книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Статическим моментом площади сечения относительно осей X и Y (рис. 4.1) называют выражения вида:

где dA – площадь произвольно выбранной элементарной площадки сечения; y, x – расстояния от ее центра тя-

жести до соответствующих координат- Рис. 4.1 ных осей; A – полная площадь сечения.

Зная величины статических моментов площади сечения, можно вычислить координаты его центра тяжести:

yc SAX , xc SAY .

Если сечение имеет сложную форму, его разбивают на части, для которых известны положения их центров тяжести и величины площадей. Координаты центра тяжести всего сечения определяют по формулам

где n – число частей, на которые разбивается сечение; Ai – площади отдельных частей сечения (при наличии в сечении отверстий значения их площадей считаются отрицательными); xi, yi – координаты центров тяжести частей сеченияввыбранной системе координат X0Y0.

При выборе вспомогательной системы координат X0Y0 рекомендуется совместить ее с координатными осями одного из элементов составного сечения.

Центральными осями называют координатные оси, проходящие через центр тяжести сечения. При наличии у сечения оси симметрии одну из центральных осей обычно совмещают с ней.

При нахождении геометрических характеристик сложного сечения необходимо помнить, что направление центральных координатных осей его частей может не совпадать с направлением координатных осей, приведенных в ГОСТах и таблицах.

51

Пример решения задачи 4.1

Дано: конструкция сварена из прокатных профилей: двутавра № 50 и швеллера № 33 (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Найти: координаты центра тяжести сечения конструкции.

Решение:

1. Из таблиц сортамента выписываем геометрические характеристики профилей, составляющих сечение (рис. 4.3).

Швеллер № 33: размеры

координата центра тяжести X0 = 2,59 см; площадь сечения

А1 = 46,5 см2.

Двутавр № 50: размеры

h2 = 500 мм; b2 = 170 мм; пло-

щадь сечения А2 = 100 см2.

Чертим в масштабе сечение с указанием характерных

Рис. 4.3 размеров.

52

На чертеж наносим центры тяжести швеллера C1 и двутавра C2. Отмечаем их собственные центральные оси x1, y1 и x2, y2 (рис. 4.2). (В приведенном примере направление центральных осей швеллера в сложном сечении не совпадает с направлением его осей на схеме, приведенной в ГОСТ 8240–97 (см. рис. 4.2 и 4.3)).

2. Определяем положение центра тяжести сечения.

В качестве вспомогательной системы координат x0y0 выбираем систему координат, связанную с центром тяжести швеллера.

Определяем координаты центра тяжести двутавра в этой системе координат:

xС2 = –(h1/2 – b2 /2) = –(330/2 – 170 / 2) = –80,0 мм; yС2 = X0 + h2 / 2 = 25,9 + 500 / 2 = 275,9 мм.

Определяем координаты центра тяжести сложного сечения в системе координат x0y0:

53

54

Задача 4.2. Определить основные геометрические характеристики (координаты центра тяжести, положение главных центральных осей, величину главных моментов инерции, моментов сопротивления и главных радиусов инерции) симметричного составного сечения.

Данные для расчета представлены в табл. 4.3 (4.4). Формы сечения приведены в табл. 4.5 (4.6).

Порядок выполнения

1.Начертить схему сечения в масштабе с указанием числовых значений. Разбить сложное сечение на простые элементы.

2.Определить необходимые геометрические характеристики со-

ставных частей сложного сечения: площади Ai, моменты инерции Ji (см. прил. 3, 5–7, 10 в зависимости от схемы).

3.Нанести на чертеж центры тяжести каждого элемента сече-

ния и их собственные центральные оси (x1y1; x2y2;…). Определить координаты центра тяжести каждого элемента относительно выбранной вспомогательной системы координат x0y0.

4.Определить координаты центра тяжести сечения xСyС в системе координат x0y0. Нанести на чертеж центральные оси сечения XY.

5.Определить моменты инерции составных частей сечения относительно центральных осей XY.

6.Определить величину главных моментов инерции сечения.

7.Определить величину главных радиусов инерции и главных моментов сопротивления сечения.

Указания к выполнению

Определение координат центра тяжести сложного сечения было рассмотрено в задаче 4.1.

В расчетах на прочность и жесткость при деформации изгиба используются геометрические характеристики – осевые моменты инерции JX , JY и осевые моменты сопротивления WX , WY .

Осевым моментом инерции сечения относительно осей X и Y (см. рис. 4.1) называют выражения вида:

56

где dA – площадь произвольно выбранной элементарной площадки сечения; y, x – расстояния от ее центра тяжести до соответствующих координатных осей; A – полная площадь сечения.

Моменты инерции распространенных плоских фигур вычисляются по известным формулам (см. прил. 10). Моменты инерции стандартных профилей приведены в соответствующих ГОСТах.

Моменты инерции составного сечения вычисляются как сумма моментов инерции отдельных его элементов относительно одних и тех же (центральных) осей:

При наличии в сечении отверстий значения их моментов инерции считаются отрицательными.

Необходимо помнить, что значения моментов инерции, приведенные в таблицах и ГОСТах, определены относительно собственных центральных осей сечений, не совпадающих с центральными осями сложного сечения.

Их значения необходимо скорректировать, используя формулы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей:

динат xoy; ai, bi – координаты старой системы координат xoy в новой центральной системе координат XOY с учетом знаков (рис. 4.4).

Очевидно, что центральные оси можно повернуть вокруг центра тяжести сечения под любым углом. Значения центральных моментов инерции при этом будут меняться (значение одного из них будет до определенного предела возрастать, значение другого – уменьшаться). Особый интерес представляет такое положение центральных осей, когда значения осевых моментов инерции принимают свои экстремальные значения (один – максимальное, второй –

57

минимальное). Такие оси называются

главными центральными осями сечения,

а их положение характеризует направления максимальной и минимальной прочности и жесткости сечения при изгибе. Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей (другая ей перпендикулярна).

Моменты инерции, определенные относительно главных осей, называются

главными моментами инерции.

Радиусы инерции определяют по формулам

чек сечения, наиболее удаленных от его осей.

Пример решения задачи 4.2

Дано: сложное сечение (рис. 4.5), d = 5 см.

Найти:

а) координаты центра тяжести сечения; б) величины главных моментов инерции сечения;

в) величины главных радиусов инерции сечения; г) величины главных моментов сопротивления сечения.

Решение:

1. Чертим в масштабе сечение с указанием характерных размеров. Разбиваем сечение на простые фигуры: прямоугольник 2d 3d (I), прямоугольные треугольники (II, III).

58

2. Вычисляем площади простых фигур.

– прямоугольник:

A1 2d 3d 6d 2 6 52 150 см2 ;

– прямоугольные треугольники:

3. В качестве вспомогательных осей x0y0 выбираем центральные оси прямоугольника (I).

Определяем положения центров тяжести простых фигур относительно вспомогательных осей x0y0 с учетом знаков.

Координаты центров тяжести треугольников в этой системе: xС3 = –xС2 = 2/3 ·(1,5 · d) = 2/3 · 1,5 · 5 = 5,0 см;

yС3 = yС2 = –2/3 · d = –2/3 · 5 = –3,3 см.

4. Определяем координаты центра тяжести сложного сечения в системе координат x0y0.

Площадитреугольниковподставляем вформулу со знакомминус.

xC A1 xС1 A2 xС2 A3 xС3 A1 A2 A3

150,0 0 18,75 ( 5,0) 18,75 5,0 0 150,0 18,75 18,75

(xС = 0, так как центр тяжести сечениялежит на его оси симметрии);

150,0 0 18,75 ( 3,3) 18,75 ( 3,3) 1,1 см. 150,0 18,75 18,75

Наносим центр тяжести сечения C на чертеж (см. рис. 4.6). Отмечаем центральные оси X и Y.

60