книги / Основы математического моделирования и численные методы

1.6. Классификация уравнений математической физики

По формальному признаку, в зависимости от того, какие из ко­ эффициентов в уравнении (1.9) являются ненулевыми, уравнения подразделяются на следующие типы:

1. Если а = b = с = /= 0, a d и е не равны нулю, то имеем урав­ нение 1-го порядка, называемое уравнением переноса:

Эм Эм

эГ ' а Г 8

Спомощью таких уравнений описываются процессы переноса частиц в различных средах, распространение возмущений и т.д. Ис­ комая функция и = u(t, х) зависит от времени и пространственной переменной, коэффициентр характеризует скорость переноса.

2. В случае отличия от нуля одного из коэффициентов а, Ъ, с уравнение будет иметь 2-й порядок. Уравнения 2-го порядка могут быть трех типов: гиперболическое, параболическое, эллиптическое. Принадлежность к тому или иному типу определяется знаком неко­ торой величины, называемой дискриминантом D и определяемой

как D = Ь2 - Аас.

Если D > 0, то уравнение гиперболического типа, .0 = 0 - пара­ болического, D < 0 - эллиптического.

Примером гиперболического уравнения может служить волно­ вое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Уравне­ ние (1.10) содержит одну пространственную переменную и отражает продольные колебания стержня или поперечные колебания струны,

относятся к уравнениям эллиптического типа. К уравнениям такого типа приводят стационарные, не зависящие от времени физические задачи (исследования потенциальных течений жидкости, определе­ ние формы нагруженной мембраны и т.д.), которые могут быть за­ писаны и в пространственной постановке.

Для примера создания математической модели с использова­ нием уравнений математической физики рассмотрим следующую задачу.

Пример 5. Колебание струны

Будем предполагать, что все точки струны движутся перпенди­ кулярно ее положению равновесия, причем в каждый момент време­ ни все точки струны лежат в одной плоскости. Оба конца струны за­ креплены, а сама струна туго натянута. При выведении струны из положения равновесия (например, оттянуть ее или ударить по ней) она начнет совершать колебательные движения.

Пусть u(t, х) - отклонение струны от положения равновесия. При каждом фиксированном значении t график функции «(х, t) пред­ ставляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис. 1.8),

ускорение точки.

Выделим на струне участок дуги МхМ г, на которую будут дей­ ствовать силы натяжения Т0 и F - равнодействующая внешних сил, р - линейная плотность (масса единицы длины).

Сделаны следующие допущения:

—все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия;

- в каждый момент времени все точки струны лежат в одной плоскости;

На основании второго закона Ньютона

Сократив на р и dx, получим

где а —положительная постоянная.

Врезультате получим линейное дифференциальное уравнение

вчастных производных 2-го порядка с постоянными коэффициента­ ми. Уравнение называется уравнением колебания струны или одно­ мерным волновым уравнением.

Если g(x, f) = 0, то уравнение описывает колебания без воздей­ ствия внешних сил - свободные колебания.

Поскольку вывод уравнения основывался на ряде допущений как механического характера, так и геометрического, возникает во­ прос, насколько точно уравнение описывает физический процесс. Ответ может быть дан только путем сравнения результатов решения и экспериментальных данных.

Таким образом, учитывая основные закономерности процесса, мы создаем его математическую модель, изучение которой позволя­ ет делать заключения о характере поведения процесса.

Для создания математической модели полученное уравнение необходимо дополнить начальными и краевыми условиями, по­ скольку оно имеет бесчисленное множество решений.

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в начальный момент времени:

Ч=о = /(*)»

а начальная скорость

ди

дt /=о ' М -

Краевые условия показывают, что происходит на концах стру­ ны во все время колебаний. Если концы струны закреплены, то

и\ljc=0 =0,7 и\\х=1 = 0 .

Рассмотрим свободные колебания закрепленной на концах струны. Если просто оттянуть струну (что имеет место при игре на щипковых инструментах), тем самым задав начальную форму стру­

краевые условия, найдем единственное решение задачи.

Можно заставить струну колебаться иначе, толчком придав ей некоторую начальную скорость (ударить по струне, что имеет место при игре на рояле). Математическая модель такой задачи будет вы­ глядеть следующим образом:

Граничные и начальные условия могут остаться теми же.

1.7. Виды погрешностей

Исследование процессов и явлений методами математического моделирования носит приближенный характер, поскольку основы­ вается на ряде допущений и гипотез. При этом на каждом шаге ис­ следования возникают погрешности.

Различают следующие виды погрешностей:

1 .Погрешность математической модели связана со значи­ мостью упрощающих предположений, определяющих математиче­ скую формулировку задачи. С одной стороны, если использовались допущения, существенно влияющие на процесс или объект, то ре­ зультаты, полученные при реализации такой модели, могут сущест­ венно отличаться от истинных вне зависимости от выбранных мето­ дов. С другой стороны, существует погрешность во входных данных и в значениях задаваемых коэффициентов уравнений модели. Такие погрешности являются неустранимыми.

2.Переход от математической модели к численной реализации приводит к появлению погрешности метода. Любой численный метод является приближенным. Точное решение исходной задачи заменяется приближенным. Погрешность метода подразделяют на

погрешность дискретизации и погрешность округления. Погреш­ ность дискретизации связана с дискретным аналогом модели и за­ висит от некоторых параметров (например, число узлов в методе сеток).

3.Дискретная модель - это большая система алгебраических уравнений, решение которых осуществляется с помощью некоторо­ го алгоритма на ЭВМ. При этом возникает погрешность округле­ ния, связанная с использованием в ЭВМ чисел (коэффициенты уравнений и правая часть системы уравнений) с конечной точно­ стью представления. Погрешность метода должна быть в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Большинство физических, биологических, экономических и других явлений описывают с помощью дифференциальных, интегродифференциальных или интегральных уравнений. Описание ряда физических задач приведено в предыдущей главе. Решение таких задач возможно осуществить только посредством численных мето­ дов и современной вычислительной техники.

Универсальным и широко используемым методом решения краевых задач является метод конечных разностей (МКР), что свя­ зано с его относительной простотой.

Применение любого численного метода определяется следую­ щей схемой действий:

1. Построение дискретного аналога области непрерывного из­ менения аргумента. Строится сетка, представляющая собой сово­ купность точек. Наличие сетки является одним из основных призна­ ков численного метода.

2.Определение сеточной функции на сетке.

3.Математическая модель дискретизируется, т.е. происходит замена производных и интегралов алгебраическими соотношениями сеточных функций. Таким образом, исходная математическая мо­ дель заменяется алгебраическим аналогом. Способ дискретизации определяет суть того или иного численного метода.

4.Решение системы алгебраических уравнений выбранным ме­

тодом.

2.1. Основные понятия

Суть метода конечных разностей заключается в следующем:

1. Область непрерывного изменения аргумента (отрезок, пря моугольник и т.д.) заменяется областью дискретного изменения ар­ гумента. Определяется ряд точек, называемых узлами. Совокуп­ ность узлов называется сеткой.

2.Область непрерывного изменения функции заменяется обла­ стью дискретного изменения функции. Функция определяется толь­ ко в узлах сетки и называется сеточной функцией.

3.Производные, входящие в дифференциальные уравнения, на­ чальные и граничные условия аппроксимируются (заменяются) ал­ гебраическими комбинациями сеточных функций.

4.Вместо дифференциальных уравнений рассматривают систе­ му линейных (если исходная задача линейна) разностных (алгебраи­ ческих) уравнений. Совокупность разностных уравнений называется

разностной схемой.

Необходимо учесть тот факт, что одну и ту же задачу в диффе­ ренциальной постановке можно реализовать с помощью ряда разно­ стных схем, не все из которых позволят получить приближенное адекватное решение.

Несмотря на кажущуюся простоту метода конечных разностей, при его использовании приходится решать ряд следующих задач:

-выбор сетки;

-выбор разностной схемы;

-определение порядка аппроксимации разностной схемы;

-определение критериев устойчивости разностной схемы;

-определение критериев сходимости решения разностной за­ дачи; если при неограниченном росте порядка системы алгебраиче­ ских уравнений (росте узлов сетки) последовательность решений дискретных задач стремится к решению исходной задачи, то вы­ бранный численный метод устойчив;

-выбор метода решения системы алгебраических уравнений.

2.2.Сетка и сеточные функции

Пусть искомая функция Т определена на области G. Сделаем замену области непрерывного изменения аргументов искомой функ­ ции Т на некоторое конечное множество точек, принадлежащих об­ ласти G. Выбранные по некоторому алгоритму точки области пред­ ставляют собой узлы сетки, а совокупность узлов —сетку. В зависи­

мости от выбранной сетки (близости узлов, характера их распреде­ ления, способа построения и т.д.) решение разностных уравнений может быть различено и в ряде случаев неверно.

Ниже приведены примеры построения сетки и ее обозначение.

изменения аргумента х заменим областью дискретного аргумента,

h - шаг сетки, h = 1; N —число узлов. Сетка называется равномерной,

-*/+1/2 = xi +0,5Л, указанные на рис. 2.1 крестиками.

Неравномерная сетка на отрезке

Для того же отрезка [0, /] может быть рассмотрен иной алго­ ритм построения сетки. В случае произвольного определения поло­ жения точек 0 < я, < JC2 <... < < / отрезок разбит на N частей,