=i = (2y{l + y2)At + (28J + S2)r = T
Наиболее удобное решение с нашей точки зрения
w(x,0 = - x 2(T-A t)+ Axt
Получаем первую задачу для определения v(x,t) с однородными гранич ными условиями.
2 |
( |
|
|
2 |
\ |
2 |
|
|
Г |
|
1 2 |
л |
а |
|
2 ^ ~ А?''i |
|
vt = a |
|
|
|
wxx)=a |
|
Vxx+ \^Y 1X A + A x~ a |
— j ~ у |
|||||||||
|
v ,= a |
2 |
|
A |
2 |
|
J |
|
|
2 T ~ At |
|
|
|
|
||
|
|
|
v „ + — x |
|
-A x + a |
— -— , |
|
|
|
|||||||
|
* |
|
|
” |
21 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
vJ |
|
= 0, |
vJ |
|
. = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
*1*=0 |
|
|
5 |
x \x=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
— ' |
|
|
|
Составим задачу Штурма - Лиувилля: |
|
|
|
4 |
2 lJ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
fX" + AX = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
tr (o )=*'(/)=о. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
rmS1 |
П = 0,1,2,.. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
ПФ О, |
|
|
|
|
|
X n = c o s ? f, |
|
\\ХпГ=< I |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I, |
п = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
v (x ,» )= 2 r A |
|
' |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
„2 'N |
а2 {Г -A t) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х-- |
2/ |
|
|
|
|
|
||
при и>1 |
|
|
|
~ / Г |
|
|
|
2 ^ |
2 |
(T - A tj |
|
7ШХ |
, |
|||
7’; + а 2Я„7’„ = у | |
|
|
|
21 |
|
a |
|
|
cos---- |
ах, |
||||||
|
|
|
|
* |
о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
I f |
|
|
2 \ |
|
т х |
, |
|
l ^ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
cos---- |
ах = |
|
|
|
|
|
|
||||
|
i l |
|
21 j |
|
|
l |
|
|
\ m ) |
|
|
|
|
a2(T -A t) l( 7 nx j |
|
— ------ |
Jcos-y- dx = 0, |