- •МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
- •Глава 1.1. Основные понятия и математический аппарат
- •1.1.1. Проценты и процентная ставка
- •1.1.3. Числовые последовательности. Прогрессии. Степенные ряды
- •1.2.1. Наращение по процентной ставке
- •Переменная процентная ставка
- •Реинвестирование вкладов
- •1.23. Наращение по учетной ставке
- •1.2.4. Срок долга. Величина процентной ставки
- •Глава 1.3. Сложные проценты
- •1.3.1. Наращение по процентной ставке
- •1.3.4. Непрерывное наращение и дисконтирование
- •1.3.5. Срок долга. Величина процентной ставки
- •1.4.1. Эффективность различных ставок
- •Замечания.
- •Глава 2.2. Потоки с постоянными платежами
- •2.2.2. Современная величина
- •Замечания.
- •Рента с начислением смешанных процентов
- •Глава 23. Потоки с переменными платежами
- •23.2. Относительное изменение платежей
- •Глава 2.4. Сравнительный анализ. Приложения
- •Замечание.
- •2.4.2. Безубыточное изменение потоков платежей
- •Серия "Российская Экономическая Академия им. Г.В.Плеханова"
- •Серия "Индустрия гостеприимства"
- •Серия "Учебники для экономических и неэкономических ВУЗов"
- •Серия "Прогрессивная экономическая мысль Европы"
- •По вопросам приобретения книг и за дополнительной информацией просим обращаться:
Замечание.
Коэффициент наращения годового потока непрерывно поступающих постоянных платежей с начислением на них сложных процентов по годо вой процентной ставке / составляет
« o + o ' - i |
j |
* i i |
|
ln(l +0 |
Шj - i 2 /2 + t'3 /3 |
2 |
12 |
В то же время множитель наращения за половину года равен |
|||
(1+ i)i/2 « 1 + // 2 - /2 / 8. Поэтому можно считать, |
что |
^ « 0 + 0 • Та’ |
ким образом, наращенная сложными процентами сумма годового потока непрерывно поступающих постоянных платежей эквивалентна величине разового платежа этой суммы, произведенного в середине года и наращен ного сложными процентами по такой же процентной ставке к концу года.
Аналогично можно показать, что современная величина суммы годо вого потока непрерывно поступающих постоянных платежей, приведен ных сложными дисконтами по годовой процентной ставке на начало года, эквивалентна величине одного платежа этой суммы, произведенного в се редине года и приведенного сложными дисконтами также к началу года, т.е. «(1 +i)“,/2«
2.4.2.Безубыточное изменение потоков платежей
Впрактике нередки случаи изменения условий финансовых сделок, связанных как с разовыми платежами (раздел 1.4), так и с потоками плате жей. В последнем случае один или несколько потоков платежей (рент) с определенными параметрами заменяется на поток платежей (ренту) с дру гим набором параметров. Обычно среди параметров заменяющей ренты остаются неопределенными величина члена ренты R и
срок ренты п (т.е. число членов ренты). Очевидно, что финансовые отно
шения участников сделки до и после замены ренты должны оставаться ез
изменений. Поэтому параметры заменяющей ренты определяют из уравне ния, базирующегося на принципе финансовой эквивалентности современ ных величин, участвующих в замене рент.
В случае замены ренты с современной величиной А\ = R\ •я^[,11.у1//И|
на отложенную |
на время |
t |
ренту |
с |
современной |
величиной |
|||
А0 = *0 'an°ono'Jolmo УРавнение эквивалентности принимает вид |
|
||||||||
А\ = Л0 • tf <=» Л, -я |
РI |
|
|
•а Ро |
|
|
Г'М |
|
|
= /?0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
m\n\'J\ /wi |
|
|
m0no:Jo/mo |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
-т0-п0 |
|
|
|
А |
|
|
|
1 - 1 1 + ^ |
|
|
||
М 1 +W, |
|
- |
RQ ------ |
|
щ |
|
|
||
<=> Л1*“ |
|
|
|
, ’"o'Po |
И |
Г |
|||
|
1 + А |
- ! |
|
|
Ро- |
|
|||
л - |
|
|
1 + ^ - 1 |
-1 |
|
||||
|
ш, |
|
|
|
к |
Щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда величина члена заменяющей ренты определяется по формуле |
|||||||||
|
|
|
2Р° |
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 = R\ |
|
1"о»0:]о/то • Г |
, . д Г |
|
|
||
|
|
|
ат\п\:]\1т\ |
V |
то ) |
|
|
при заданной величине срока /?о и остальных параметрах заменяющей
ренты.
Величина срока заменяющей ренты рассчитывается по формуле
при заданной величине члена R и остальных параметрах заменяющей рен* ты.
Из рассмотренного случая следуют различные варианты. 1) При t = 0 замена одной ренты на другую без отсрочки.
|
к |
2) При |
/\Q - X Л* замена нескольких рент на объединенную ренту |
|
к - \ |
(консолидация рент). |
|
3) При |
А\ = Я, замена разового платежа на ренту с современной ве |
личиной А(). |
|
4) При |
AQ = RQ имеем случай замены ренты с современной величи |
ной А] на разовый платеж и т.д.
Отмстим, что реальный результат при определении срока заменяю щей ренты возможен, когда в числителе под знаком логарифма положи тельная величина.
2.4.3. Финансовое страхование
При страховании, как и при любой финансовой сделке, реализуется принцип финансовой эквивалентности обязательств участников сделки:
страхователя и страховщика. Страхователь, выплачивая страховой взнос R(n надеется получит!» страховую сумму Rc от страховщика при на ступлении страхового события, оговоренного в контракте. Так как о на ступлении страхового события можно говорить с некоторой вероятностью /;, то величины страхового взноса и страховой суммы связаны выражением Re = Кс • р (без учета расходов на страхование и дохода страховщика).
Если предполагаются неразовыс страховые взносы и страховые сум мы, то мы имеем дело с регулярными условными потоками платежей - ан нуитетами. Рассмотрим примеры решения одной из основных задач стра хования определение годовой! тарифной ставки (годового страхового взноса) страхования.
Страхование жизни. Страховым событием является смерть страхо вателя. Пусть вероятность умерен» в /-м году. Страхователь выплачива
ет страховой взнос R(t страховщику в начале года (рис. 42).
Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то, с учетом временной ценности денег, страхователь выплатит страховщику взнос если на втором году, то - сумму взносов R(t + R(i • v=Re(\+ i)\
если на третьем году, то - сумму взносов Re + Re • И- R(t • 1? = RH(1+ И- &)\
на /-м году сумма выплачиваемых взносов составит Ra{\+ И* 1?+...+ ^ !) и т.д.
Re |
Rg'Pl |
Rg‘P2........ |
* * ‘P t ......... |
**-Рп |
|
|
|
о |
1 |
2 |
t |
n |
t* |
Rg |
A— |
|
|
|
|
|
RgV |
I ' " |
|
|
|
|
|
Rg-V2 < |
|
|
|
|
|
|
Rg ^ |
*- |
|
|
|
|
|
V v " |
« - |
|
' |
------- |
|
|
|
|
|
Рис. 42 |
|
|
|
Таким образом, |
современные величины сумм |
страховых |
взносов |
|||
Re(\+ v\- & + |
+ |
|
t = 1, 2 , . . . , |
л, выплачиваемых страхователем |
страховщику до наступления страхового события можно рассматривать как возможные значения некоторой случайной величины Ав, принимаемые с вероятностью наступления страхового события pt (t = 1, 2 , . . . , и). Ма тематическое ожидание (среднее значение) случайной величины Ав
"современная величина суммы страховых взносов" - определяется по фор муле
M(A,)= V P i + * e-(l+ Ъ - Р г + |
+ V 0 + W - |
+ ^ _1)-р „ = |
|
= ^e’[pi +0 + $ ‘ Р г + |
+ 0 + VH- |
+ У '^Рн]- |
|
Очевидно, что и современную величину страховой суммы, выплачи ваемой страховщиком страхователю при наступлении страхового события, можно рассматривать как возможное значение некоторой случайной вели чины Ас . Найдем математическое ожидание случайной величины Ас.
Пусть страховая сумма выплачивается страховщиком страхователю в конце года, в котором произошло страховое событие. Тогда, если страхо вое событие произойдет в первом году страхования, современная величина страховой суммы равна Rc >к Если страховое событие произойдет во втором году страхования, то современная величина страховой суммы равна Rc • ^ и т.д.
Так как возможные значения Rc • tf, (t = 1, 2, ..., п), случайной вели чины Ас принимаются с вероятностью наступления страхового события pt , то математическое ожидание случайной величины Ас - "современная величина страховой суммы" - определяется по формуле
M(Ac) = Rc . vp\ +RC- J-P 2+ |
+RC- ^ ■P,,=Rd ' f -Pi- |
|
t=1 |
Используя принцип финансовой эквивалентности обязательств стра хователя и страховщика, т.с. М(Ав) = М(АС), и заданное значение страхо
вой суммы |
Лс> найдем величину |
ежегодного |
страхового взноса Rei а |
именно |
|
|
|
|
Дс - Е ^ ‘Pi |
|
|
ft |
__ __________________ 1______________________ |
||
|
Р \+ 0+ $-Р 2+ |
+(1+И - |
+ »Р~')-Р„ |
Величина ежегодного страхового взноса Re будет годовой тарифной став
кой страхования.
Имущественное страхование. В этом случае полагают, что вероят ность р наступления страхового события постоянна. Тогда математическое ожидание случайной величины Ав - "современная величина суммы стра ховых взносов", которую может получить страховщик от страхователя, оп
ределяется по формуле |
|
|
|
М(Ав) = Rg*[р + (1+ 1)-р+ |
+ 0 + v+ |
+ У , )*р]= • р-К , |
|
где К = п +( п - 1). и- |
+ |
тЯ"1 |
величины Ас- "современная |
Математическое ожидание случайной |
оценка страховой суммы", которую может получить страхователь от стра
ховщика, рассчитывается по формуле
п
М(АС)= Rc ' Р'Ш ^ ~ Rc'P ' an:i ■
/=1 Из финансовой эквивалентности обязательств страхователя и стра
ховщика, т.с. М(Ад)= М(АС), и заданной величины страховой суммы Rc
находим выражение для определения годовой тарифной ставки страхова ния, а именно
Страхование на дожитие связано со следующей ситуацией. Человек в возрасте л* лет желает получить от страховой компании сумму Rc при достижении им 60-ти лет. Очевидно, что современная величина этой сум мы равна Rc • i?°~x, а ее математическое ожидание исчисляется по форму
ле
M(Ac)= Rc - f ° - x -P(X,60).
где Р(Х'Щ " вероятность дожить до 60-ти лет человеку в возрасте JC
лет определяется отношением числа доживших до 60-ти лет (/6о) к числу
доживших до х лет ( 1Х) по таблице смертности.
Величина М(АС) называется нетто-ставкой на дожитие, т.е.
Re = М(АС)~ это взнос, который необходимо сделать в возрасте х лет с
тем, чтобы обеспечить получение страховой суммы |
Rc в возрасте 60-ти |
|||
лет. |
|
|
|
|
Умножив и разделив нетто-ставку на величину |
$ , получим |
|||
|
M{AC) = RC /60- |
= Rr |
'GO |
|
|
L - S |
Dr |
|
|
где D60 = /60- |
и £>, = /,• ? так называемые коммутационные числа |
первого типа. Это числа живущих, которые рассчитываются для процент
ной |
ставки /, принятой в конкретной страховой компании (так как |
^ ( 1 |
+ /) - ) . |
|
Пусть предполагается не разовая выплата страховой суммы, а после |
довательность современных величин выплат страховых сумм, начиная с возраста 60 лет до конца жизни (пожизненная пенсия), т.е.
Rc * Rc • > Rc • , где ц - возраст, в котором выплачивается последняя страховая сумма. Тогда математическое ожидание случайной величины Ас - "современная величина всех страховых сумм" определяется по формуле
M(AC)= R C |
'61 |
+ ^ . / | = лс .Яа. , , |
|
где a p_x:i - коэффициент приведения с учетом вероятности выплаты каж
дой страховой суммы. |
|
|
|
|
|
|
Умножив и разделив выражение для М(АС) на |
1? , получим |
|
||||
M{AC)= R C |
/ 6 0 - ^ , / б Г ^ , |
♦ ' ' • |
г |
|
|
|
|
U - * |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
--к |
. г « |
г Г |
Dx |
|
м |
|
|
J=0 |
|
|
где N5о = |
|
|
|
|
|
|
- коммутационное число второго типа, равное сумме |
||||||
7=60 |
|
|
|
|
|
|
коммутационных чисел первого типа Dj (чисел живущих) с учетом |
|
процентной ставки i, принятой в конкретной страховой компании (так как v^O + O - ')-
Нели в договоре страхования оговорено, что ежегодная пенсия вы плачивается в течение т лет, начиная с 60-ти лет, то
|
I |
, 6 0 + m - j c |
М(Лс)=Л с- |
* 6 0 +т ' Г |
|
|
|
|
|
W » 1 |
+WI |
|
|
|
4 w |
v»* |
> |
= ЛС. А» |
Аи + • • • +Ао+т |
(D6I + Р 62 + . . . + Р А)-(Рб0+»Н-1 + Ао+т+2 + •••+ А /)
= R,
_ п А>0 Ао+т+1
А
Разовый страховой взнос часто заменяется последовательностью взносов Re в начале каждого года в течение я лет, начиная с возраста в х лет. Тогда математическое ожидание случайной величины Ав
"современная величина суммы ежегодных взносов" определяется по фор муле
M(Ae) = Re ^ |
+ |
-1^ - |
г* |
|
= R ( L . J L + |
L . * 1 + |
•'"i |
||
' { l x f |
lx |
* |
‘ |
* J |
a At+ A+i + • •• + Ar+n — |
||||
e |
|
|
A |
|
(Dx +DX+\ + . . . +£y/)*~(Ar+w+l+Ac+w+2 + * + Д А) |
||||
= v |
|
|
Ас |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nx |
Nx+n+1 |
|
=л. •-----~ |
|
Ас
Из финансовой эквивалентности обязательств страхователя и стра ховщика при подписании контракта на пожизненную пенсию, т.е. из того, что
М{Ав)= М(АС)*> |
в At Аг+я+1 _ о |
А*> |
||
D, |
*• |
А ’ |
||
|
и з
- достижение адекватности схемы погашения кредита условиям фи нансового контракта (схемы 1 -10);
- оценивание стоимости кредита на любой момент его существова ния (схемы 1 - 10);
- определение эффективности финансовый операции для кредитора
(схемы 11-13). |
|
|
При погашении кредита S(0) |
расходы должника, |
производимые |
через равные промежутки времени |
t (f = 1 , 2 , . . . , |
и), называются |
срочными уплатами Y(t). |
|
|
Существуют схемы погашения кредитов, в которых одним из усло вий является создание должником погасительного фонда на специальном счёте в банке (схемы 1-4). Составляющие срочных уплат распределяются при этом следующим образом. Сумма;:j?(f), связанная с погашением части кредита в конце каждого периода t и называемая погаситель ным платежом, поступает в погасительный фонд. Остальная часть сроч ной уплаты, соответствующая процентам /(f) за пользование кредитом, начисленным по годовой процентной ставке g, может в конце каждого пе риода либа выплачиваться кредитору в размере 5(0)-g (так как весь долг кредитор получает в конце срока долга), либо направляться в погаситель ный фонд.
Иногда в контракте предусматривается льготный период, равный L лет, в течение которого должнику предоставляется возможность не произ водить погасительных платежей. При этом проценты за пользование кре дитом выплачиваются либо регулярно в течение всего срока долга, либо после окончания льготного периода, но уже с учётом того, что величина
процентного долга к этому моменту стала равной 5(0) • (1 + g)L
В схему погашения кредита постоянными срочными уплатами в по гасительный фонд вписывается также процедура амортизации объекта. В этом случае к концу срока жизни объекта на счету амортизационного фонда должна оказаться первоначальная стоимость объекта, равная амор тизационным отчислениям с начисленными на них процентами плюс оста точная стоимость объекта.
В случае, когда погасительные платежи и проценты за пользо
вание кредитом поступают сразу к кредитору, возможно |
использова |
|
ние 5 - 9 схем погашения кредитов. |
|
|
Схема 1. |
Погасительные платежи R(t) направляются в конце каждо |
|
го f-ro года (f - |
1, 2 ,. . . , п) в погасительный фонд. Здесь на платежи на |
|
числяются сложные проценты по годовой процентной ставке |
/. Процент |
|
ные деньги /(f), начисляемые по годовой процентной ставке |
g за пользо |
вание кредитом 5(0) в течение каждого года, выплачиваются кредитору. Необходимо сформировать поток постоянных срочных уплат от
должника, производимых в конце каждого года.
Необходимо сформировать поток срочных уплат от должника, изме няющихся по указанному закону.
Схема 8. В конце каждого года / (г - 1, 2 ,.. , п) должник выпла чивает кредитору проценты /(/), начисляемые за пользование кредитом в течение этого года по годовой процентной ставке g, и погасительный пла тёж R(t).
Необходимо сформировать поток срочных уплат от должника, соот ветствующих последовательности У(1), У(2 ) , .. . , У(//).
Схема 9. Проценты, начисляемые в виде простых процентов по го довой процентной ставке g в течение всего срока кредита - и, вместе с суммой первоначального кредита 5(0) образуют сумму наращенного дол га 5(0М Ugn).
Необходимо сформировать поток ежемесячных одинаковых срочных уплат на протяжении всего срока кредита так, чтобы процентные платежи подчинялись "правилу 78".
Схема 10. Срок кредита, выданного за п лет, разделён на два этапа так, что продолжительность первого этапа равна т лет. Обслуживание кредита осуществляется срочными уплатами р раз в году. На первом эта пе расходы должника изменяются с постоянным темпом а, то есть
У(/) = У(1) а*_| (г = 1,2 , . . . , тр), а на втором - остаются постоянными, то
есть Y(t)=Y(\)-a",p~l (/ = тр + 1,. . . , пр).
Необходимо сформировать поток заданных срочных уплат от долж ника с указанием погасительных и процентных платежей.
Схема II. Ежегодные проценты /(/) за пользование кредитом 5(0), данного под процентную ставку g на п лет, выплачиваются кредитору вместе с погасительными платежами в виде равных срочных уплат Y(t). Процентная ставка на рынке капитала равна / (/ > g).
Оцените потери кредитора.
Схема 12. В условиях схемы 11 предусматривается льготный пери од, когда в течение первых L лет выплачиваются только процентные деньги.
Определите потери кредитора.
Схема 13. В условиях схемы 11 предусматривается льготный пери од, когда в течение первых L лет должник не производит никаких выплат, а затем в оставшиеся (я -L) лет гасит кредит равными срочными уплатами.
Определите потери кредитора.
2.4.5.Ценные бумаги с фиксированным текущим доходом:
-облигации, сертификаты, вексели, другие долговые обязательства, а
также прит п^ирош т ы е Текущий докод т этим бумагам пре,- ставляег собой поток постоянных (ш,„ переменных) нлотежен - а н н у ^ г - в виде процентов или дивидендов. У
Владелец облигации предоставляет заём её эмитенту. Эмитент ин формирует о возможности досрочного выкупа облигации, о годовой норме охо пости о лигации - g, частоте выплат процентов в году - р, сроке до даты выкупа облигации - л, выкупной цене облигации - S(n) или о правиле сё определения, если она отличается от номинальной цены - S.
Оценка ценных бумаг по степени надёжности получения обещаемого дохода называется рейтингом. Колебания спроса на облигации влечёт из менение покупной цены - 5(0) на фондовом рынке. Универсальным изме рителем покупной цены облигаций с различными номинальными ценами
является курс облигаций Sk(0) = '^ 2 1 .iоо.
S
Вычисление как покупной цены облигации, так и её доходности осуществляется из уравнения финансовой эквивалентности, которое ус танавливает соответствие между покупной ценой и всеми поступлениями от облигации, дисконтированными сложными процентами по процентной
ставке на момент покупки облигации.
_____ Таблица 13 Уравнение финансовой эквивалентности:
а) без учёта налога; б) с учётом налогов на купонный доход Цр
на прирост капитала v k
Бессрочные
|
|
(I - 4 p ) s S |
|
|
С пулевым купоном |
а) 5(0) = 5(и)-(1 + 0 “" |
|
||
б) 5(0) |
= (5(л) - (5(л) - 5(0))и* )• (1+ « Г |
|||
|
||||
|
а) 5(0) = (5(л )+ 5((1 + g f |
) - 1)-О + 0 “" |
||
Сберегательные |
б) 5(0) = (5(H) - (5(H) - S (0 )H + |
|||
|
|
+{s(\ +g)n |
4p) ^ + i y " |
|
|
|
Продолжение таблицы 13 |
||
Срегулярной выпла- |
a) 5(0) |
= 5(л) • (1 + 1)- '1+ 5 • g • a%:i |
той процентов и вы платой выкупной це ны при погашении
б) 5(0 ) = (5 (я ) - (5(w) - 5 (0 ))и * )• (I + +
1 ~ 4 i p ) S ' 8 ‘ a mi
При определении текущей цены облигации 5(0) переменная / соот ветствует рыночной процентной ставке, а при определении доходности облигации - полной годовой доходности (или внутренней норме нрибылыюсти, или ставке помещения инвестиций) облигации.
Иногда при оценке доходности облигации используют либо
"купонную" доходность - —, либо текущую доходность - iT “ —— .
P |
S(0) |
Зависимость внутренних (5, л, р, #,5(л)) и внешних (5(0) или /) фак торов процесса организации займа под облигации различного типа пред ставлена схематично ниже на рисунках (рис. 43, 44, 45).
Бессрочные облигации 5(0)« — |
gS |
. \ • |
|
/• |
1 + - - - — |
|
2 2/;у |
Облигации с нулевым купоном 5(0) *5(/i)-(l-/!•/).
siоу
/,< /-<
S
Сберегательные облигации 5(0)« 5 •(! + и •(#--/)) и облигации с ре-
гулярными выплатами процентов и выплатой выкупной цены при погаше нии 5(0)» 5 • (1+п • (g - 0) при 5(л)-5.
личины равных платежей, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.
9. ( Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 на чало оплаты отложено на 2 года.
10. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 мри величине ежеквартальных платежей, указанных в контракте, определите продолжительность потока платежей при переносе начала потока платежей на 3 года.
11. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 от срочка потока платежей сопровождается сокращением срока потока до 4-х лет. Определите величину ежеквартального платежа в новых условиях.
12. (Изменение условий потоков платежей). В условиях задачи 8 из меняется число платежей в году, а именно они осуществляются каждые полгода.
13. (Изменение условий потоков платежей). Поток ежеквартальных платежей с ежегодной выплатой 2000 д.е. в течение 5-ти лет и начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06 заменяется на по ток полугодовых платежей в течение 8-ми лет с теми же условиями начис ления процентов. Определите величину платежей в новом потоке.
14. (Консолидация потоков). Три потока платежей с выплатой годо вых платежей соответственно 1000 д.е., 1500 д.е. и 800 д.е. в конце каждо го года и начислением сложных процентов по годовым процентным став кам соответственно 0,07, 0,06 и 0,05 в течение соответственно 5-ти, 6-ми и 7-ми лет заменяются потоком платежей в течение 6-тн лет и начислением сложных процентов по годовой процентной ставке 0,06. Определите вели чину годового платежа, заменяющего потока.
15. (Консолидация потоков). Консолидируются 3 потока платежей с одинаковыми годовыми величинами платежей в 6000 д.е. с начислением сложных процентов по одинаковым годовым процентным ставкам 0,08 по разным срокам: 7; 4 и 6 лет. Ежеквартальные платежи консолидированного потока равны 5000 д.е. при той же годовой процентной ставке. Определите число членов консолидированного потока платежей.
16. (Консолидация потоков). В условиях задачи 15 годовые платежи консолидируемых потоков равны 10000 д.е., 20000 д.е. и 15000 д.е.
17. (Консолидация потоков). В условиях задачи 16 годовой платеж консолидированного потока равен 20000 д.е.
18. Сравните курсы трёх облигаций* покупные и номинальные цены
которых в денежных единицах равны соответственно S 1(0) = 940,
s ' =1000, S 2(0) = 9,4, S2 = 10, S3(0) = 91,5, S3 = 100.
Приложение
|
|
|
Порядковые номера дней в году |
|
|
|
||||||
День |
янв |
фев |
мар |
апр |
май |
июн |
ИЮЛ |
авг |
сен |
ОКТ |
НОЯ |
дек |
м-ца |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
i |
1 |
32 |
60 |
91 |
121 |
152 |
182 |
213 |
244 |
274 |
305 |
335 |
2 |
2 |
33 |
61 |
92 |
122 |
153 |
183 |
214 |
245 |
275 |
306 |
336 |
3 |
3 |
34 |
62 |
93 |
123 |
154 |
184 |
215 |
246 |
276 |
307 |
337 |
4 |
4 |
35 |
63 |
94 |
124 |
155 |
185 |
216 |
247 |
277 |
308 |
338 |
5 |
5 |
36 |
64 |
95 |
125 |
156 |
186 |
217 |
248 |
278 |
309 |
339 |
6 |
6 |
37 |
65 |
96 |
126 |
157 |
187 |
218 |
249 |
279 |
310 |
340 |
7 |
7 |
38 |
66 |
97 |
127 |
158 |
/Л88 |
219 |
250 |
280 |
311 |
341 |
8 |
8 |
39 |
67 |
98 |
128 |
159 |
189 |
220 |
251 |
281 |
312 |
342 |
9 |
9 |
40 |
68 |
99 |
129 |
160 |
190 |
221 |
252 |
282 |
313 |
343 |
10 |
10 |
41 |
69 |
100 |
130 |
161 |
191 |
222 |
253 |
283 |
314 |
344 |
11 |
11 |
42 |
70 |
101 |
131 |
162 |
192 |
223 |
254 |
284 |
315 |
345 |
12 |
12 |
43 |
71 |
102 |
132 |
163 |
193 |
224 |
255 |
285 |
316 |
346 |
13 |
13 |
44 |
72 |
103 |
133 |
164 |
194 |
225 |
256 |
286 |
317 |
347 |
14 |
14 |
45 |
73 |
104 |
134 |
165 |
195 |
226 |
257 |
287 |
318 |
348 |
15 |
15 |
46 |
74 |
105 |
135 |
166 |
196 |
227 |
278 |
288 |
319 |
349 |
16 |
16 |
47 |
75 |
106 |
136 |
167 |
197 |
228 |
259 |
289 |
320 |
350 |
17 |
17 |
48 |
76 |
107 |
137 |
168 |
198 |
229 |
260 |
290 |
321 |
351 |
18 |
18 |
49 |
77 |
108 |
138 |
169 |
199 |
230 |
261 |
291 |
322 |
352 |
19 |
19 |
50 |
78 |
109 |
139 |
170 |
200 |
231 |
262 |
292 |
323 |
353 |
20 |
20 |
51 |
79 |
ПО |
140 |
171 |
201 |
232 |
263 |
293 |
324 |
354 |
21 |
21 |
52 |
80 |
111 |
141 |
172 |
202 |
233 |
264 |
294 |
325 |
355 |
22 |
22 |
53 |
81 |
112 |
142 |
173 |
203 |
234 |
265 |
295 |
326 |
356 |
23 |
23 |
54 |
82 |
113 |
143 |
174 |
204 |
235 |
266 |
296 |
327 |
357 |
24 |
24 |
55 |
83 |
114 |
144 |
175 |
205 |
236 |
267 |
297 |
328 |
358 |
25 |
25 |
56 |
84 |
115 |
145 |
176 |
206 |
237 |
268 |
298 |
329 |
359 |
26 |
26 |
57 |
85 |
116 |
146 |
177 |
207 |
238 |
269 |
299 |
330 |
360 |
27 |
27 |
58 |
86 |
117 |
147 |
178 |
208 |
239 |
270 |
300 |
331 |
361 |
28 |
28 |
59 |
87 |
118 |
148 |
179 |
209 |
240 |
271 |
301 |
332 |
362 |
29 |
29 |
- |
88 |
119 |
149 |
180 |
210 |
241 |
272 |
302 |
333 |
363 |
30 |
30 |
— |
89 |
120 |
150 |
181 |
211 |
242 |
273 |
303 |
334 |
364 |
31 |
31 |
- |
90 |
- |
151 |
- |
212 |
243 |
- |
304 |
- |
365 |
Библиографический список
1.Agbadudu А.В., Mathematical methods in Business and economics. Lagos university press, 1987.
2.Karl Bosch. Finanzmatematik. R.Oldenburg Verlag: Munchen, Wien.
1992.
3.Балабанов И.Т. Финансовый менеджмент. Учебник. М.: Финансы
истатистика, 1994.
4.Булкина М.К. Деньги. Банки. Валюта.: Учебное пособие. М.: АСГДИС", 1994.
5.1.V.J.Galama, J. dc Koning, J. Smit, A.W.Blrstckcr. Wiskunde voor het hoger economisch onderwijs. Educabock, 1987.
6.Ron Jones, John Mackay, Business Mathematics and Information Technology. Longmann Group, UK Ltd, 1988.
7.Кочович Елена. Финансовая математика. Теория и практика фи нансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994.
8.Мслкумов Я. С. , Теоретическое и практическое пособие по фи нансовым вычислениям. М.: ИНФРА-М, 1996.
9.Псрвозванский А.А., Псрвозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и риск, М.: АО Инфра-М, 1994.
10.Черкасов В.Е. Практическое руководство по финансовоэкономическим расчетам. М.: Метаинформ, 1995.
11.Чстыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.
М.: Дело Лтд, 1992.
12. Чуйко А. С., Шершнев В. Г. Математические основы финан сового обслуживания. Учебное пособие. Москва, 1995.