книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Механика. Физика макросистем

у правой границы переходит в растяжение. Это вызывает в среде возмущение растяжения, которое распространяется уже влево со скоростью звука. Скорости движения частиц в области растяжения, как и ранее, направлены вправо, но, самое главное, величина этой скорости возрастает в 2 раза (рис. 3.34, д), область растяжения отмечена горизонтальной штриховкой). Это является неизбежным следствием закона сохранения импульса. Уменьшение полного импульса за счет уменьшения числа частиц в области сжатия при ее переходе через свободную границу должно быть скомпенсировано появлением дополнительного импульса частиц в области растяжения за счет увеличения скорости. Это и приводит к тому, что скорость частиц в области растяжения в 2 раза превышает скорость частиц в области сжатия.

Перестройка возмущения сжатия в возмущение растяжения закончится, очевидно, через половину времени формирования возмущения сжатия у левого края среды τ, т.е. длина области растяжения в этот момент будет равна сτ/ 2 . В модели линейной цепочки атомов в этой области все пружинки между атомами растянуты, а сами атомы движутся вправо со скоростью 2v (рис. 3.35, е). Если созданное коротким взрывом механическое напряжение превышает предел прочности стали на растяжение, то именно в данный момент и произойдет разрушение, при котором слой стали толщиной сτ/ 2 отделится от основного материала. Таким образом, толщина отколотого слоя брони

Аналогичное явление наблюдается при попадании микрометеоритов в стекло иллюминатора космического корабля. При этом на внешней стороне стекла возникают разрушения. Подобные же разрушения видны и на внутренней стороне, так как предел прочности стекла на разрыв значительно меньше, чем на сжатие.

171

Для определения скорости отколотого слоя брони u воспользуемся вторым законом Ньютона Fτ = mu , который для нашего случая представим в виде

PSτ = ρlSu ,

где l – толщина отколотого слоя брони площадью S . Откуда сразу находим:

u = Pρlτ = Pρτcτ2 = 2ρPc = 250 м/с.

Заметим, что эта скорость ровно в 2 раза превышает скорость движения частиц в области сжатия сразу после взрыва. В этом нет ничего удивительного, так как все частицы отколотого слоя брони перед его отделением как раз и имели такую скорость!

172

4. ФИЗИКА МАКРОСИСТЕМ

4.1. Общие подходы

По мнению нобелевского лауреата по физике Р. Фейнмана, одним из самых главных и продуктивных утверждений, которые выработала наука, являются молекулярно-кинетические представления о строении вещества. Согласно этим представлениям любое тело – твердое, жидкое или газообразное – состоит из очень большого количества частиц – атомов или молекул. Эти частицы находятся в беспорядочном, хаотическом движении и взаимодействуют между собой. В этом утверждении содержится невероятно большое количество информации об окружающем нас мире.

Казалось бы, что поведение таких систем (их еще называют макросистемами) в принципе можно рассматривать на основе законов классической механики. Но это тупиковый путь, так как для этого пришлось бы составить совершенно немыслимое число уравнений (даже если бы частицы подчинялись классическим законам и имели бы точно известные начальные условия). В то же время именно гигантское число частиц привело к разработке двух радикально отличающихся методов изучения макросистем – молекулярной (статистической) физики и термодинамики.

Молекулярная (статистическая) физика ставит своей целью истолковать наблюдаемые на опыте свойства тел (давление, температура и т.п.) как суммарный результат действия молекул. При этом наличие большого числа частиц приводит к новому типу закономерностей, имеющих статистический, вероятностный характер.

С другой стороны, многие соотношения между свойствами вещества можно понять, ни слова не говоря об атомах или молекулах, т.е. не интересуясь микроскопической картиной строения вещества. В этом заключается термодинамический подход к изучению макросистем. В основе термодинамики лежат несколько фундаментальных законов (начал термодинамики), установленных на основании обобщения большого числа экспериментальных фактов. В силу этого вы-

173

воды термодинамики имеют весьма общий характер. Конечно, глубокое понимание термодинамики возможно лишь после подробного изучения механизма, лежащего в основе того или иного процесса. В этом смысле термодинамический и статистический методы изучения макросистем взаимно дополняют друг друга и их комбинированное применение позволяет более глубоко вникнуть в суть той или иной проблемы.

4.2. Основы молекулярно-кинетической теории

4.2.1. Истечение газа из сосуда. Газ, заключенный в сосуде объемом V , вытекает в вакуум через небольшое отверстие площади S . Найти закон изменения со временем концентрации газа в сосуде. Средняя скорость движения молекул газа в сосуде равна v .

Изменение концентрации газа связано с тем, что часть молекул вылетает из сосуда через отверстие. Если газ находится в равновесии, то его молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны и ни одному из них не может быть отдано предпочтение. Часть молекул на своем пути при движении к отверстию, испытывая столкновения с другими молекулами, изменит направление своего движения и не достигнет отверстия. Однако соударения не нарушают хаотического характера движения молекул и выбытие некоторого числа молекул из группы, движущейся по направлению к отверстию, сопровождается одновременным переходом такого же числа молекул из групп, не движущихся в направлении отверстия. Поэтому при расчете числа молекул, покидающих сосуд, столкновения молекул между собой можно не учитывать и считать, что все молекулы движутся прямолинейно.

Выделим из N молекул, находящихся в сосуде, dNv молекул, скорости которых заключены в интервале от v до v + dv . В силу хаотичности движения разумно подсчитывать число молекул, летящих в каком-то направлении, через телесный угол dΩ , в пределах которого заключены направления движения молекул. В сферической

174

системе координат (рис. 4.1) бесконечно малый телесный угол dΩ можно определить следующим образом:

175

Чтобы получить полное число молекул, вылетевших через отверстие за время dt , нужно проинтегрировать последнее выражение по углу ϕ от нуля до 2π , по углу θ от нуля до π/ 2 и по всем возможным скоростям движения молекул в сосуде:

Интегралы по углам равны π, а интеграл по скоростям будет равен произведению полного числа молекул в сосуде N на их среднюю скорость v (именно так и вводится понятие средней скорости). Та-

ким образом, полное число молекул, вылетевших через отверстие за время dt , составит

dN′= Sdt4V N v = 14 Sn v dt ,

где n – концентрация молекул в сосуде в данный момент времени. Поделив последнее выражение на объем сосуда V , находим, что уменьшение концентрации молекул газа в сосуде за время dt

(знак минус появился потому, что dn < 0 ). Интегрирование выражения (1) дает

где n0 – начальное значение концентрации молекул газа в сосуде.

4.2.2. Давление фотонного газа. Внутри нагретого до высокой температуры ящика объемом V с зеркальными стенками имеется огромное число фотонов, обладающих полной энергией U . Найти давление фотонного газа.

Вкачестве такого ящика можно взять очень горячую звезду.

Вней, правда, много атомов, но если ее температура очень высока,

176

то атомами можно пренебречь и считать, что все пространство внутри звезды целиком заполнено фотонами.

Выделим на одной из стенок ящика небольшой элемент площадью ∆S и рассмотрим направление X , перпендикулярное этой площадке. Каждый фотон, обладая импульсом p , при отражении

от стенки сообщает ей импульс 2 px . Подсчитаем теперь число столкновений фотонов с элементом ∆S . Понятно, что за время dt ударятся о стенку только те фотоны, которые расположены от нее на расстоянии, не большем vx dt , где v – скорость фотонов (она для

всех одинакова и равна скорости света). Если полное число фотонов в ящике N , то за время dt число соударений с элементом ∆S будет равно (N /V )vx dt∆S . Если это число помножить на импульс, сооб-

щаемый стенке одним фотоном, то в силу второго закона Ньютона мы получим импульс силы давления на элемент ∆S :

Fdt = 2 VN vx px ∆Sdt .

Так как отношение силы к площади – это и есть давление, то давление фотонного газа

Исправим теперь кое-какие неточности. Прежде всего, не все фотоны движутся в одном направлении, так что мы имеем дело с разными vx . Поэтому усредним (1) по всем фотонам:

P = VN vx px .

Двойка исчезла, так как лишь половина фотонов движется на стенку. Кроме того, фотоны движутся в ящике в произвольных направлениях, и направление X для них ничем не отличается от любого другого ( Y или Z ). В силу полной неразличимости направлений можно записать

vx px = vy py = vz pz .

177

Откуда сразу следует

Так как правая часть последнего равенства представляет собой просто скалярное произведение vG pG , то

Тогда выражение для давления фотонного газа (1) можно представить в виде

P = VN 13 vG pG .

Чему равно произведение v p ? Импульс и скорость направлены одинаково, а скорость равна скорости света. Поэтому vG pG – это импульс фотона, умноженный на скорость света. А произведение импульса фотона на скорость света – это энергия фотона E = pc . Произведение средней энергии фотона на их полное число дает полную энергию всех фотонов в ящике U . Окончательно для давления фотонного газа получаем выражение

P = 3UV ,

т.е. для фотонного газа произведение давления на объем равно 1/3 от полной энергии:

PV = 13U .

4.2.3. Сосуд с перегородками. Сосуд разделен перегородками на N изолированных отсеков (рис. 4.3). Смесь одинаковых количеств водорода и гелия находится в первом отсеке, остальные отсеки пусты. На короткое время открывают отверстие между первым и вторым отсеками, затем его закрывают и через некоторое время открывают от-

178

верстие между вторым и третьим отсеками и т.д. Найти отношение концентраций водорода и гелия в последнем отсеке.

Конечно, если бы отверстия открывались на достаточно продолжительное

время, то отношение концентраций газов в последнем отсеке было бы точно такое же, как и в первом. Если же отверстия открывать на небольшое время, то тем самым мы даем шанс более быстрым молекулам из первого отсека чаще пролетать через отверстие во второй отсек. Это, естественно, приведет к повышению концентрации более быстрых молекул в соседнем отсеке. Осталось только выяснить, молекулы какого газа (гелия или водорода) двигаются более быстро. Это достаточно трудная задача, хотя окончательный результат запоминается очень легко.

Итак, рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, обладающие разными массами и скоростями. Для простоты будем наблюдать за столкновением из системы их центра масс. Как было показано в разделе «Законы сохранения в динамике», из законов сохранения импульса и энергии следует, что после столкновения в Ц-системе разные молекулы будут двигаться с прежними по модулю скоростями, изменив только направление движения.

В силу полной хаотичности движения молекул в газе центр масс любой пары молекул будет двигаться в произвольно выбранном направлении с той же вероятностью, что и в любом другом. Рассмотрим теперь скалярное произведение относительной скорости движения разных молекул vG12 на скорость их центра масс vс . Так как газы

в сосуде находятся в равновесии, то все направления относительной скорости vG12 равновероятны относительно направления скорости

центра масс vGс . Это означает, что никакой корреляции между направлением vс и vG12 не существует. Если бы даже такая корреляция

существовала вначале, то столкновения ее разрушили бы и она, в конце концов, исчезла бы полностью. Поэтому среднее значение косинуса угла между векторами vс и v12 равно нулю. Это значит,

179

Чему же равно среднее значение проекции скорости одной мо-

лекулы на направление движения другой? Ясно, что вероятности движения молекул как в одну сторону, так и в противоположную, одинаковы, т.е. среднее значение скорости v2 в любом направлении равно

нулю. Поэтому и в направлении v1 среднее значение скорости vG2 также равно нулю. Тогда из (1) следует, что среднее значение m1v12 должно быть равно среднему значению m2 v22 . Таким образом, мы до-

казали, что средние значения кинетической энергии разных по массе молекул (атомов) смеси газов, находящейся в равновесии, одинаковы!

12 m1v12 = 12 m2 v22 .

Это чрезвычайно важный результат. Отсюда в частности следует, что более тяжелые атомы (молекулы) движутся в среднем медленнее более легких, причем отношение скоростей обратно квадратному корню из отношения масс

180