книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdfРассмотрим нелинейную систему следующего вида:
^ |
= М |
х>У\>Уг>Уз)> |
|
• <^ |
= /г { х’У\’Уг’Уъ)> |
(3-6) |
|
dУз |
/ |
\ |
|
|
= / з \ х>У\>Уг>УзЬ |
|
|
где у х, у 2, Уз - концентрации реагирующих веществ, завися |
щие от скоростей реакций; х - время протекания реакции; функ |
|
ции / х(х,уи у 2,у г), / 2{х>У\,Уг>Уз)> |
/ з ( х>У\>Уг>Уз) назовем |
правыми частями соответствующих дифференциальных уравне |
|
ний и будем считать непрерывными |
в некотором замкнутом |
объеме W. |
|
В таблице 3.1 приведены некоторые типы реакций, встре чающиеся в химической кинетике в зависимости от вида правых частей системы (3.6).
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
||
Тип |
Вид функций правых частей системы (3.6) |
|||||
реакций |
|
|
|
|
|
|
системы |
М х>У\>У2>Уз) |
/ 2(х’У\>У2’Уз) |
/ з { х>У\>Уг>Уз) |
|||
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
I |
-У 2 + Уз |
У\~У2 |
у! - У з |
|||
и |
Ъ - с |
УгУ3 |
с - а |
а-Ъ |
У1У2 |
|
а |
и З'Л |
с |
||||
|
|
о |
|
|||
ш |
У\ {У2 ~ Уг) |
У2 (У3 - У 1 ) |
Уз (У1 - У 2 ) |
|||
|
||||||
IV |
У\ (у ! - У з) |
У2 (у з ~У?) |
Уз (у! ~ у1) |
|||
V |
У\ (у2 ~ у\ ) |
- у 2 ( y i +Уз) |
Уз (у?+у!) |
|||
VI |
У\У\ + у х+У2 |
У1 У2 - У 1 - У 2 |
У2 - У f |
|||
VII |
№ |
|
/(* ) |
/(* ) |
||
(У\-У2)(Уу~Уз) |
(.У2~У\){У2~Уз) |
{Уз~У\){Уз~У2 ) |
||||
|
Вопросы разрешимости системы (3.6) включают в себя два момента: математическое обоснование разрешимости нелиней ной системы и физическое обоснование.
Математическое обоснование разрешимости нелинейной системы включает в себя:
--теоремы существования решений Пеано и Каратеодори;
-теорему единственности решений Осгуда;
-теорему Коши голоморфных функций;
-теорему о гладкости решений;
-теорему о зависимости решений от параметров и началь ных условий и т.д.
Все эти теоремы подробно рассмотрены в литературе, на пример [11, 13, 14]. В рамках этого пункта остановимся подроб нее лишь на теореме единственности Осгуда [11].
Теорема. Пусть функции |
( х 9у ]9...9у п) в области W |
удовлетворяют соотношениям |
|
|
f t |
(Х’УГ -,у”)-/,(х,уГ - > У т ) |
М |
(3.7) |
|||
|
|
|
Г п |
*Л |
/ = 1,2,..., л, |
|
|
|
|
|
X yv |
- у V , |
|
|
|
|
|
|
V—1 |
7 |
|
|
|
где ср(м) - непрерывная функция, которая: |
|
|
|||||
1) принимает |
положительные |
значения |
при |
положи |
|||
тельных и ; |
|
|
|
|
|
|
|
~ ч |
(с dи |
0+ |
>+°° |
(С >0). |
|
|
|
2) |
— |
|
|
||||
|
6 ф(и) |
Е^° |
|
|
|
|
|
Тогда существует не больше одной интегральной линии |
|||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
~£; =М х>У1>Уг>->УИ)> / = 1,2,..., я, |
(3.8) |
проходящей через любую заданную точку области W В частно сти, можно считать ф(и) = ки, где к >0 —некоторая постоянная. Тогда условие (3.7) принимает вид
f i ( x ,y " |
fi(x,y\,...,y'n) < k f \ y l ' - y ' v |
(3.9) |
|
|
|
V = 1 |
|
Условие |
(3.9) называется условием Липшица по |
у {,...,уп |
|
для функции |
|
. Если считать функции /, непрерывными по |
всем аргументам, то теорему Осгуда можно доказать, например, методом последовательных приближений [11].
Физическое обоснование разрешимости нелинейной систе
мы включает: |
|
• ограничения |
на параметры, входящие в систему |
(х = /> 0, 0 < с,, с2 ) |
С 3 (.у,, у 2, у з)); |
•закон сохранения заряда (электрохимический баланс реакции);
•закон сохранения массы и энергии реагирующих веществ;
•выполнение второго начала термодинамики и т.д.
Исходя из физического смысла переменных - времени и концентрации реагирующих веществ - накладываем следую щие ограничения на аргументы системы (3.6):
0 < х <Т 0 < y ] < l,0 < > ,2 ^1J 0^>,3-^
Тогда в качестве области W достаточно принять замкнутый параллепипед и рассмотреть в нем две точки с координатами
м ” (х ,у {, у 2, у 3) и М* (х,У1, у 2,Уз)-Тогда условие (3.9) мож
но трактовать как некоторое расстояние между точками М
иМ * внутри заданного параллелепипеда.
3.2.Задачи, связанные с системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Задача 1. Провести исследование и определить кинетиче ские кривые для последовательной реакции первого порядка.
За основу выберем реакцию каталитического окислитель ного дегидрирования бутенов в дивинил. Она подробно рас смотрена в работе [17]:
h . |
*2 |
в; *C; |
A\----*B: |
A .— ¥B\ |
|
A ———>D; |
B —k% >D- |
C - --- >D, |
где A - бутен-1; В - транс-бутен; С - цисбутен-2; D - дивинил. Кинетика реакций представляется следующей системой
линейных однородных дифференциальных уравнений:
dCA(t)
— — кз +k2^CA4* k^Cg + к
dГ
dCfl(Q
= — (kj + k5 + kg^Cg + k2C A+ k6Cc ,
dr |
(3.10) |
|
dCc (Q = —(k^ + k6 + kg}Cc + k^CA+ k$CB, |
||
|
||
dr |
|
|
dCg(Q = knCA+ k%Cg + kgCc , |
|
|
dr |
|
где kj(i = 1,2, ..., 9) - константы скоростей псевдомолекулярных реакций; СА, Св, Q-, ..., Со - концентрации соответствую щих реагентов в газовой фазе.
Ставится задача определить кинетические кривые для из вестных констант скоростей реакций при заданной постоянной температуре Т.
Следуя работе [17], введём обозначения
CA(t) =y^x), CB(t) = y 2(x),
Сс (0 = Уз(х)>с о(0 =У4(*)> |
t = *• |
Для упрощения выкладок введём в рассмотрение следую |
|
щие константы скоростей: |
|
k l = k 2‘ =\\ &з=0,5; к'г =0,5; |
Агб = 0,5; |
k \ = k \ - V , к2 =кg =1; к*9 =0,5 и зададим следующие начальные условия:
СДО) = 0,1; Сй(0) = 0,2; Сс(0) = 0,3; CD(0) = 0.
Учитывая, что CD(t) может быть определена интегрирова нием 4-го уравнения системы (3.10) после того, как найдены CA(t), CB(t), Cc (t), размерность системы (3.10) можно умень шить, исключив из неё 4-е уравнение.
Тогда система (3.10) запишется следующим образом:
dv.
—Т = -2,5у, +у2 + у3,
ах |
|
= У]- З у 2+0,5у3, |
(3.11) |
ах |
|
^ ■ = 0,5Л +у2 - 2 у 3. |
|
Решение системы (4.2) ищем в виде |
|
* =*.■*", Уг=»-еа , y3 = v e " , |
(3.12) |
где в равенствах (3.12) X, р, v, и г - константы. |
|
Подставляя (3.12) в (3.11) и сокращая на еп ^ 0 , |
получим |
систему уравнений для определения X, р, и v: |
|
(-2,5 - г)Х +р + v = 0, |
|
< X+(-3 - г)р + 0,5v = 0, |
(3.13) |
0,5Х + р + (-2 - r)v = 0. |
|
Система (3.13) имеет ненулевое решение, когда ее опреде литель Д = 0, то есть
|
(-2,5 + г) |
1 |
1 |
|
Д= |
1 |
-(3 + г) |
0,5 |
= 0. (3.14) |
|
0,5 |
1 |
~(2 + г) |
|
Уравнение (3.14) называется характеристическим. Развернем определитель (3.14) по правилу Саррюса и, при
ведя подобные члены, получим кубическое уравнение
г3 + 7,5г2 +16,5/*-9 = 0. |
(3.15) |
Найдём корни гь г2, г3 из решения кубического уравне ния (3.15).
Любое кубическое уравнение ar3 + br2 +cr + d = 0 можно преобразовать к приведенному виду z3 +3pz + 2q =0 подста
новкой r - z - — |
При этом коэффициенты обоих уравнений |
||
За |
|
|
|
связаны соотношениями |
|
||
3Р = |
3а с - Ь 2' |
2Ь |
|
За2 ’ |
21а |
||
|
|||
где а = 1; Ъ - 7,5; |
с - 16,5; |
d =9. |
В зависимости от соотношений между р и q корни приве денного уравнения вычисляют с помощью тригонометрических или гиперболических функций на основании табл. 3.2.
Формулы корней уравнения z 3 +3pz + 2q = 0. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2 |
|
|
|
р < 0 |
|
|
|
|
|
q 2 + р 3 <0 |
|
q 2 + р 3 >0 |
|
p > 0 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
q |
|
chcp = 4 - |
|
|
shcp = 4 - |
|
C O S ф ——~ |
|
|
|
|
|||
|
г |
|
Г |
|
|
r |
|
|
ф |
|
z, = -2rchcos— |
z, |
- -2rsh — |
||
z . = -2rcos — |
|
||||||
1 |
3 |
|
1 |
3 |
1 |
3 |
|
о |
Гя ф! |
|
ф . /Г |
. ф |
|
|
rch — |
z9 =rcos—+/VJ |
rsh — z, = rsh —+ /ч/з |
||||||
|
|
|
j |
3 |
2 |
3 |
3 |
г3 = 2rcos[j + - |j |
z,з |
=rch —-/%/з3 |
rsh —3 |
z3=rsh —-z'Vs |
rch — |
||
|
|
|
|
|
3 |
3 |
3 |
Найдем сначала величины 3р и 2q: |
|
|
|
||||
з |
_ Зя^- ^ 2 _ 3 -1 -16,5 —(7,5)2 _ |
200,119 |
|
|
|||
Р |
За2 |
~ |
3-Г |
~ |
3 |
|
|
2 |
2b2 |
be |
d ^ 2-1,5г |
7,5-16,5 |
9 |
|
||
|
27a3 |
За2 |
а |
27-13 |
3-12 |
1 |
|
|
Тогда приведенное уравнение имеет вид |
|
|
||||||
|
|
z3 -2 ,2 5 z -l = 0. |
|
(3.16) |
||||
Отсюда находим р и д: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Зр--2,25; |
р = - 0,75; |
|
|
|||
|
|
2* = -1; |
Я= -0,5. |
|
|
|||
Составим величину |
|
|
|
|
|
|
||
? 2 + р ъ= (-0,5)2 + (-0,75)3 = 0,25 -0,42 <0. |
||||||||
Так как |
q 2 + р 3 <0, |
то согласно табл. 3.2 решение ищем |
||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Ф |
~ |
|
( п |
Ф |
; z3=2rcos| J |
- J |, |
|
Zi = —2г cos —; |
= 2r c o s ------- |
|||||||
1 |
3 |
2 |
|
U |
3 j |
|
|
|
где coscp = -=r; r = ±J\p\ |
|
|
|
|
|
|
||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчитаем сначала г. |
г =±^|-0,75| =-0,8662 |
(знак г сов |
||||||
падает со знаком q). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
coscp = |
-0,5 |
|
—— — = 0,7698. |
|
|||
|
(-0,8662)3 |
|
||||||
|
|
0,6495 |
|
|
||||
Найдем ср = 39°18'; ^ |
= 13°6' |
|
|
|
|
Найдем теперь
z, = -2 • (-0,86602) • cos 13°6' = 2 • 0,86602 • 0.9739 = 1,6868,
z2 =2 (-0,86602)-cos(60°-13°6') = = -2 • 0,866027 • 0,68327 = -1,1835,
z3 =2- (-0,86602) • cos(60° + 13°6') = = -2 • 0,87 • 0,29070 = -0,5035.
По найденным значениям z\,z2и z3найдем r\, г2и ry.
|
r,=z, - — = 1,6868- — |
= -0,8132, |
|
|
||||
|
|
|
За |
3 |
|
|
|
|
|
г, |
= z2- — = 1 ,1 8 3 5 - ^ = -3,6835, |
|
|
||||
|
|
|
За |
3 |
|
|
|
|
|
r3=z, - — = -0,5035 - |
= -3,0035. |
|
|
||||
|
3 |
3 |
За |
3 |
|
|
|
|
Так как получили все корни действительные и различные, |
||||||||
то, последовательно |
подставляя значения rh г2 и г3 в систему |
|||||||
(3.13), получим значения А.,., |
р,,, v~ и 0, |
(/ = 1, |
2, 3) для на |
|||||
хождения решений системы (3.11). |
|
|
|
|
||||
При г, =-0,8132 |
получаем |
|
|
|
|
|||
|
|
—1,6868А+ р + v = 0, |
|
|
|
|||
|
|
<А,-2 ,1 868р + 0,5v = 0, |
|
|
(3.17) |
|||
|
|
0,5А, + р -1,1868v = 0. |
|
|
|
|||
Решение |
однородной системы (3.17) |
при |
v = l |
дает |
вектор |
|||
значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у, ={0,9962; 0,6842; 1; }. |
|
|
|
|||
При г2 =-3,6835 |
получаем |
|
|
|
|
|||
|
|
1,1835Л, + ц + v = 0, |
|
|
|
|
||
|
|
<А.+ 0,6835ц+ 0,5v = 0, |
|
|
(3.18) |
|||
|
|
[о, 5Л. + ц + l,6835v = 0. |
|
|
|
|||
Решение |
однородной |
системы |
(3.18) |
дает |
при |
v = l |
вектор |
|
значений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 ={1,0156; |
-2,2175; |
1;} |
|
|
|
При r3 =-3,0035 |
получаем |
|
|
|
||
|
|
0,5035Л. + p + v = 0, |
|
|
|
|
|
<A.-0.0035p + 0,5v = 0, |
|
|
(3.19) |
||
|
|
0,5A. + p +1,0035v = 0. |
|
|
|
|
Решение |
однородной |
системы |
(3.19) при |
v = l |
дает |
вектор |
значений |
|
|
|
|
|
|
|
73 ={-0,5026; -0,7469; 1;} |
|
|
|||
Запишем теперь частные решения системы (3.11): |
|
|||||
' У |
= 0,9962-е-0,8132*, |
'у{2) =-1,0156-е'3-6835*, |
|
|||
«у ^ = 0,6842-е”0’8132", |
• у ^ =-2,2П 5-е~змз5х, |
|
||||
у 0)=J.^-0,8.32^ |
y (2) = h e - |
^ } |
|
|
||
|
yj3) =-0,5026-е-3,0035*, |
|
|
|
||
|
- у 23){ = -0,7469 • е-3,0035*, |
|
|
|
||
|
у(3>=1.<Г3-0035* |
|
|
|
||
По найденным частным решениям составим общее реше |
||||||
ние системы: |
|
|
|
|
|
|
’у, (JC) = С, • 0,9962 • е -°8|32х + С2 • 1,0156 • е '3'6835х - С3 • 0,5026 • е '3-0035х, |
|
|||||
• у 2(х) = С, • 0,6842• е -°-,тх - С2 2,2175• е '3>6835х - С у |
0,7469• е-3 00351, |
-2°) |
||||
у } (х) = С, - в-0'8132' + С2 • е-3'68351 + С3 • е-3 0035^ |
|
|
|
|||
Для нахождения |
С,, С2, С3 воспользуемся |
начальными |
||||
условиями: |
|
|
|
|
|
|
|
С, • 0,9962 + С2 • 1,0156 - С3 • 0,5026 = 0,1, |
|
|
|||
|
<С ,-0,6842-С 2-2,2175-С3-0,7469 = 0,2, |
(3.21) |
||||
|
С,-1 + С2-1 + С3-1 = 0,3. |
|
|
|
Из решения системы (3.21) находим значения констант
С, = 0,2374; С2 =-0,0574; С3 = 0,12.
Подставляя значения констант в систему (3.20), получим решение системы (3.11), описывающей кинетику химических реакций:
С 4(/) = 0,2365• е*0’8'321- 0,0583• е"3'6835 ' -0,0603• е"3'0035 ',
-Св(0 = 0,1624 • е'°-8321' + 0,1273 • е"3’6835 ' - 0 ,0896 -е"3,°035 #, <3.22)
Сс (Г) = 0,23 74 • е"°’8132' - 0,0574 • е"3-6835 ' + 0,1200-е ~3,0035'
После подстановки (3.22) в 4-е уравнение системы (3.10), интегрирования его и приведения подобных членов получим
общее решение для у 4(JC) = CD (t) :
CD(/) = -0,6365-е-0,8132' - 0 ,0109-е"3,6835' + |
(3.22') |
oW |
+0,0299е"3,0035' +С4. Константу С4 найдём из начальных условий
-0,6365-1 -0,0109-1 + 0,0299-1+ С4 =0.
Отсюда С4= 0,6175.
Задача 2. Провести исследование и определить кинетиче ские кривые для обратимой реакции второго порядка.
За основу выберем кинетическую модель процесса этери фикации этилового спирта уксусной кислотой. Эта модель под робно рассмотрена в работе [17].
Схема реакции для такой модели записывается следующим
образом: |
|
A + B 7 t l R + S. |
(3.23) |
к 2 |
|
Математически обратимая реакция второго порядка запи сывается в виде системы четырёх линейных дифференциальных уравнений первого порядка: