книги / Методы самосогласования механики композитов

сечением при размещении центров сечений в узлах правильной гексагональной решетки с вероятностью, равной величине относительного объемного содержания волокон в композите vo ; расчетные схемы

осредненных задач различаются лишь формой поперечных сечений одиночного волокна: круг и правильный шестиугольник.

Известно точное решение [2] для эффективного модуля сдвига

геометрической взаимозаменяемости или инверсии областей включений и матрицы при условии их несжимаемости ν(1) = νM = 0,5 .

Условию инверсии удовлетворяют при значении vo = 0,5 и F =1 полидисперсная (см. рис. 1.1, е) и монодисперсная (см. рис. 2.5, a) структуры; результаты расчета эффективного модуля сдвига G12* для

полидисперсной структуры с несжимаемыми волокнами и матрицей на основе решения осредненной задачи с одиночным волокном круглого поперечного сечения совпал с точным решением [2].

2.1.4. Решение тестовых задач

Cравнение с экспериментальными данными. Рассмотрим в срав-

нении с известными экспериментальными данными для трансвер- сально-изотропных стеклопластика и боропластика [59] численный расчет обобщенным методом самосогласования эффективных упругих

71

связывающих искомые эффективные упругие технические характеристики рассматриваемых композитов с однородными и детерминированными изотропными упругими свойствами волокон и матрицы, для полного определения эффективных упругих свойств необходимо рассчитать обобщенным методом самосогласования лишь величины k12* , G12* и дополнительно G13* – эффективный модуль сдвига в про-

дольной плоскости r1Or3 . Остальные эффективные характеристики

композита могут быть определены по формулам (2.56).

Расчетная схема осредненной задачи – изотропное волокно с тензором упругих свойств СF, окруженное трансверсально-изо- тропными переходным слоем и средой, упругие свойства которых определяются соответственно функцией a(ξ) и тензором С* при про-

стых условиях нагружения среды на бесконечности: 1) всестороннее растяжение в плоскости изотропии ξ1 Oξ2 при плоском деформированном состоянии, 2) сдвиг в плоскости изотропии ξ1 Oξ2 и 3) сдвиг в продольной плоскости ξ1 Oξ3 . Из совместного решения первой и второй подзадач становится возможным определить эффективные объемный модуль плоской деформации k12* и модуль сдвига G12* , через которые по формулам (2.56) вычисляются эффективные модули Юнга E3* , E1* и коэффициенты Пуассона ν13* и ν12* .

Таким образом, задача прогнозирования эффективного модуля сдвига G13* может быть выделена в отдельную подзадачу, в расчетной схеме которой упругие свойства переходного слоя и среды будут явным

72

образом учитывать предварительно найденные значения k12* и G12* . Модули Юнга и коэффициенты Пуассона изотропных матрицы и волокон для стеклопластика: EM = 3,45 ГПа, νM = 0,35 и EF = 73,10 ГПа,

νF = 0,22 и для боропластика: EM = 4,14 ГПа, νM = 0,35 и EF = 414 ГПа,

νF = 0,35 [59].

Результаты численного расчета обобщенным методом самосо-

вующим значениям k12* и G12* (2.56), приведены для стеклопластика

в табл. 2.4 и на рис. 2.6, для боропластика – в табл. 2.5 и на рис. 2.7 для моделей типов I–III случайных структур (см. рис. 1.4, а – в)

73

Таблица 2.5

Эффективные упругие модули однонаправленного волокнистого боропластика

Минимальные гарантированные прослойки матрицы между волокнами для рассматриваемых случайных структур II1, II2 и II3 равны 4, 2 и 0,1 % от радиуса волокна rυ соответственно. Решения 1

и 2 (см. рис. 2.6 и 2.7) получены обобщенным методом самосогласования на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций (1.50) и (1.51) приведенного поля вероятностей ω(ξ) и тождест-

венны решениям известных методов самосогласования [15, 19]. Например, по принятой терминологии работы [19] расчетная схема решения 1 названа «трехфазной моделью» – волокно с прослойкой матрицы в среде с эффективными свойствами. Решение 1 практически совпадает с результатами обобщенного метода самосогласования для структуры типа I в рассматриваемом диапазоне значений vo .

Таким образом, из анализа численных результатов (см. табл. 2.4 и 2.5, рис. 2.6 и 2.7) обобщенного метода самосогласования может быть сделан вывод, что существенный разброс экспериментальных значений, например, эффективного модуля Юнга E1* однонаправленного волокнистого стеклопластика и боропластика, обусловлен

75

вариациями характера случайного взаимного расположения и статистическим разбросом значений радиусов волокон в плоскости изотропии r1Or2 образцов. Уменьшение минимальной гарантированной про-

слойки матрицы между волокнами в случайных структурах типа II обусловливает повышение жесткости композита. Влияние на эффективные упругие свойства характера случайных структур в плоскости изотропии уменьшается с уменьшением различия упругих характеристик матрицы и волокон. В предельном случае для среды Хилла, когда модули сдвига матрицы и волокон равны, известно точное аналитическое решение [62], согласно которому для такой среды характер статистически изотропной структуры в плоскости r1Or2 не влияет

на эффективные упругие свойства и тензор С* является изотропным; обобщенный метод самосогласования также дает единое численное решение для всех рассматриваемых моделей типов I–III случайных структур (см. рис. 1.4, а – в), которое с точностью до 2 % совпадает с аналитическим решением [62].

Cравнение с решениями для периодических сред. Рассмотрим численный расчет и анализ в сравнении с известными решениями для периодических гексагональных структур [8, 16] эффективных транс- версально-изотропных упругих свойств однонаправленного волокнистого стеклопластика на основе типов I–III моделей (см. рис. 1.4, а – в) в плоскости изотропии r1Or2 реальных случайных структур из полых

волокон с детерминированными упругими свойствами при различных значениях отношения внутреннего радиуса волокон к внешнему q = 0, 0,5, 0,9 и 1; значения 0 и 1 соответствуют сплошным волок-

нам и порам.

Результаты численного расчета обобщенным методом самосогласования эффективных объемного модуля плоской деформации k12* и модуля сдвига G12* однонаправленного волокнистого стеклопластика

для различных типов I–III моделей случайных структур представлены в табл. 2.6 при различных значениях коэффициента q = 0, 0,5 и 0,9;

модули Юнга и коэффициенты Пуассона изотропных эпоксидной

77

Таблица 2.6

Эффективные упругие модули композита с полыми волокнами

На рис. 2.8 представлено сравнение полученного решения для модуля сдвига G12* в плоскости изотропии композита с известным решени-

ем (p) для периодических гексагональных структур [16] и с решениями 1 и 2, полученными обобщенным методом самосогласования на основе соответствующих кусочно-постоянных аппроксимаций осредненных индикаторных функций ω1 (ξ) и ω2 (ξ) (1.52) и (1.53).

Результаты численного расчета обобщенным методом самосогласования эффективных упругих модулей k12* и G12* для предельного

78

Эффективные упругие модули пористого композита

79