книги / Практические задания по сопротивлению материалов

Продольная сила считается положительной, если она соответствует деформации растяжения и отрицательной, если она соответствует деформации сжатия.

Напряжение на i-м участке стержня определяется по формуле:

i Ni ,

Ai

где σi – нормальные напряжения, возникающие в сечении на i-м участке стержня; Ni – внутренняя продольная сила в стержне (с учетом знака); Аi – площадь поперечного сечения стержня.

Оценить прочность стержня на участках можно, сравнив действительный коэффициент запаса прочности стержня на i-м участке ni с допускаемым коэффициентом запаса прочности материала стержня [n]. В этом случае условие прочности будет выглядеть следующим образом: ni ≤ [n].

Показатели прочности хрупких материалов (чугун) при деформации сжатия значительно выше, чем при деформации растяжения (примерно в 3–5 раз), поэтому коэффициенты запаса прочности участков стержня для хрупких материалов определяются с учетом вида деформации (растяжение или сжатие) по формуле

ni = σв / |σi|,

где σi – фактическое (расчетное) напряжение на i-м участке стержня; σв – предел прочности (временное сопротивление) материала стержня при деформации сжатия или растяжения (соответственно

всж или вр ).

Показатели всж, вр являются справочными величинами, характеризующими свойства материала.

Пример решения задачи 3.1

Дано: ступенчатый стержень нагружен продольными силами

(рис. 3.2,а): F1 = 80 кН; F2 = 70 кН; F3 = 40 кН.

Размеры стержня: l1 = 1,0 м; l2 = l3 = 0,5 м; А = 10 см2.

Материал стержня – чугун СЧ15. Найти: оценить прочность стержня.

31

Решение:

1. Чертим схему стержня с численными данными (рис. 3.1, а). Определяем характеристики материала стержня (см. прил. 1):

σв р = 150 МПа; σв сж = 650 МПа.

Рис. 3.1

2. Разбиваем стержень на участки, начиная со свободного (незакрепленного) конца (см. рис. 3.2, а). Границы участков – точки приложения сосредоточенных сил и сечения, в которых происходит изменение поперечных размеров стержня.

32

III участок:

3 = N3 / А3 = –30·103/(1,5·10·10–4) = –20·106 Па = –20 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений i (рис. 3.1, в).

4. Определяем коэффициент запаса прочности и оцениваем прочность стержня в пределах каждого участка ([n] = 2,0…5,0):

I участок: стержень растягивается n1 = σвр/|σ1| = 150/40 = 3,75 ≥ [n] – условиепрочностивыполняется;

II участок: стержень растягивается n2 = σвр/|σ2| = 150/5 = 30 ≥ [n] – условиепрочности выполняется;

III участок: стержень сжимается n3 = σвсж/|σ3| = 650/20 = 32,5 ≥ [n] – условиепрочности выполняется.

Вывод. Стержень удовлетворяет условию прочности. Конструкция работоспособна.

Таблица 3 . 1

34

35

35

Задача 3.2. Оценить рациональность размеров стержня из задачи 3.1. Скорректировать его размеры при необходимости. Допускаемый коэффициент запаса прочности [n] выбрать самостоятельно.

Порядок выполнения

1.Определить допускаемые напряжения для материала стерж-

ня [σ]р и [σ]сж.

2.Дать заключение о рациональности поперечных размеров

стержня.

3. Скорректировать площади участков стержня при необходимости.

Указания к выполнению

Для оценки рациональности поперечных размеров стержня (насколько действительная нагрузка на стержень соответствует его нагрузочной способности) используют формулу:

i i 100 %,

где σi – расчетное напряжение на i-м участке стержня; [σ] – допускаемые напряжения для материала стержня. Соответственно, для хрупких материалов при деформации растяжения [σ] = [σ]р = σв р/[n]; при деформации сжатия [σ] = [σ]сж = σв сж/[n].

Допускается превышение нагрузки – не более 5 %, допускаемый недогруз– неболее15 % от допускаемой нагрузки: –5 % ≤ i ≤15 %.

Вывод о рациональности размеров стержня делается по наиболее опасному участку.

Площадь поперечного сечения стержня из условия прочности определяется по формуле (см. указания к задаче 2.1)

Аi ≥ |Ni|/[σ],

где Аi – минимальная необходимая площадь поперечного сечения i-го участка стержня; Ni – внутренняя продольная сила на рассматриваемом участке стержня; [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня.

38

Пример решения задачи 3.2

Дано: см. данные и решение задачи 3.1.

Найти:

а) оценить рациональность размеров стержня; б) скорректировать поперечные размеры стержня при необхо-

димости.

Решение:

1. Оцениваем рациональность поперечных размеров стержня в опасном сечении. Примем [n] = 3.

Опасное сечение – I участок, так как там минимальный коэффициент запаса прочности nmin = n1 = 3,75 (см. решение задачи 3.1).

На I участкедействуютрастягивающиенапряжения σ1 = 40 МПа. Допускаемое напряжение при растяжении [σ]р = σвр/[n] =

= 150/3 = 50 МПа.

Недогруз стержня составляет

Поперечные размеры стержня превышают рациональные значения, их желательно уменьшить.

2. Определяем минимальную площадь в опасном сечении стержня (на I участке):

Согласно схеме (см. рис. 3.2, а) площадь II участка равна площади I участка, а площадь III участка составит

А2 = А1/2·1,5 = 16/2·1,5 = 12 см2.

39

Задача 3.3. Определить продольные деформации стержня из задачи 3.1.

Порядок выполнения

1.Определить величину смещения каждого участка стержня ∆li и полную деформацию стержня.

2.Начертить схему с эпюрой деформаций ∆li.

Указания к выполнению

Построение эпюры продольных перемещений следует начинать от заделки стержня, гдепродольные перемещенияотсутствуют (∆l0 = 0).

Изменение длины стержня постоянного сечения на расстоянии x от заделки (при условии, что продольная сила N не изменяется по длине стержня) (рис. 3.3) находится по формуле

x = NA Ex ,

где N – продольная сила, действующаяна стержень (при N < 0, x < 0 – стержень сжимается); А – площадь поперечного сечения стержня; E – модуль продольной упругости материала стержня (модульЮнга).

Перемещение участка ступенчатого стержня относительно заделки определяется по формуле

li = li 1 + Ni li ,

Ai E

где ∆li–1, ∆li – перемещения начального и конечного сечения рассматриваемого i-го участка стержня; Ni – постоянная продольная сила на i-м участке стержня (с учетом знака); Аi – площадь сечения i-го участка стержня; li – длина i-го участка стержня.

Таким образом, полное изменение длины ступенчатого стержня определяется по формуле

где n – количество участков.

40