книги / Метрология, стандартизация, сертификация
..pdf- *1 - X ;
у2 =х2- Х ;
( 1.12)
^// |
^ . |
В соответствии с аксиомой случайности
п
1=1
Выше отмечалось, что отклонения в измерениях или погрешности являются случайными, т.е. значение (размер) их для каждого отдельного измерения нельзя предвидеть. Поэтому представляется естественным при менять к ним те общие законы для случайных явлений (или величин), ко торые рассматриваются в теории вероятностей и математической стати стике.
Закон нормального распределения случайных погрешностей выра жается следующим уравнением:
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
Д 8) = — \==е 2ст» |
(1.13) |
|
|
|
|
|
|
|
а лл/2т1 |
|
где/ ( 5 ) - плотность распределе |
|
||||||
ния вероятностей; с„ - среднее |
|
||||||
квадратическое отклонение |
ре |
|
|||||
зультата наблюдения |
при |
боль |
|
||||
шом |
числе измерений |
(л - » о о ); |
|
||||
е - основание натуральных лога |
|
||||||
рифмов, е = 2,7183. |
|
|
|
|
|
||
|
На рис. |
1.6 закон распреде |
|
||||
ления случайных |
погрешностей, |
|
|||||
выражаемый |
уравнением |
(1.13), |
|
||||
представлен в виде симметричной |
|
||||||
кривой, которую называют |
кри |
|
|||||
вой |
нормального |
(гауссовского) |
|
||||
распределения |
случайных |
по Рис. 1.6. Кривая нормального распределения |
|||||
грешностей. |
|
|
|
|
случайных погрешностей |
|
31
Наблюдения, проведенные при большом числе повторных измерений в одних и тех же условиях, показывают, что для результатов этих наблю дений частота появления тех или иных значений случайных погрешностей подчиняется устойчивым закономерностям. Если через /и,- обозначить час тот}' появлений значения погрешности 6, при общем их числе /7, то отно шение ш,-/п есть относительная частота появлений значения 5/. При неогра ниченно большом числе наблюдений (п -> оо) это отношение равнозначно понятию вероятности, т.е. может рассматриваться как статистическая ве роятность {р1= п71/п) появления погрешности 8, при повторении измерений в неизменных условиях. Общность понятий частоты и вероятности под робно рассматривается в курсах теории вероятностей.
Вероятность того, что погрешности не превосходят численно неко торого значения | 5 |, т.е. лежат в пределах от - 5 до +8, может быть найде на (учитывая симметричность кривой нормального распределения) путем интегрирования уравнения (1.13):
|
б |
|
|
Производя замену переменной 5/а„ = /, получаем |
|
||
/> = 2 -4 = \е |
г Л =Ф(1). |
|
|
•^2я о |
|
|
|
Для функции |
|
|
|
1 |
1 |
-- |
(1.14) |
ф (0 = -7г=|е |
2 л , |
||
л/2я о |
|
|
которую принято называть нормальной функцией распределения, состав лены таблицы для различных значений /.
Возвращаясь к рис. 1.6, найдем точки перегиба кривой и соответст вующие им значения -8* и +5*. Для этого приравняем вторую производную уравнения (1.13) нулю и найдем, что перегиб кривой происходит в двух точках, симметрично расположенных но обе стороны от оси ординат/(8), при значениях ±8* = ±о„. Полученные точки перегиба разделяют область часто встречающихся случайных погрешностей от области погрешностей, редко встречающихся. Для неограниченно большого ряда измерений
32
68,3 % всех случайных погреш |
|
||||||
ностей ряда лежит ниже данного |
|
||||||
значения стл и 31,7 % - выше его. |
|
||||||
|
Параметр |
а я |
однозначно |
|
|||
характеризует |
форму |
кривой |
|
||||
распределения |
случайных |
по |
|
||||
грешностей. Ордината / (6) кри |
|
||||||
вой |
распределения, |
соответст |
|
||||
вующая 6 = 0, обратно пропор |
|
||||||
циональна а л; при |
увеличении |
|
|||||
а л |
ордината /(0 ) уменьшается |
|
|||||
(рис. 1.7). Так как площадь под |
|
||||||
кривой |
распределения |
всегда |
|
||||
равна единице, то при увеличе |
|
||||||
нии а„ кривая распределения 3 |
|
||||||
становится более плоской, |
чем |
Рис. 1.7. Кривые нормального распределения |
|||||
кривая 2, растягиваясь вдоль оси |
|||||||
абсцисс. С другой стороны, при |
случайных погрешностей, соответствующие |
||||||
уменьшении стл |
кривая |
распре |
трем различным значениям сгл |
||||
деления |
1 вытягивается |
вверх, |
|
одновременно сжимаясь вдоль оси абсцисс (см. рис. 1.7). Таким образом, малому значению сгл соответствует преобладание малых случайных по грешностей, а вместе с тем и большая точность измерения данной величи ны; при большом же а п большие случайные погрешности встречаются значительно чаще, следовательно, точность измерения меньше.
Конечная цель анализа выполненных измерений состоит в определе нии погрешности результата наблюдения ряда значений измеряемой вели чины х\, *2, •••» хп и погрешности их среднего арифметического значения, принимаемого как окончательный результат измерения, относительной частоты погрешностей и вероятности.
Оценка точности результата наблюдения. Для оценки точности ре зультата наблюдения служит среднее квадратическое отклонение резуль тата наблюдения стл (квадрат этой величины, т.е. а п,г называется рассеяни ем или дисперсией результата наблюдения и обозначается обычно симво лом П). В реальных условиях мы имеем дело с конечными рядами наблю даемых значений измеряемой величины, так что, определяя с при ограни ченном числе наблюдений, можем найти только приближенное значение или оценку этого отклонения, определяемого по формуле
33
(1.15)
где /? - число наблюдений; х/ - значение величины, полученное при /-м на блюдении; X - среднее арифметическое значение (результат измерений).
Выражение (1.15) при ограниченном числе наблюдений дает несме щенную оценку среднего квадратического отклонения результата наблю дений.
Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть ука заны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность. При известном а доверительные границы указываются сле дующим образом: нижняя граница -о или X - о, верхняя граница +а или
X + а (сокращенно ±а или X ± а), за пределы которых с вероятностью
Р= 0,683 (или 68,3 %) не выйдут значения случайных отклонений х,- - X или результатов отдельных наблюдений х,-ряда измерений. Доверительный интервал выражается в виде
1Р = ( Х - о \ Х +о).
В зависимости от целей измерения могут задаваться и другие дове рительные границы: или X -1ра и +//>а или X + /^а. Значения 1рдля наиболее употребительных доверительных вероятностей при л-»оо сле дующие:
Р |
0,683 |
0,90 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,9973 |
|
1 |
1,645 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
3,000 |
В инженерной практике предпочтение отдается вероятности 0,95 и
0,997.
Оценка точности результата измерения. Для оценки достоверности результата измерения, принимаемого равным среднему значению X , при меняют показатель точности, аналогичный показателю точности результа та наблюдения. При этом согласно теории погрешностей оценка среднего квадратического отклонения результата измерения су в 4п раз меньше
оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдения (1.15). Таким образом, при числе измерений п оценка среднего квадратиче ского отклонения результата измерения
(1.16)
34
Доверительные границы погрешности результата измерения ука зываются следующим образом: нижняя граница - с у или Х - о у » веРх“
няя граница +а% или ^ +ах >за пРелелы которых с вероятностью 0,683 не выйдут погрешности результата измерения или среднее арифметическое значение X . Доверительный интервал представляют в виде
/ я = (* -< * ? ; X +а ?).
В зависимости от назначения измерений может быть задана и другая доверительная вероятность. В этом случае доверительные границы запи
сываются как - ( р ^ х или Х - 1 р в х и +*рсх или % + {р ° х »а доверитель ный интервал
1р —(X 1р&х | X +
Оценка точности результата измерения при малом числе наблюде ний. На практике, как правило, число измерений конечно и в большинстве случаев не превышает 15-20 отдельных наблюдений, а при ответственных измерениях - нескольких десятков. При малом числе наблюдений (п<20) и условии, что распределение погрешностей отдельных измерений нор мальное, пользуются для определения //> таблицей, основанной на распре делении Стьюдента.
Измерения при малом числе наблюдений чаще дают преуменьшен ное значение средней квадратической погрешности по сравнению с по грешностью для достаточно большего ряда тех же измерений. Распределе ние Стьюдента, упрощенно говоря, учитывает это обстоятельство, и при одинаковой доверительной вероятности значение г = у/а больше в распре делении Стьюдента, чем в нормальном. Иными словами, вероятность по явления, например, одинаково больших погрешностей в распределении Стьюдента, т.е. при малом числе измерений, больше.
В табл. 1.1 приведены вычисленные по распределению Стьюдента вероятности (1 - Р ) появления погрешностей, превышающих а ^ ,2 а ^ и Зох в зависимости от числа измерений п.
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.1 |
|
Число |
|
|
3°Т |
Число |
° х |
2ау |
За? |
измерений п |
|
2 0 А ' |
измерений п |
||||
2 |
0,500 |
0,295 |
0,205 |
12 |
0,339 |
0,071 |
0,012 |
3 |
0,423 |
0,184 |
0,095 |
15 |
0,334 |
0,064 |
0,010 |
5 |
0,374 |
0,116 |
0,030 |
18 |
0,331 |
0,062 |
0,008 |
7 |
0,356 |
0,002 |
0,024 |
20 |
0,330 |
0,050 |
0,007 |
10 |
0,343 |
0,077 |
0,015 |
00 |
0,317 |
0,016 |
0,003 |
35
Если задана вероятность, то, пользуясь выражением для Р, можно найти положительное число 1р>которое будет зависеть только от Р и п.
Полагая
г = 1Р<5у, |
(1.17) |
получаем |
|
Р ( Х - е < Х < Х + &) = Р; |
(1.18) |
при этом 6 будет зависеть от и, Р и значений *], х2>л * з , х„, которые вхо дят в е через с^у. Выражение (1.18) позволяет достаточно точно произве сти оценку приближенного равенства X %X
При практическом применении распределения Стыодента погреш ность е среднего арифметического значения (результата измерения) при малом числе наблюдений (л<20) и заданной доверительной вероятности Р определяется из значений а или Су, вычисленных по формулам (1.15) или (1.16), с помощью выражения
8 = Г/> ~^= = 1рС>х |
(1.19) |
Значения //> для наиболее употребительных доверительных вероят ностей Р и различных п - 1 приводятся в справочных таблицах.
При п оо (п > 200) распределение Стьюдента сходится с нормаль
ным.
Для оценки среднего арифметического значения X , принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные гра ницы и доверительный интервал при выбранной доверительной вероятно сти. Доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница X - е, верхняя граница X + г или сокращенно X ± е. Доверитель ный интервал выражается в виде
/р = ( Х - е ; Х + е),
где е определяется формулой (1.19) и выражается в единицах измеряемой величины.
Если е выражается в долях среднего арифметического значения из меряемой величины, то доверительные границы указываются следующим образом:
36
Оценка точности косвенных измерений. В косвенных измерениях определение значения искомой величины у производится на основании прямых измерений других величин, связанных с у функциональной зави симостью
( 1.20)
где Ху{у = 1-гт )- средние арифметические значения прямых измерений с
одинаковым числом отдельных наблюдений Х и, Х 21 Х т} (/ = 1 + п) . При определении искомой величины у полагаем, что результаты из
мерения величин Х х>свободны от систематических погрешностей. Погрешность результата косвенного измерения величины у зависит
от погрешности результатов прямых измерений независимых друг от друга величин Х у.
Для оценки точности результата косвенного измерения величины у применяют среднее квадратическое отклонение, вычисляемое по формуле
где 0|, а г,..., аш - средние квадратические отклонения результатов измере ния величин Х] , Х 2 Х т .
В зависимости от требований к измерениям может быть задана раз личная доверительная вероятность. Обозначая для выбранной доверитель ной вероятности Р через еу погрешности величин Х у, связанные с сту/ или ау равенством
Су/
Ву =-1р — 7= ^ — 1рСу,
а/и
и подставляя еу в формулу (1.21), получаем
Погрешности оу и еу в формулах (1.21) и (1.22) выражаются в тех же единицах, что и искомая величина у. Если непосредственно измеряемые величины являются по своей природе разнородными, то пользуются отно сительными погрешностями этих величин.
37
При использовании оценок средних квадратических отклонений оу/ значение погрешности результата косвенного измерения также будет при ближенно.
Приведенные выше формулы для определения погрешности резуль тата косвенного измерения у могут быть использованы и в том случае, если Vнаходится по отдельным значениям прямых измерений, т.е.
У = / ( * ь -V:,..., х т) .
В этом случае должно быть известно значение среднего квадра тического отклонения.
1.4. Средства измерений
Общим термином средства измерений называют технические средст ва, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологи ческие характеристики, т.е. характеристики, влияющие на результаты и на точность измерений.
1.4.1.Классификация средств измерений
Вметрологии средства измерений принято классифицировать по ви ду, принципу действия и метрологическому назначению.
Различают следующие виды средств измерений: меры, измеритель ные устройства; измерительные установки и измерительные системы (рис. 1.8).
Мера — средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера.
Самым многочисленным видом средств измерений являются изме рительные устройства, применяемые самостоятельно или в составе изме рительных установок и измерительных систем.
Взависимости от формы представления сигнала измерительной ин формации измерительные устройства подразделяют на измерительные приборы и измерительные преобразователи.
Измерительный прибор - средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем. Измерительная информация обычно представляется в виде перемещения указателя по шкале, переме щения пера по диаграмме или в виде цифр, появляющихся на табло.
Измерительные приборы могут быть классифицированы по ряду признаков. Наиболее важные с позиций метрологии признаки отражены на рис. 1.8.
38
Средства измерений
I
и>
чО
§ |
А |
|
К |
|
| |
В |
й |
я |
|
|
X |
|||
§ |
з |
а |
о |
|
е |
||||
О |
О. О |
Я |
||
о. |
||||
ё |
8 |
« |
||
1 |
5 |
2 |
и |
с ' 5
Самопишущий Печатающий
Функциональный
Рис. 1.8. Классификация средств измерений
Измерительный преобразователь - средство измерений, предназна ченное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удоб ной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хране ния, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем.
Измерительная информация представляется преобразователями обычно в виде сигналов постоянного или переменного тока или напряже ния, давления сжатого воздуха или жидкости, частоты гармонических ко лебаний, последовательности прямоугольных импульсов и т.п.
Как видно из рис. 1.8, измерительные преобразователи могут быть классифицированы в зависимости от используемого метода измерения и способа представления величины совершенно аналогично измерительным приборам. Кроме того, принято различать измерительные преобразователи по расположению в измерительной системе и виду функции преобразова ния, представляющей собой зависимость сигнала измерительного преобра зователя от измеряемой физической величины. Помимо приведенной клас сификации измерительных приборов и преобразователей используют и другие.
По роду измеряемой величины измерительные устройства подразде ляют на амперметры - для измерения тока, термометры - для измерения температуры, манометры - для измерения давления, концентраторы - для измерения концентрации веществ и т.п.
По степени защиты измерительные устройства бывают в нормаль ном (обыкновенном), пыле-, водо-, взрывозашищенном, герметичном или ином исполнении.
Измерительные приборы подразделяют по характеру применения на стационарные (щитовые), корпус которых приспособлен для жесткого крепления на месте установки, и переносные, корпус которых не предна значен для жесткого крепления.
Измерительная установка - совокупность функционально объединенных средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, предназначенных для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем, и расположенных в одном месте. Измерительные установки обычно используются в научных исследованиях, осуществляемых в различных лабораториях, при контроле качества и в метрологических службах для определения метрологических свойств средств измерений.
Измерительная система - совокупность средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомога тельных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназна ченная для выработки сигнала измерительной информации в форме, удоб ной для автоматической обработки, передачи и (или) использования в ав
40