книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

ными, т. е. в этом случае перемещение или поворот, вы­ званные вспомогательной нагрузкой 1^, следует всегда считать

положительным, когда оно представляет собой увеличение длины элемента стержня.

В уравнении (4.1) интегрирование по da распространено вдоль всех осей стержней системы.

§ 2. Деформация элемента стержня вследствие изменения температуры

Если плоская система при изменении температуры остается плоской, то во всех плоскостях стержня, параллельных пло­ скости системы, температура должна быть распределена оди­ наковым образом. Наше упрощающее предположение, что поперечные сечения стержня остаются плоскими, требует следующего ограничения: температура по толщине стержня должна изменяться линейно, так как изменение длины каж­ дого отдельного параллельного оси стержня волокна про­ порционально изменению его температуры. В главе V мы подробно рассмотрим распределение температуры и напряже­ ний в пластинках, частным случаем которых можно считать тонкий стержень. Ограничимся пока замечанием, что линей­ ное стационарное распределение температуры по поперечному сечению возможно лишь у тонкого стержня постоянной тол­ щины C прямолинейной осью, когда граничная температура вдоль оси стержня также изменяется линейно. Для стержня C криволинейной осыр допущение о линейном распределении температуры по поперечному сечению будет давать тем более грубое приближение, ч^м больше. отношение радиуса кри­ визны оси стержня к толщине стержня. Во всяком случае пластинка, находящаяся в дайных условиях, остается свободной от напряжений, за исключением случая, когда внешние силы препятствуют свобо!дн6й -деформаций.

1гл. IV

примем, что температура нижнего краевого волокна рав-

характеризует падение температуры по толщине стерх<ня А. Тогда взаимный поворот двух по­ перечных сечений, отстоящих на рас­ стоянии da, составляет:

^а<^д — а —^ й а .

Если одновременно на оси стер­ жня появляется температура T^,, то удлинение элемента стержня опре­ деляется формулой

АdSg = UTQda.

На рис. 6 представлены деформации и распределение температуры элемента стержня.

§ 3. Статически определимые системы

Различают статически определимые и статически неопре­ делимые системы. У первых возможно определить напряжения исходя единственно из условий равновесия твердого тела. Статически определимые системы состоят из такого коли­ чества стержней, которое безусловно необходимо, чтобы система была неизменяемой; кроме того, соединение отдель­ ных стержней должно быть таким, чтобы увеличение коли­ чества степеней свободы соединения тотчас влекло за собой изменяемость системы. Следовательно, при изменении длины стержня или его изгибе появляются только деформации, но не напряжения. Поэтому в уравнение (4.1) следует вместо Adtpo и Ads, подставить

ДД(р„ = а - ^ с ? о ,

А^5, = аГо^о,

тогда перемещение точки i будет равно

поворота основной системы вследствие изменения темпера­ туры, согласно (4.2) равные

Если определить Х^т из системы уравнений (4.3), то полу­ чается произвольная величина ЕоГ/л возникающая в стати­ чески неопределимой системе в сечении а вследствие изменения температуры и равная

основную систему действует только вспомогательная на­ грузка X j = I . Величина Е,т отлична от нуля, только когда она означает деформацию; если же она представляет силу или момент, то она обращается в нуль. Действительно, в основной системе, которая предполагается статически определимой, благодаря изменению температуры не могут возникнуть напряжения, обусловленные стеснениями. Отсюда,

элемента стержня, вызываемым температурой, следует еще присоединить деформации, создаваемые напряжениями стесне­ ния. Поэтому

Перемножая выражения, стоящие под знаком интеграла, и меняя порядок суммирования и интегрирования, можно второй и третий интегралы преобразовать к виду

правой части равенства представляет левую часть р-го урав­ нения теории упругости (см. уравнения (4.11)) для опре­ деления Xjii.

ной системы в точности равно изменению формы статически неопределимой системы, если у обеих систем возникают одинаковые деформации элемента стержня, а именно (в дан­ ном случае это деформации статически неопределимой систе­ мы):

Поэтому если рассмотреть статически определимую основную

усилие, вызванные единичной вспомогательной нагрузкой в сечении / в статически определимой системе. Таким образом получается уравнение (4.14).

§ 5. Смещения узлов фермы

Ниже мы приведем выражения для перемещений узла фермы вследствие изменения температуры. В стержне, соеди­ няющем узлы C температурами T' и Т", устанавливается

падение температуры по линейному закону, поэтому удлинение этого стержня, имеющего длину Sp, будет равно

и так как, кроме того, в идеальной ферме не возникают

нях, вызванные соответствующей единичной вспомогательной нагрузкой в узле / в статически определимой (и соответ­ ственно статически неопределимой) системе, SpT— усилия в стержнях статически неопределимой системы, возникающие благодаря изменению температуры.

На практике обычно задают в конструкциях температур­ ные поля, чаще всего не привлекая теорию теплопровод­ ности. У решетчатых ферм, как правило, принимают, что верхний пояс, подвергающийся солнечному облучению, испы­ тывает определенное повышение температуры по отношению к другим стержням.

Далее, из уравнения (4.5) получаем:

Поэтому в соответствии с уравнением (4.7) в кольце дей­ ствует лишь изгибающий момент

ж . . , = -

Если ось стержня лежит посредине между двумя крайними волокнами, то, так как VT = 2У, граничные напряжения при­

Допущение о том, что температура и напряжения распреде­ ляются по толщине кольца линейно, как уже упоминалось, не вполне соответствует действительности и является лишь приближением, обычно употребляемым в строительной меха­ нике.

Подробное исследование кольца с прямоугольным попе­ речным сечением на основе теории тонких дисков будет при­ ведено в главе V.

ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ВЫЗВАННЫЕ ДВУМЕРНЫМ ТЕМПЕРАТУРНЫМ ПОЛЕМ

§ 1. Плоское деформированное состояние

Примем, что температурное поле стационарно и зависит лишь от координат х и у , но не зависит от г. Таким обра­ зом, оно определяется дифференциальным уравнением в част­ ных производных (см. уравнение (1.6))

(5.1)

так как производная по г пропадает.

Термоупругий потенциал перемещений согласно (2.13)

Мы выбираем такие частные решения этого уравнения, кото­ рые не зависят от г и поэтому удовлетворяют уравнению

в дальнейшем оператор Лапласа будем обозначать так:

‘^ ~ д х ^ ^ ду"- *

Уравнение (5.2), учитывая равенство (5.1), дает для Ф урав­ нение в частных производных четвертого порядка

ДЛФ = 0,