книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdfV2r = divgrad T =divg = 0.
Для достаточно длинной трубы (по сравнению с ее радиу сом) такое поле можно считать плоскопараллельным и исполь зовать для его описания комплексный потенциал (п. 2.2).
В плоскости (Z) поверхностям грунта и трубы, являющим
ся изотермическими, будут соответствовать линии равного по тенциала
O(z) = ~ХТ0 =const и Ф(г) = |
= const, |
представляющие собой горизонтальную прямую у и окруж ность L радиуса R (см. рис. 2.13).
Форма и взаимное расположение таких линий равного по тенциала характерны для плоского векторного поля системы двух источников интенсивностью ±Q, размещенных в точках
(-А; 0) и (0; 0), симметричных относительно прямой х =
(см. рис. 2.13). Описывающий это поле комплексный потенциал (2.15) можно использовать для решения рассматриваемой зада чи, если под Q понимать мощность теплопотерь участка трубы
единичной длины, а действительную ось lmz = 0 на рис. 2.13 провести через центр поперечного сечения трубы перпендику лярно поверхности грунта и в точке пересечения оси с этой по
верхностью принять z = |
Согласно условию |
- 0 (^ ,0 ) = А.-ДГ,
где х} = Н - R - абсцисса точки пересечения действитель
ной оси с контуром трубы (см. рис. 2.13), учитывая (2.15), за пишем
Ы Т = Ф |
и > |
- |
ч |
л О , |
х, +h |
Q , |
x\ |
. (2.33) |
|
— ,0 |
J |
-Ф (х„0 |
|
= 0 -^ -1 п |
= — In |
x, +h |
|||
|
2 |
|
|
In |
*i |
2n |
|
По заданным значениям R и Я = /д , используя первое ра
венство (2.15), найдем
d =^ = J l2R- R 2 =у1н 2- Я 2
Подставим выражение для h и х, в (2.33), установим связь
между Q и А Т :
АТ = — In |
я - я - У я 2- R 2 _ |
|
||
л - я +Уя 2- л2 |
|
|||
2%Х |
|
|||
Q ^ H 2- R 2 + H - R |
(2.34) |
|||
2пХ П |
- H + R |
|||
|
||||
Я |
Л |
2лХАТ |
|
|
Например, при — = 2 получим Q |
= —7------. |
|
||
Л |
|
1п(2 + Уз) |
|
|
Если труба теплотрассы покрыта кольцевым слоем тепло |
||||
изоляции с коэффициентом теплопроводности |
и внешним |
радиусом , то влияние этого слоя на теплопотери можно при ближенно оценить так. Примем, что температура теплоизоляции на внешней поверхности слоя одинакова и обозначим ее 7]. То гда вместо (2.34) получим
- |
Q J h2- * + h - * , АТХ=ТХ- Т 0 . |
(2.35) |
д71= |
У я 2- R2 - H + Rx |
|
|
|
|
Значению |
теплопотерь Q соответствует перепад |
ЛГтр = |
= 7^-7] температур по толщине слоя теплоизоляции, равный [7]:
АТ = -@ - ь Д |
(2.36) |
^2лХ R
Так как заданное значение АТ |
связано |
соотношением |
|
АТ = Ттр- Т 0 |
=АТ^+АТх, т о и з (2.35) |
и (2.36) |
устанавливаем |
связь между |
Q и АТ с учетом слоя теплоизоляции: |
/
у]н2 - R 2 + H - R l |
1 , Ri |
•JH 2 - R 2 - Н + Щ |
+ — In— |
R |
Замечание. Второе слагаемое в скобках правой части по следнего равенства выполняет роль поправки, оценивающей влияние слоя теплоизоляции.
Задача 2. Рассмотрим кольце |
|
||||
вой слой теплоизоляции на горячей |
|
||||
поверхности |
круглой |
трубы, |
за |
|
|
ключённой в металлический кожух |
|
||||
с тонкими |
продольными рёбрами |
|
|||
(рис. 2.14). |
Рёбра |
увеличивают |
|
||
жёсткость кожуха, что необходимо, |
|
||||
например, в случае, когда из коль |
|
||||
цевой полости между трубой и ко |
|
||||
жухом для |
повышения эффектив |
|
|||
ности теплоизоляции выкачивается |
h |
||||
воздух. Вместе с тем |
наличие |
ме |
Рис. 2.14 |
||
таллических рёбер в силу их высо |
|||||
|
кой теплопроводности снижает суммарное термическое сопро
тивление теплоизоляции RT= ^ - , где ДТ = Тт- Т к - разность
температур трубы Тт и кожуха Гк, Q - тепловой поток, прохо дящий через изоляцию в расчёте на единицу длины трубы. Най дём значение 7^. при заданном количестве рёбер п и известной высоте рёбер й, принимая температуру рёбер равной Тк кожуха. Распределение температуры внутри кожуха можно представить комплексным потенциалом, то есть в виде действительной части некоторой аналитической функции в кольцевой области с по вторяющимися разрезами. Эта функция определяется гранич ными условиями: на внешней окружности, ограничивающей об ласть, и на разрезе эта действительная часть функции имеет зна чение Тк9 равное температуре кожуха, а на внутренней окружности - неизвестное значение Гт, равное температу ре трубы.
Повторяющийся элемент кольцевого слоя теплоизоляции между двумя соседними рёбрами показан на рис. 2.15. Отрезки Л,С, и А{С{ соответствуют радиальным сечениям кольцевого слоя, выделяющим из него повторяющийся элемент. В силу симметрии через эти отрезки нет переноса теплоты. Поэтому можно ограничиться рассмотрением отдельного элемента, счи тая, что на отрезках AiCi и А[С[ этот элемент идеально тепло
изолирован. Температура дуги А,А{ равна Тт, а температура ду
ги £),£),' и отрезков C,D,, D[C\ - Тк.
Чтобы построить комплексный потенциал в выделенном элементе кольцевой области с нужным поведением на границе, отобразим этот элемент на область более простого вида - внут ренность прямоугольника.
Для этого введём полярную систему координат (ф,р) с по люсом О на оси трубы. Аналитическая, в пределах выделенного
элемента, функция £, = ф + / 1п— конформно отображает этот
г \
элемент на внутренность прямоугольника ADD'А' (см. рис. 2.15) в плоскости (^), характеризуемого параметрами В, Н и h , кото рые связаны соотношениями
2 В_ |
|
In |
hL |
Л__ г*± |
|
Н |
н |
I n i |
|
|
г. |
где гт и гк - радиусы трубы и кожуха (см. рис. 2.14). Это кон
формное отображение переведёт искомый комплексный потен циал в аналитическую внутри прямоугольника функцию, кото рая будет описывать распределение температуры внутри прямо угольника ADD'А' При этом сторона АА' этого прямоугольника будет иметь температуру Тт, а сторона D'D и отрезки CD
и C'D' -температуру Тк.
При конформном отображении линии равного потенциала (в данном случае - изотермы) и линии тока теплового потока
остаются взаимно перпендикулярными. Поэтому термические сопротивления слоя теплоизоляции с поперечным сечением в виде прямоугольника ADD'А1 и в виде выделенного повто ряющегося элемента кольцевого слоя совпадают при условии, что коэффициент теплопроводности А, теплоизоляции в обоих случаях одинаков.
Вычислить непосредственно термическое сопротивление прямоугольника ADD'А' достаточно сложно. Задача упростится, если этот прямоугольник удаётся конформно отобразить на но вый прямоугольник АЛА'А' в плоскости (со) (см. рис. 2.15),
причём верхняя сторона С*С* этого прямоугольника будет со ответствовать участку границы CDAC' старого прямоугольни ка, а нижняя сторона А'А нового прямоугольника - нижней стороне AAf старого. Тогда распределение температуры для но вого прямоугольника будет определяться значениями темпера туры на его горизонтальных сторонах А'А и С*'С* и условием
идеальной теплоизоляции на его боковых сторонах. Такое рас пределение температуры имеет простой вид: Т = Су, где посто
янная С может быть найдена из значений температуры на гори зонтальных сторонах прямоугольника и его высоты.
Конформное отображение прямоугольника на прямоуголь ник можно осуществить в два этапа, используя в качестве про
межуточной области верхнюю полуплоскость. |
|
|
|
|||||
При |
помощи эллиптического |
интеграла |
первого |
рода |
||||
(см. п. Д. 2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, к <1 |
(2.37) |
||
|
|
S = /(z) = C*J- |
|
|||||
|
|
|
^ - < 2) M V ) |
|
|
|
||
конформно отобразим верхнюю полуплоскость Im z > 0 |
на пря |
|||||||
моугольник ADD'А', подбирая соответствующим образом пара |
||||||||
метры С |
и |
к |
При этом отрезку |
[—1;1 ] действительной |
оси |
|||
в плоскости |
(Z) |
будет соответствовать |
сторона А 'А |
прямо |
||||
угольника |
ADD' А' (см. рис. 2.15), а точке |
z —1 |
будет отвечать |
|||||
в плоскости (^) точка ^ = В , то есть |
|
|
|
|
|
в = с ' \ |
dx |
(2.38) |
= c k(k), |
где k (k ) - полный эллиптический интеграл первого рода, опре деляемый по формуле (см. п. Д. 2.5).
Чтобы точке х = z =— отвечала |
в плоскости (£,) |
точка |
|
|
1с |
|
|
D(£ = В + /Я ), должно быть выполнено условие |
|
||
B + W = C'J . |
^ -------= |
= К(к) + ,К(к’), |
(2.39) |
где = y jl - k 2 - дополнительный модуль эллиптического инте грала, определяемый равенством (см. п. Д. 2.5). Следовательно, из (2.38) и (2.39) имеем
Я
К ( к ' ) - ^ = = \1(к) В К(к)
Функция р(&) монотонно убывает до нуля в промежутке
(0,1]. Поэтому любому заданному отношению — е (0,+оо) отве та
чает единственное значение модуля К Прообразом точки С в плоскости (£) при отображении
(2.37) будет точка С> 1 действительной оси lmz = 0, удовле творяющая условию
5 + /( t f - /z |
') = C* j сЬс |
|
о |
. В |
uj _______dx_______ |
+‘Щ • J(i-*!)(i- fV )’
Теперь ту же верхнюю полуплоскость lm z>0 конформно ото бразим при помощи функции
dx
на прямоугольник ЛС*С* Ж в плоскости (со) так, чтобы точка
Сф стала образом точки х = с>1 (см. рис. 2.15). В этом случае
Из условия |
|
|
||
|
В = «.)-.--------- |
|
К (к.) |
|
получаем а. = |
в |
|
|
|
, а из условия |
|
|||
|
К (к.) |
|
|
|
|
с, |
|
dx |
|
|
В +Ш. = а, Г |
.......— _ |
||
|
1/*. |
dx |
|
|
= а,К(к.) + а, J |
=В +ia,K{k^), |
|||
|
||||
|
J ( \ - S ) ( \ - k y ) |
|||
где к'. |
, находим высоту |
ВК(к.) |
||
Н, = -- -- ■■ прямоугольни |
||||
|
|
|
к (к.) |
ка АС*С'*Ж.
Решение задачи теплопроводности для случая прямоуголь ника АС*С1Ж в силу простых граничных условий имеет про стой вид:
Z iV) = TT - —, |
|
11 V. |
я . |
|
|
Такому решению соответствуют |
горизонтальные изотермы |
и вертикальные линии тока. Через слой теплоизоляции единич ной длины с поперечным сечением в виде этого прямоугольника
^ 2ХВ(Тт- Т к) |
„ |
проходит тепловой поток Q = ----- ---------- |
Прямоугольник со- |
//* |
|
ответствует выделенному на рис. 2.15 элементу. Поэтому через кольцевой слой теплоизоляции, изображенный на рис. 2.14, проходит тепловой поток Q = n Q , так что термическое сопро тивление кольцевого слоя будет:
*(*•')
Q2nkB 2nkK(K.)
2.3.3.Задачи, связанные с электричеством и магнетизмом
Задача 1. Рассмотрим электростатическое поле двух разно именных источников (противоположных зарядов q и - q ) рас
положенных на расстоянии / » h
Тогда согласно примеру 2.2, рассмотренному выше, можно
записать |
|
|
|
ттг/ \ |
О . z + h |
q . |
1+ - |
W (z) |
= — In------= — In |
||
|
2n |
2n |
^ z J |
На значительном удалении от источников величина — мала z
по модулю. Поэтому комплексный потенциал W (z) прибли
жённо можно записать
Влияние векторного (электростатического) поля с таким потенциалом зависит от величины p = q - h . Если хотим сохра-
нить эту величину, то при сближении зарядов следует увеличить их интенсивность. Электростатическое поле с комплексным по тенциалом
W (z) |
- + с, |
|
2 n z |
где р - фиксированное действительное число, с е С называют полем диполя. При этом p = qh называют моментом диполя. Точка z = 0, в которой совмещаются два разноименных заряда, соответствуют диполю. Отметим, что поле диполя можно рас сматривать как предельный случай поля двух источников заря дов z + h и 0 , когда h -» 0 , а интенсивность зарядов растет об ратно пропорционально расстоянию h .
Полагая z = x + iy в комплексном'потенциале W{z)--^~- 2 nz
поля диполя, выделим действительную и мнимую части:
W(z) = - P L - = _PE_ = ____ EL_____ / ____ E l____
27tz-z 2n\z\2 2n(x2+y2>j 2тс
Отсюда можно получить уравнения линий равного потен циала и линий тока
(х ~ сф)2 + У 2 = 4 и х2 + ( у - С у ) 2 = 4 ,
где сф и Су е R .
Эти уравнения показывают, что линии равного потенциала и линии тока - это дуги взаимноперпендикулярных окружно стей. Линии равного потенциала имеют радиусы 7?ф=|сф|
и центры z = сф на действительной оси, а линии тока - радиусы
Ry =|су | и центры z = ic4 на мнимой оси (рис. 2.16), причем на всех дугах выколота точка z = 0, в которой поле диполя не оп ределено. Хотя поле диполя введено для моментов р > 0 (через
р обозначено q-h), он может быть обобщен и на случай отрица тельных значений моментов р <0 .