книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdf4-й ответ ошибочный, так как уравнение не является линейным.
Верный ответ № 3.
Вопрос 3.1.4
Если в общем уравнении прямой Ax + By + C = 0 коэффициент
C = 0 , то прямая проходит через … … .
Решение
Если прямая на плоскости имеет уравнение Ax + By = 0 , то пара x = 0 , y = 0 является решением этого уравнения. Это означает, что прямая проходит через точку с координатами (0;0) , т.е. проходит через начало координат.
Вопрос 3.1.5
Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ) в данном направлении, имеет вид…
1) ( y − y0 )k = x − x0 ,
2)y − y0 = 1k ( x − x0 ),
3)y − y0 = k (x − x0 ),
4)( y − y0 ) + k (x − x0 ) = 1.
Решение
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y = kx + b.
Прямая проходит через точку M0 (x0 ; y0 ) , следовательно, коор-
динаты точки M0 удовлетворяют |
уравнению |
y0 = kx0 + b , т.е. |
b = y0 − kx0 . |
= k (x − x0 ) |
|
Тогда y = kx + y0 − kx0 или y − y0 |
– уравнение пря- |
мой, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ) в данном направлении.
Верный ответ № 3.
51
Вопрос 3.1.6
Выберите верные утверждения (высказывания).
1)Прямую на плоскости можно провести через две точки.
2)Уравнение y = kx определяет прямую, проходящую через
начало координат.
3)Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение x = a .
4)Прямую на плоскости можно задать, зная два вектора, параллельные этой прямой.
Решение
Через любые две точки на плоскости можно провести прямую
ипритом единственную, поэтому первое высказывание верно.
Из уравнения y = kx видно, что пара x = 0 , y = 0 является ре-
шением этого уравнения, т.е. прямая проходит через начало коорди-
нат. Следовательно, второе высказывание верно.
Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение y = a .
Уравнение x = a задает прямую, параллельную оси ординат. Третье высказывание неверно.
Для того чтобы однозначно задать прямую на плоскости, достаточно знать точку, принадлежащую данной прямой, и направляющий вектор, т.е. вектор, параллельный данной прямой. Два вектора параллельные данной прямой однозначно прямую не определяют.
Четвертое утверждение неверно.
Вопрос 3.1.7 |
|
|
|
|
Если |
прямые |
заданы уравнениями |
y = k1x + b1 |
и y = k2 x + b2 |
и k1 = k2 , |
а b1 ≠ b2 , |
то эти прямые ... . |
|
|
Решение |
|
|
|
|
Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловым коэффици- |
||||
ентом y = k1x + b1, |
y = k2 x + b2 , и k1 = k2 , |
то прямые l1 |
и l2 наклоне- |
ны к оси Ox под одним и тем же углом. Таким образом, они либо параллельны, либо совпадают.
Если b1 = b2 , то прямые l1 и l2 совпадают.
52
|
Если b1 ≠ b2 , то прямые параллельны. |
|
|||||||||
|
По условию |
k1 |
= k2 , а |
b1 ≠ b2 , |
таким образом, |
прямые парал- |
|||||
лельны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 3.1.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
две |
|
прямые |
заданы |
общими |
уравнениями |
||||
A x + B y + C = 0 |
, A x + B y + C = 0 |
и |
A1 |
≠ |
B1 |
, то прямые ... . |
|||||
|
|
||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
A2 |
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Задачу поиска точки пересечения двух прямых можно свести
к решению системы уравнений A1x + B1 y + C1 = 0 .
A2 x + B2 y + C2 = 0
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда определитель системы отличен от нуля, т.е.
|
A1 |
B1 |
|
≠ 0 , откуда A B ≠ A B или |
A |
|
|
|
B |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
≠ |
1 |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A2 |
B2 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
A2 |
|
B2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ: пересекаются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вопрос 3.1.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = k1x + b1 и y = k2 x + b2 , |
||||||||
|
Для прямых, заданных уравнениями |
|
|||||||||||||||||
справедливы утверждения… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты |
||||||||||||||||||
равны k1 = k2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
Если угловые |
коэффициенты |
|
|
прямых связаны условием |
||||||||||||||
k1 k2 |
=1, то эти прямые перпендикулярны; |
|
|
||||||||||||||||
3) |
Прямые перпендикулярны, если k2 |
|
= − |
1 |
; |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
4) |
Если прямые параллельны, то |
|
k1 |
= |
b1 |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом y = k1x + b1 , y = k2 x + b2 , то они:
53
–не пересекаются (параллельны), если k1 = k2 , b1 ≠ b2 ;
–имеют единственную общую точку, если k1 ≠ k2 ;
–совпадают, если k1 = k2 , b1 = b2 ;
–перпендикулярны, если k1 k2 = −1.
Поэтому утверждения 1, 3 верны, а 2 и 4 ошибочны.
Вопрос 3.1.10
Вектор n = { A; B;C} называется ... вектором плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0 .
Решение
Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. Если плоскость задана
общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , то вектор n = { A, B,C} − нормальный вектор плоскости (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Ответ: нормальным.
Вопрос 3.1.11
Выберите верные утверждения (высказывания).
1) Если плоскость проходит через начало координат, то в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 коэффициент D = 0 .
54
2) Уравнение вида ax + by + cz = 0 есть уравнение плоскости в
отрезках.
3) Уравнение y = 0 определяет координатную плоскость Oxz. 4) Плоскость, заданная уравнением Cz + D = 0 (С ≠ 0, D ≠ 0) ,
проходит через ось Ox.
Решение
Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат:
Ax + By + Cz + D = 0
определяет в пространстве плоскость.
В случае, когда какой-либо из коэффициентов A, B,C, D обращается в ноль, плоскость имеет особенности в своем расположении,
аименно:
•если отсутствует член с одной из координат, то плоскость параллельна соответствующей оси координат;
•если одновременно отсутствует свободный член и член с одной из координат, топлоскость проходит через соответствующую ось;
•если отсутствуют члены с двумя координатами, то плоскость параллельна той координатной плоскости, которая содержит соответствующие оси;
•если отсутствуют члены с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей;
•если отсутствуют все члены с координатами, а свободный член отличен от нуля, то уравнение смысла не имеет.
Первое |
утверждение верно, |
так как координаты точки |
O(0;0;0) |
– начала координат |
удовлетворяют уравнению |
Ax + By + Cz + D = 0 , если D = 0 .
Второе утверждение ошибочно, так как уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
ax + by + cz = 1.
55
Верным является третье утверждение. Так как A = 0 , C = 0 ,
D = 0 , то общее уравнение плоскости принимает вид y = 0 . Следовательно, y = 0 – уравнение плоскости, проходящей через оси Ox , Oz и начало координат, а это координатная плоскость Oxz .
Четвертое утверждение ошибочно, так как плоскость, задан-
ная уравнением Cz + D = 0 (где A = 0 и B = 0 ), проходит параллельно плоскости Oxy и не может содержать ось Ox .
Вопрос 3.1.12
Координатная плоскость Oxy задается уравнением ... .
Решение
Если в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 отсут-
ствуют члены с двумя координатами и свободный член, то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей. В данном случае координатная плоскость Oxy задается уравнением z = 0 , так как A = 0 , B = 0 , D = 0 .
Ответ: z = 0.
Вопрос 3.1.13
Прямая, заданная уравнениями
1)параллельна оси Oy ,
2)параллельна оси Oz ,
3)параллельна оси Ox ,
4)лежит в плоскости Oyz .
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, … |
m |
|
|
|||
0 |
0 |
|
Решение |
|
|
|
|
|||
Если |
прямая |
в |
пространстве задана уравнениями |
||||
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, то |
s = {m;n; p} есть направляющий вектор |
|
|
|
p |
|||||
m |
n |
|
|
|
прямой, т.е. вектор, параллельный данной прямой.
56
Рис. 3.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию s = {m;0;0} коллинеарен вектору |
|
|
= {1;0;0} , сле- |
|||||
|
i |
|||||||
довательно, прямая параллельна оси Ox (рис. 3.4). |
|
|
|
|
||||
Верный ответ № 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопрос 3.1.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая, заданная уравнениями |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, … |
||
m |
|
|
||||||
|
|
n |
0 |
|
1)параллельна оси Oy ,
2)параллельна оси Oz ,
3)параллельна плоскости Oxy ,
4)лежит в плоскости Oyz .
Решение
Данная прямая имеет направляющий вектор s = {m;n;0} .
Следовательно, направляющий вектор перпендикулярен оси Oz , а вместе с ним и сама прямая перпендикулярна оси Oz . Любая прямая, перпендикулярная оси Oz , параллельна плоскостиOxy .
Верный ответ № 3.
Вопрос 3.1.15
Две плоскости, имеющие нормальные векторы n1 и n2 , перпендикулярны, если…
57
1)n1 = λn2 , λ ≠ 0,
2)n1 n2 = 0,
3)n1 × n2 = 0,
4)n1 n2 = const.
Решение
Рис. 3.5
Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда нормальные векторы плоскостей перпендикулярны (рис. 3.5). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно ну-
лю, т.е. n1 n2 = 0 .
Верный ответ № 2.
Вопрос 3.1.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если |
прямые, |
|
заданные |
каноническими уравнениями |
||||||||||
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
и |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= |
z − z2 |
, параллельны, то … |
|||
|
|
|
||||||||||||
m |
|
n |
|
|
p |
|
m |
|
n |
|
|
p |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1)m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0,
2)m1 = n1 = p1 , m2 n2 p2
3)m1m2 + n1n2 + p1 p2 ≠ 0,
4)m1 = n1 ≠ p1 . m2 n2 p2
58
Решение
Рис. 3.6
Если прямые параллельны, то их направляющие векторы кол-
линеарны. Векторы |
s1 = {m1;n1; p1} |
|
и |
s2 = {m2 ;n2 ; p2 } являются на- |
|||||||||
правляющими векторами прямых l1 |
и l2 (рис. 3.6). |
||||||||||||
Векторы |
s1 и s2 коллинеарны тогда и только тогда, когда их |
||||||||||||
координаты пропорциональны, т.е. |
m1 |
= |
n1 |
= |
p1 |
. |
|||||||
m |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
p |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
Верный ответ № 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вопрос 3.1.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямая |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
перпендикулярна плоскости |
||||||
m |
n |
|
|||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax + By + Cz + D = 0 , если выполнены условия…
1)Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0,
2)Am + Bn + Cp ≠ 0,
3)Am + Bn + Cp = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0,
4)mA = Bn = Cp .
59
Решение
|
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
|||
Прямая |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
|
перпендикулярна плоскости |
|
m |
n |
p |
||||||
|
|
|
|
Ax + By + Cz + D = 0 тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой s = {m;n; p} коллинеарен нормальному вектору плоско-
сти |
|
= { A; B;C} |
(рис. 3.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, |
||||||||||||||
т.е. |
m |
= |
n |
= |
p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Верный ответ № 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Вопрос 3.1.18 |
x − x0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Если |
для |
прямой |
= |
|
y − y0 |
= |
z − z0 |
и плоскости |
||||||
|
m |
|
p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
Ax + By + Cz + D = 0 выполнены |
|
условия |
Am + Bn + Cp = 0 и |
||||||||||||
Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 , то… |
|
|
|
|
|
|
|
1)прямая и плоскость параллельны,
2)прямая принадлежит плоскости,
3)прямая перпендикулярна плоскости,
4)прямая и плоскость пересекаются под острым углом.
60