книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

или, в более подробной записи.

Следовательно, если в призматическом или цилиндрическом теле любой длины температура меняется так, что в продоль­ ном направлении (т. е. в направлении оси г) возникает неиз­ менное температурное поле Т{х, у), и поэтому во всех пло­ ских поперечных сечениях имеет место одинаковое распреде­ ление температуры, и если, кроме того, торцы тела Z = Const жестко заделаны, а на его боковую поверхность действуют внешние силы, величины которых легко могут быть опре­

деляются при помощи уравнений (5.4) и (5.5), после чего получаем для Ф частное решение из уравнения (5.2).

в большинстве случаев требуется, однако, чтобы по край­ ней мере боковая поверхность была свободна от напряже­ ний. Следовательно, речь идет о том, чтобы наложить такое решение уравнений теории упругости, которое на торцах будет, удовлетворять прежним условиям W = O и = О, а на боковой поверхности давать значения внешних сил, рап­ ные по величине и противоположные по знаку тем, которые следуют из уравнений (5.5).

Эта задача достаточно подробно исследована в теории упругости. Напряжения определяются через вторые производ­ ные от функции F (которая носит название функции напря­

При этом F должно удовлетворять уравнению в частных производных четвертого порядка

Условия на торцах, а именно W = O и o^a, = Oj,, = О, выпол­ няются автоматически, поэтому учитывать их не нужно.

Для деформаций по уравнениям (2.7) получаем:

Следовательно, боковая поверхность свободна от напряжений, так как напряжения а^у и вообще, равны нулю, и лишь на торцах действуют нормальные напряжения о„, бла­ годаря которым в направлении оси г отсутствуют деформации.

(Следует иметь в виду, что, положив Р = 2 0 Ф , мы можем в некоторых случаях прийти к многозначным перемещениям (см. стр. 26).

§ 2. Плоское напряженное состояние

Под плоским напряженным состоянием мы понимаем на­ пряженное состояние в тонкой пластинке, при котором напря­ жения действуют только в плоскости пластинки. Эти напря­ жения по толщине пластинки распределены равномерно.

Если мы выразим в этих уравнениях деформации через пере­ мещения и и V согласно уравнениям (2.2), то получим:

. дЧ^

,= 0.

'д х д у *

Вэтом случае, как и прежде, граничные значения, полу­ чающиеся из найденного решения плоской задачи, в общем

§ 3. Температурные напряжения в пластинках при теплоотдаче на наружных поверхностях

Ограничимся случаем, когда имеет место теплообмен на внешних поверхностях вследствие разности температур между пластинкой и окружающей средой, и, прежде всего, составим

дифференциальное уравнение для температурного поля, пред­ полагая состояние стационарным. C этой целью рассмотрим эле­ мент пластинки, ограниченный в плоскости пластинки элемен­ тарными площадками dX • dy, высота которого равна толщине пластинки о. Вид этой бесконечно малой призмы представлен на рис. 8. Составим тепловой баланс для этой призмы. Через ближнюю к началу координат боковую поверхность Id y согласно уравнению (1.4) поступает количество тепла, рав-

в то время как через противоположную

дх

Так как при стационарном состоянии температура от времени не зависит, то количество тепла, содержащееся в бесконечно малой призме, должно оставаться постоянным, иначе говоря, количество поступающего тепла равно количеству выходя­

и имеет место в большинстве встречающихся случаев), полу­ чим дифференциальное уравнение для 2 :

Теперь найдем частный интеграл дифференциального уравне­ ния (5.14)

ДЧ' = (1 + ,х)аГ = (1 + ^^)а(2Ч-0).

Таким образом, по уравнениям (5.16) и (2.8) получим сле­ дующие выражения для напряжений:

Если эти напряжения не будут удовлетворять граничным условиям, то следует ввести дополнительное напряженное

жений в = о-\-а удовлетворяла граничным условиям (напри­ мер, чтобы граница была свободна от напряжений).