книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdfТаким образом, в резистивном элементе с сопротивлением R электромагнитная энергия преобразуется в тепловую при мощности преобразования Pср = I 2 R. Резистивные элементы вводят в схему так-
же и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии.
3.2.2. Гармонический ток в индуктивности
Индуктивность – идеализированный |
iL |
L |
|
двухполюсный пассивный элемент цепи, который |
|||
учитывает энергию магнитного поля W = |
LiL2 |
|
uL |
. |
|
||
магн |
2 |
|
eL |
|
|
||
При увеличении (уменьшении) тока энергия маг- |
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
Рис. 3.5 |
нитного поля увеличивается (уменьшается). Следовательно, индуктивные элементы можно рассматривать как аккумуляторы (накопители магнитной энергии).
Если цепь обладает только индуктивностью и по ней протекает синусоидальный ток, то потокосцепление цепи ψ = LiL .
Изменение потокосцепления вызывает появление ЭДС самоиндукции eL. По закону Ленца eL препятствует изменению тока. Поэтому при традиционном выборе одинаковых положительных направ-
лений для тока iL и ЭДС eL, как показано на рис. 3.5, знаки eL и |
diL |
|
||||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
противоположны и eL |
= − |
dψ |
= −L |
diL |
. Чтобы через индуктивность |
|||
dt |
|
|||||||
|
|
|
dt |
проходил переменный ток, к ее выводам надо приложить напряжение uL, равное по величине и противоположное по направлению ЭДС eL:
u |
L = − |
e |
|
= |
L |
diL |
= |
|
(3.15) |
L |
|
L |
|||||||
|
|
|
|
|
L i′ , |
dt
где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью. Единица измерения индуктивности – генри (Гн).
91
Поскольку электрическому току всегда сопутствует магнитное поле, любой обтекаемый током участок цепи, представляющий электротехническое устройство, должен характеризоваться индуктивно-
стью. |
Если iL = Im sin(ω |
t + ψ i ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
Li′ |
|
L |
|
I |
|
t |
|
|
|
L |
|
I |
|
sin |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
= |
ω |
|
+ ψ |
|
= |
ω |
|
ω |
+ ψ i + 2 |
= |
(3.16) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
m |
|
ω |
|
i |
|
|
|
m |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um |
|
|
|
|
|
ψ u |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= U m sin (ω |
|
|
|
u ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
t + ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Закон |
Ома |
|
|
для |
|
цепи |
|
с |
|
|
индуктивным |
|
элементом |
|||||||||||||||||||
|
U m |
= |
U |
= ω L = X L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Im |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω L = X L |
– реактивное индуктивное сопротивление, имеющее |
|||||||||||||||||||||||||||||||
размерность сопротивления. Полное сопротивление Z также равно XL. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Начальная |
|
|
фаза |
напряжения |
|
ψ u |
= ψ |
i + |
π |
, |
|
сдвиг |
фаз |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ϕ = ψ |
u − ψ |
i = |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на индуктивности связаны законом Ома.
2. Напряжение uL |
опережает по фазе ток iL на |
π |
. |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Мгновенная мощность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(t) = uL (t)iL (t) = Um Im sin |
ω |
t + |
|
sin ω |
t = |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.17) |
|||
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
Um Im cos ω t + |
|
|
− ω t |
− cos |
ω |
t + |
|
+ ω |
t |
= |
|
||||
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
1 |
|
|
= − |
|
Um Im cos 2ω t |
+ |
|
|
= |
|
Um Im sin 2ω t = UI sin 2ω t = |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ω |
LI 2 sin 2ω |
t = X L I 2 sin 2ω |
t. |
Из выражения (3.17) следует, что средняя мощность за период, а следовательно, и активная мощность равны нулю. Индуктивность – реактивный элемент.
Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 3.6). Если p(t) > 0, индуктивность заряжается энергией в виде энергии магнитного поля; если p(t) < 0, индуктивность возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период Pср = 0 (мгновенная мощность колеблется относительно нуля).
p, u, i |
p(t) |
|
iL(t)
t
uL(t)
Рис. 3.6
Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на индуктивном элементе представлены на рис. 3.6.
Реактивная индуктивная проводимость – величина, обратная реактивному индуктивному сопротивлению
BL = |
Im |
= |
I |
= |
1 |
= |
1 |
. |
(3.18) |
U m |
U |
ω L |
X L |
93
iC C
uC
Рис.. 3.7
3.2.3. Гармонический ток в емкости
Емкостный элемент цепи с емкостью С – идеализированный двухполюсный пассивный элемент, учитывающий запасание энергии электрического поля
Wэл = CuC2 .
2
Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах (обкладках конденсатора), и при указанном положительном направлении тока (рис. 3.7) знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда q.
i = dq = C duC dt dt
Единица измерения емкости – Пусть uC (t ) = U m sin(ω t + ψ u ),
= Cu′ .
C
фарада (Ф).
тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
C = |
|
mω |
ω |
+ ψ |
u |
) |
= |
|
m |
|
ω |
|
|
+ ψ |
CU |
U |
C |
ω |
t |
|||||||||||
i |
Cu′ |
|
cos ( t |
|
|
|
|
|
sin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда Im = U mω C .
Реактивное емкостное сопротивление
(3.19)
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
+ |
|
. (3.20) |
|
u |
2 |
|
||
|
|
|
||
ψ |
|
|
|
|
i |
|
|
|
X C |
= |
U m |
= |
U |
= |
U m |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
||
Im |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I U mω C |
|
ω C |
|
|
|
|||||||
Полное сопротивление Z также равно XC . |
|
|
|
||||||||||||
Фаза тока ψ i = ψ |
u + |
π |
|
, а сдвиг фаз ϕ |
= ψ u − ψ i |
= − |
π |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на емкости связаны законом Ома.
94
2. Напряжение uC отстает по фазе от тока iC |
на |
π |
. |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Мгновенная мощность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
p(t) = uC iC = U m Im sin ω t sin |
ω |
t + |
|
|
= UI sin 2ω t = ω CU |
|
sin 2ω t . |
||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю (рис. 3.8). Если p(t) > 0, емкость заряжается энергией электрического поля; если p(t) < 0, емкость возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период Pср = 0, активная мощность равна нулю, т.е. происходит обмен энергией без потерь и емкость – реактивный элемент.
p, u, i
uC(t) p(t)
t iC(t)
Рис. 3.8
Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на емкостном элементе представлены на рис. 3.8.
Реактивная емкостная проводимость
BC |
= |
Im |
= |
I |
= ω С = |
1 |
. |
(3.21) |
|
|
|
||||||
|
U m |
U |
X C |
|
3.2.4. Последовательное соединение R, L, C
Для мгновенных значений токов и напряжений выполняются I и II законы Кирхгофа.
95
|
|
При прохождении синусоидального тока i = Im sin (ω t + ψ |
i ) |
че- |
|||||||
a |
|
R |
L |
C |
|
рез электрическую цепь, состоя- |
|||||
|
b |
щую |
из |
последовательно |
соеди- |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
i |
|
|
|
|
ненных |
элементов |
R, |
L, |
C |
|
|
uR |
uL |
uC |
|
(рис. 3.9), |
на выводах a – b этой |
|||||
|
iL |
|
|||||||||
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
цепи |
создается синусоидальное |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
напряжение, равное |
по II закону |
||||
|
|
|
|
|
|
Кирхгофа алгебраической сумме синусоидальных напряжений на отдельных элементах:
uab (t) = uR + uL + uC ,
|
|
|
|
|
|
uR = iR, |
uC = |
1 |
|
∫idt, |
|
uL = Li′, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||||||||
uab = Im R sin (ω |
|
|
|
i )+ Im X L |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
t + ψ |
|
sin ω |
t + ψ i |
+ |
|
+ |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
= Im R sin (ω |
|
|
|
|
i )+ Im X L cos (ω t + ψ |
i )− |
||||||
+ Im X C |
sin ω |
t + ψ |
i |
|
− |
|
|
t |
+ ψ |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− Im X C cos (ω |
t + ψ |
i ) = Im |
(R sin (ω t + ψ |
i )+ |
(X L − X C )cos (ω |
t + ψ |
i )). |
||||||||||||||
|
Из тригонометрии известно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
m sin α |
+ n cos α = |
m |
2 |
+ n |
2 |
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
sin α + arctg |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
Применим формулу (3.23) к выражению (3.22): |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
uab = Im |
R |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
X L − X C |
|
= |
||||
|
|
+ (X L − X C ) sin ω t + ψ i |
+ arctg |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
t + ψ |
|
|
X L − X C |
|
|
|
u ). |
|
|
|||||||
|
= Im Z sin |
i + arctg |
R |
|
|
= U m sin(ω t + ψ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Реактивное сопротивление последовательной RLC-цепи
(3.22)
(3.23)
(3.24)
96
X = X L − X C = ω L − |
1 |
ω C |
может принимать следующие значения:
X = 0 – цепь имеет чисто активный характер (в цепи резонанс напряжений);
X > 0 – |
цепь имеет индуктивный характер, т.е. ω L > |
|
1 |
; |
|
ω |
|
||||
|
|
|
C |
||
X < 0 – |
цепь имеет емкостный характер, т.е. ω L < |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
ω C |
|
|
|
Полное сопротивление цепи |
|
|
|
|
|
Z = U m = U = R2 + X 2 = R2 + (X L − X C )2 ; |
|
|
|
|
|
|
Im I |
|
|
|
|
угол сдвига фаз
ϕ = ψ u − ψ i |
= arctg |
X |
= arctg |
X L − X C |
|
R |
|||
|
|
R |
определяется по оси ω t от кривой напряжения к кривой тока и бывает острым или прямым: ϕ < 0 при емкостном характере цепи (ток опережает напряжение), ϕ > 0 при индуктивном характере цепи (ток отстает по фазе от напряжения), ϕ = 0 при резистивном характере цепи (индуктивное и емкостное сопротивления равны) – такой режим цепи называют резонансом напряжений.
Из выражений ϕ = arctg X и Z = R2 + X 2 следует, что связь
R
активного и реактивного сопротивления с полным сопротивлением выражается следующими формулами:
R = Z cos ϕ ; X = Z sin ϕ , |
(3.25) |
Z |
|
|
|
X |
|
что удобно представлять с помощью треуголь- |
ϕ |
||
ника сопротивлений (рис. 3.10). |
|
R |
|
Умножив левые и правые части выраже- |
РисРис. 3..103.10 |
||
ний для сопротивлений (3.25) |
на действующее |
||
|
97
значение тока I, получим соответственно действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, которые назы-
вают активной и реактивной составляющими напряжения:
Uа = IR = IZ cosϕ = U cos ϕ , Uр = IX = IZ sin ϕ = U sin ϕ . (3.26)
Тогда действующее значение суммарного напряжения можно определить как U = Ua2 +U p2 . Для напряжений также можно построить прямоугольный треугольник напряжений.
3.2.5. Параллельное соединение R, L, C
a |
i |
|
|
u(t) |
iR |
iL |
iС |
R |
L |
C |
|
|
|
|
|
b |
Рис. 3.11 |
|
|
|
|
||
|
|
. |
|
Если к выводам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных R, L, C (рис. 3.11), приложено синусоидальное напряжение u(t) = U m sin(ω t + ψ u ), то по
I закону Кирхгофа синусоидальный ток в неразветвленной части равен алгебраической сумме синусоидальных токов в параллельных ветвях i(t) = iR + iL + iC ,
где iR |
(t) = |
1 |
Um sin (ω |
t + ψ |
u ) совпадает по фазе с напряжением u(t); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∫uL dt = |
1 |
∫[U m sin(ω |
|
|
|
u )]dt = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||
|
|
|
|
iL (t) = |
|
|
|
t + ψ |
|
U m sin ω |
|
t + ψ |
|
− |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
L |
L |
ω L |
|
u |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
|
1 |
U m cos (ω |
t + ψ |
u ) отстает по фазе от напряжения u(t) на |
π |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ω |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
C |
= |
|
C = |
C [U |
m |
ω |
t |
+ ψ |
u |
)]′ |
= |
C |
ω |
U |
m |
|
ω |
+ ψ u |
) |
опережа |
- |
|
||||||||
|
|
|
|
i (t) |
|
Cu′ |
|
sin ( |
|
|
|
|
|
cos ( t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ет по фазе напряжение u(t) на π . 2
Просуммируем:
98
i(t) = |
1 |
U m sin(ω t + ψ u )− |
1 |
|
U m cos (ω t + ψ |
u )+ |
|
||||||||
|
|
ω L |
|
||||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ ω CU m cos (ω |
t + ψ |
u ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.27) |
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
sin (ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ) = |
|
= U m |
t + ψ |
|
|
|
− ω |
|
|
||||||||
u )− |
ω |
L |
C cos (ω t + ψ |
|
|||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= U m [G sin (ω |
t + ψ |
u )− B cos (ω |
|
t + ψ u )]. |
|
|
|
Выражение (3.27) является тригонометрической формой записи I закона Кирхгофа для мгновенных значений.
Активная проводимость цепи G = 1 всегда положительна.
R
Реактивная проводимость цепи B = BL − BC , в зависимости от
знака которой цепь может иметь индуктивный (В > 0) или емкостный (B < 0) характер. Если В = 0, цепь носит активный характер (резонанс токов).
Для нахождения Im и ϕ воспользуемся приемом, приведенным в предыдущем разделе:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u − ϕ ), |
|
||
i(t) = U m |
G2 + B2 sin |
ω t + ψ u + γ |
= U mY sin (ω |
t + ψ |
(3.28) |
|||||||
|
|
|
|
|
ψ i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ток отстает от напряжения на угол ϕ . |
|
|
|
|
||||||||
Здесь |
|
ψ u – начальная фаза напряжения; |
|
|
|
|||||||
ψ |
u + γ |
– |
начальная фаза тока; |
|
|
|
|
|||||
ψ |
u |
− ψ |
i |
= −γ = ϕ – |
сдвиг фаз; |
|
|
|
|
|
|
|
Im |
– амплитудное значение тока, |
Im = U m |
G2 + B2 = U mY ; |
|||||||||
Y – полная проводимость цепи, |
Y = G2 + B2 |
(величина, об- |
||||||||||
ратная полному сопротивлению, Y = |
1 |
); |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
99
|
|
1 |
− ω C |
|||||||||||
ϕ |
– угол сдвига фаз, ϕ = arctg |
B |
= arctg |
ω L |
||||||||||
|
|
|
|
|
, он определя- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
G |
G |
||||||||||
ется по оси ω |
t в направлении от напряжения к току, |
|
ϕ |
|
≤ |
π |
. |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||
ϕ |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при индуктивном характере цепи, т.е. при B > 0; при |
этом напряжение опережает ток по фазе.
ϕ < 0 при емкостном характере цепи, т.е. при B < 0; при этом
ток опережает по фазе напряжение.
ϕ = 0 при резистивном характере цепи, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей B = BL − BC = 0 ; при этом ток
совпадает по фазе с напряжением. Такой режим работы электрической цепи называют резонансом токов.
Активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами
G = Y cos ϕ ; B = Y sin ϕ . |
(3.29) |
Для проводимостей также можно построить треугольник про-
водимостей.
Активная и реактивная составляющие тока определяются следующим образом:
UG = UY cos ϕ = I cos ϕ = Ia ; UB = UY sin ϕ = I sin ϕ = Ip . |
(3.30) |
Активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой
I = Ia2 + Ip2 .
Для токов также можно построить треугольник токов. Следует отметить, что описывать электрические цепи сину-
соидального тока, оперируя понятиями мгновенного значения тока и напряжения, достаточно трудоемко и этот метод применим только для простейших электрических цепей, не содержащих большого числа
100