книги / Основы математического моделирования и численные методы
..pdf8. В зависимости от принципов построения модели: если каж дому входному набору параметров соответствует вполне определен ный и однозначно определяемый набор выходных параметров, то модель детерминированная, в противном случае - стохастическая (вероятностная).
Основные свойства любой модели следующие:
-конечность —модель описывает объект через конечное число его проявлений (возможности моделирования также конечны);
-упрощенность - отображаются лишь значимые свойства объ екта. Ни одна модель не может отобразить явление, объект или про
цесс полностью, кроме того, необходимо стремиться к простоте
висследованиях и воспроизведении;
-полнота - модель должна учитывать основные взаимосвязи
вобъекте, полноту их проявлений, обеспечивая тем самым цель мо делирования;
-адекватность - результаты, полученные посредством моде ли, должны соответствовать реальному объекту или процессу. По скольку модель описывает только наиболее значимые свойства, оце нивается степень соответствия только для этих свойств;
-наглядность - основные свойства и отношения объекта долж ны быть четко определены;
-доступность и технологичность для исследования или вос произведения;
-информативность - обеспечение достаточной информа
ции об объекте моделирования с учетом сделанных допущений,
содной стороны, и возможности получения новой информации -
сдругой;
-устойчивость - это способность модели обеспечивать ста бильные результаты решения, не зависящие от исходных данных, сохраняя при этом адекватность;
-замкнутость - все значимые свойства объекта и его прояв
ления описываются моделью, т.е. рассматривается ограниченное и замкнутое число связей и отношений, не существует внешних для модели влияющих параметров.
Таким образом, модель должна строиться так, чтобы она наи более полно воспроизводила те качества объекта, которые необхо димо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отно шениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изу чения. Таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.
1.4.Примеры построения математических моделей. Детерминированные физические модели
Физика и механика - это области науки, где методы математи ческого моделирования являются превалирующими в исследовани ях. История исследований различных физических процессов связана с созданием и дальнейшим развитием математических моделей про цессов. Именно физические и технические науки определили разви тие методов математического моделирования.
При создании математических моделей используют один из принципов построения - дедукции (от общего к частному) или ин дукции (от частного к общему). В этой связи различают детермини рованные (дедуктивные) и (недетерминированные) индуктивные мо дели. Детерминированные модели основаны на использовании фун даментальных законов сохранения, что характерно для физических процессов. В случае если фундаментальных законов для ряда явлений нет (биология, социология, экономика), то используют гипотезы.
Рассмотрим два простых физических явления и соответствую щие им детерминированные модели.
Пример 1. Падение тела
В момент времени t = 0 тело находилось на высоте /% и начина
ет падение со скоростью v0. Необходимо найти закон движения те
ла, т.е. построить математическую модель, описывающую движение тела в любой момент времени.
Построение любой математической модели начинается с опре деления упрощающих предположений, которые подразделяются на существенные и несущественные. К существенным относятся те до пущения, которые в значительной мере влияют на получаемый ре зультат.
Сделаем следующие допущения:
-плотность тела намного больше плотности воздуха;
-форма тела близка к шару.
Вэтом случае можно пренебречь сопротивлением среды и, ис пользуя второй закон Ньютона, записать
dv |
|
dh |
Il |
Л |
Il |
O |
O Jl^ |
Решением задачи (1.1)—(1.2) является выражение v = vo+£*> h =h0- v 0t - g t 2/2 .
(1.1)
(1.2)
Для многих задач, связанных с движением тел в атмосфере, та кая постановка неприменима (капли, тела с малой плотностью, спуск парашютиста и т.д.).
Пусть F(t) - сила сопротивления, тогда математическая модель имеет вид
dv |
{Л dh |
Ч=о =vo 4=о= v
В зависимости от физической постановки задачи математиче ские модели могут быть значительно усложнены.
Пример 2. Падение тела с учетом горизонтальной скорости
В отличие от примера 1 падение тела происходит при дополни тельном воздействии начальной скорости, направленной горизон-
|
тально (рис. 1.2). Представим себе |
||||
|
шар, лежащий на столе, который, |
||||
\ |
имея некоторую скорость |
v0, ска |
|||
/ч |
тывается со стола. |
|
|
||
I » |
|
|
|||
Поскольку |
вектор |
скорости |
|||
|
|||||
|
изменяет свое направление в про |
||||
|
странстве, определим |
его проек |
|||
|
ции на координатные оси х и у. |
||||
Рис. 1.2. Падение шара со стола |
Нужно отметить, |
что |
в направле |
||
нии оси х движение происходит с |
|||||
|
|||||
|
постоянной скоростью |
vx = v0 без |
|||
Vo |
ускорения, а в направлении оси у - |
||||
|
это равноускоренное |
движение |
|||
|
ау = g с нулевой начальной скоро |
||||
|
стью. Величина |
компоненты ско |
|||
|
рости у* остается неизменной и |
||||
|
равной Vo, а величина компоненты |
||||
|
Vуувеличивается пропорционально |
||||
|
времени (см. пример 1): vy= gt. Ре- |
||||
Рис. 1.3. Результирующая скорость |
зультирующая скорость определи- |
||||
Vв момент времени / |
ется по правилу параллелограмма |
||||
|
(рис. 1.3). |
|
|
|
|
Для определения траектории движения найдем координаты те
ла в момент времени t\ |
|
x =v0t; |
(1-3) |
y = gt2/2. |
(1.4) |
Выразим время t из формулы (1.3) через х и подставим это вы ражение в формулу (1.4). В результате получим
_ |
g |
(1.5) |
|
У = |
2VA |
||
|
График функции (1.5) пред ставляет собой параболу (рис. 1.4).
Таким образом, свободно па дающее тело, имеющее горизон тальную начальную скорость, движется по параболе. Причем чем больше величина начальной скорости, тем больше траектория отклоняется от вертикали. На рис. 1.5 приведены траектории движения струи воды при различ ных значениях расхода (начальной скорости).
Чем больше расход, тем больше значение начальной ско рости, тем больше отклоняется траектория движения (парабола) воды от вертикали. Величину от клонения параболы s по горизон тали до точки падения воды в ем кость можно определить следую щим образом:
s =v0^ 2 h /g
Рис. 1.4. Траектория падающего тела с начальной горизонтальной скоростью
Рис. 1.5. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше начальная скорость воды
Пример 3. Тело, брошенное под углом к горизонту
Пусть тело брошено вверх с начальной скоростью Vo под уг лом а к горизонту (рис. 1.6). В отличие от примера 2, в этой задаче начальная скорость как в вертикальном направлении, так и по гори зонтали не равна нулю. Спроектировав vo на координатные оси, по лучим составляющие скорости вдоль координатных осей:
Vo, = v0 cosa, v0j, = v0 sin a .
Как и в примере 2, величина горизонтальной составляющей скорости остается неизменной, так как в горизонтальном направле нии не действует никакой силы и составляющая ускорения по оси равна нулю, движение в направлении оси х равномерное.
Движение тела по вертикали до точки А равнозамедленное, зна чение вертикальной составляющей скорости убывает, в точке А ста новится равной нулю, далее движение становится равноускоренным.
Определим координаты тела в момент времени V.
л
jt = (v0co sa)f, y = (v0s i n a ) f - ^ - .
Для определения момента времени tA, когда тело достигает точ ки максимального подъема, учтем, что компонента скорости vy
в этой точке равна нулю:
v,= v0s in a - g f,
следовательно,
v0s in a - g ^ = 0 ;
тогда
v0smct g
Для случая, представленного на рис. 1.6, полное время полета 2 v0sina
g
Дальность полета определяется произведением vx на время по лета /пол'
s =xD=v0cosct-2vn sin a _ v02 sin 2a |
( 1.6) |
|
g |
g |
|
Из формулы (1.6) и рис. 1.7 видно, что наибольшее значение дальности полета достигается при а = 45°.
/N
Высота подъема h может быть определена, если в выражение для координаты у вместо / подставить tA\
h = уА= v0 sin а psinet |
g |
Vg sum |
\2 |
, или h - v02 sin2 a |
g |
2 |
g |
J |
2g |
Пример 4. Падение тела с учетом сил сопротивления
Все предыдущие примеры математических моделей падения тел основывались на допущении о том, что сила сопротивления воз духа мала и ей можно пренебречь. В ряде случаев такое допущение неприменимо (например, задача о полете парашютиста) и силу со противления необходимо учитывать.
Итак, в момент времени t = 0 тело находится на высоте и на
чинает падение со скоростью v0. На тело действуют три силы: сила инерции, сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Из второго закона Ньютона имеем
ma = m g -F c.
Для определения силы сопротивления среды Fc используют следующее выражение:
Fc=k\v + k2v2, |
( 1 .8 ) |
где V - скорость движения; к\ —коэффициент Стокса, зависящий от вязкости среды (большая величина); к2—коэффициент лобового со противления (маленькая величина), зависящий от формы тела, пло щади сечения тела, плотности среды,
к2= 0 ,5 р среды5с,
где 5Скоэффициент формы. Значения коэффициентов формы для ряда геометрий приведены ниже:
Форма тела |
Коэффициент формы Sc |
Полусфера |
1,33 |
Шар |
0,4 |
Каплевидное тело |
0,045 |
Значения плотности для воздуха и воды приведены ниже:
Среда |
Плотность Рсреды, КГ/м3 |
Воздух |
1,29 |
Вода |
1000 |
Если скорость тела мала, то в уравнении (1.8) превалирует пер вое слагаемое, определяемое вязкостью среды, квадратичная состав ляющая при этом пренебрежимо мала. При более высоких значениях скорости существенно возрастает квадратичная составляющая.
Математическая модель задачи о спуске парашютиста (1.7)—(1.8) может быть реализована с помощью итерационного метода. Выби рается малый промежуток времени т, в пределах которого движение считается равноускоренным (дополнительное допущение), несмотря на то, что процесс таковым не является. Тогда в пределах малого промежутка времени правомерны зависимости
ат2 y = y 0+ w + — ;
v = v0 +ат;
а= const.
Вначальный момент времени to = 0 скорость и высота (начало координат - в точке начала движения) равны нулю, а ускорение рав но g (допущение о равноускоренном движении в пределах первого малого отрезка времени), т.е. уо= 0, Vo = 0, щ = g.
Для каждого момента времени производятся следующие вы числения:
/о” 0 |
О II £ |
v0= 0 |
fl=r0 + T |
yi=yo+v0+ а0х2/2 |
Vi = v0+ a 0T |
В l-й момент времени: |
|
|
ti= to+ /т |
У;=Ум + тм т + ам т2/2 |
v,= vM + aMT |
Û0 = g
al= (mg-klvl - k 2vl2)lm
dj= (mg- k\Vjk2v?)lm
Очевидно, что для каждого момента времени определяется свое значение ускорения, которое в некоторый момент может быть близ ким к нулю.
Счет заканчивается тогда, когда х, станет равным заданному значению высоты х< = h.
Наряду с определением параметров движения тела возникает задача о безопасном спуске парашютиста. Скорость безопасного приземления оценивается величиной скорости приземления с высо ты в 3 м и составляет 8 м/с. Таким образом, зная конечную скорость приземления парашютиста, можно определить коэффициент сопро тивления к2и рассчитать диаметр парашюта.
1.5.Уравнения математической физики
Впредыдущем подразделе были рассмотрены задачи математи ческих моделей, которые решались аналитическими методами. Круг таких задач крайне ограничен, так как описание реальных физиче ских процессов с помощью простых линейных уравнений возможно только в первом, грубом приближении, в то же время необходимо учитывать взаимовлияние различных параметров процесса, что су щественно осложняет задачу.
Максимальное погружение в физику математических методов привело к появлению такой дисциплины, как уравнения математи ческой физики, которая дает возможность рассматривать сложные физические явления (процессы колебания, волновые процессы, про цессы теплопроводности и др.) в более полной постановке с исполь зованием дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных производных. Эти уравнения называются уравнениями математиче ской физики.
Вобщем случае дифференциальное уравнение включает в себя искомую функцию со своими производными:
Л ( ^ ) У М У ( * ) : / « ) = 0.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, оп ределяет порядок дифференциального уравнения. Решение диффе ренциального уравнения (функция у , х) - независимая переменная. Обыкновенное дифференциальное уравнение - это уравнение, в ко тором искомая функция зависит от одной переменной. Дифференци альным уравнением в частных производных называется уравнение, в котором искомая функция является функцией нескольких пере менных.
Уравнения математической физики представляют собой линей ные относительно входящих производных уравнения 1-го и 2-го по рядка. Если рассматривать две независимые переменные х н у , урав нения можно представить в следующем виде: