книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdfЗадача 2.2.12
Если вектор m перпендикулярен векторам a = {2; −3;1} и b = {1;−2;3} , и удовлетворяет условию m c = 10 , где c = {1; 2;−7} , то
проекция вектора m на ось Oy , равна...
Решение 1-й способ
Введем обозначение m = { x; y; z} .
По условию векторы m и a перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. a m = 2x − 3y + z = 0 .
Аналогично из равенства нулю скалярного произведения векторов m и b получаем уравнение x − 2 y + 3z = 0 . Условие m c = 10 в координатной форме имеет вид x + 2 y − 7z = 10 . Таким образом, координаты искомого вектора m = { x; y; z} являются решением системы линейных алгебраических уравнений:
2x − 3y + z = 0,x − 2 y + 3z = 0,
x + 2 y − 7z = 10.
По условию задачи нужно найти проекцию вектора m на ось OY , следовательно, из данной системы определяем переменную y
по формулам Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
y = |
y |
= |
|
|
1 10 −7 |
|
|
= |
−50 |
= 5. |
||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
−3 |
1 |
|
|
−10 |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
−7 |
|
|
|
|
|
41
2-й способ
Поскольку искомый вектор m перпендикулярен векторам a и b , то вектор m коллинеарен вектору d = a × b . Найдем векторное произведение векторовa и b .
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
× |
|
= |
2 −3 |
1 |
= −7 |
|
− 5 |
|
− |
|
. |
|||||||||||
|
|
a |
b |
|||||||||||||||||||||||
d |
k |
|||||||||||||||||||||||||
|
i |
j |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
−2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из коллинеарности векторов следует пропорциональность их |
||||||||||||||||||||||||||
координат, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
x |
= |
|
my |
= |
m |
z = λ. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dz |
|||||||||||||||
Отсюда mx = λdx = −7λ , |
my = λdy |
= −5λ , mz = λdz = −λ . |
По условию m c = 10 . Используя формулу скалярного произведения в координатной форме, получаем уравнение:
(−7λ ) 1+ (−5λ ) 2 + (−λ ) (−7) = 10.
Откуда λ = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким |
|
образом, проекция |
|
|
вектора |
|
на |
ось Oy равна |
|||||||||||||||||||||
m |
|||||||||||||||||||||||||||||
my = −5 (−1) = 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 2.2.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 |
|
|
|
)(2 |
|
|
|
) |
|||||||||||
Если |
|
a |
|
= 2 , |
|
|
|
= 3 и |
|
|
|
|
, то выражение |
|
+ 3 |
|
|
− |
|
||||||||||
|
|
|
b |
|
a |
b |
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||
равно... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По условию векторы a и |
|
|
|
перпендикулярны, следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
их скалярное произведение равно нулю: |
|
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя свойства скалярного произведения, имеем:
(5a + 3b) (2a − b) = 10a2 + 6b a − 5a b − 3b2 = 10a2 + a b − 3b2 = = 10 a 2 − 3 b 2 = 40 – 27 = 13.
Ответ: 13.
Задача 2.2.14
Векторное произведение a × b , где a = {4;5;1} , b = {1; 2;5} равно ...
1){23;−19;3} ,
2){23;19;3} ,
3){−23;−19;3} ,
4){−23;−19;−3}.
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|
|
Если |
|
|
= {ax , ay , az }, |
|
= {bx , by , bz } , то |
|
× |
|
|
= |
|
|
|
= |
ax |
ay |
|
az |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
bz |
|
||||||||
В данном случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
= |
i |
|
j |
|
k |
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
4 1 |
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a |
b |
4 5 1 |
= |
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
= 23 |
|
− 19 |
|
+ |
3 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
j |
i |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Верный ответ № 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задача 2.2.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проекция вектора |
|
|
= |
|
× |
|
, |
где |
|
|
|
= {4;5;1} , |
|
= {3;1;4} , |
на ось |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
a |
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
b |
Ox равна ...
43
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
× |
|
|
= |
4 5 1 |
= 19 |
|
− 13 |
|
− 11 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
a |
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Поскольку координаты вектора являются проекциями вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на соответствующие |
|
|
|
|
координатные |
оси, |
|
то |
проекция |
вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
× |
|
на ось Ox равна 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
c |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: 19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Задача 2.2.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А(1;4; − 1) , |
В(2;1;3) , |
||||||||||
|
|
|
Площадь |
|
треугольника |
|
|
АВС, |
где |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С(0;1; − 1) , равна ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВС есть половина площади паралле- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Площадь треугольника |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|||||
лограмма, построенного на векторах АВ и АС. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ |
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
___ |
|
|
___ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Sпар-ма |
= |
|
|
AB× AC |
, |
|
|
S ABC |
= |
2 |
|
|
AB× AC |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Найдем координаты векторов |
___ |
|
|
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
АВ и АС: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
___ |
= {1;−3;4}, |
___ |
= {−1;−3;0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
АС |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
___ |
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB× AC = |
1 |
−3 4 |
= 12 |
i |
− 4 |
j |
− 6 |
k |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 −3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Sпар-ма = |
|
|
___ |
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
122 + (−4)2 + (−6)2 = 196 = 14. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB× AC |
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
___ |
|
|
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S ABC = |
2 |
|
AB× AC |
|
= 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.2.17
Если a = −i + j + 2k , b = 2i + 4 j + 2k , c = 3i + 2 j + k , то значение выражения 11 b × (c + a) равно ...
Решение
Найдем вектор c + a .
Так как c = {3;2;1} , a = {−1;1;2} , то c + a = {2;3;3} .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× ( |
|
|
|
|
|
|
|
) = |
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 4 2 |
= 6 |
|
|
− 2 |
|
|
|
− 2 |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
b |
c |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
× ( |
|
|
+ |
|
) |
|
= |
36 + 4 + 4 = |
|
44 = 2 11. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
c |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда значение выражения |
|
|
11 |
|
× ( |
|
+ |
|
|
) |
|
равно 22. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
c |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Задача 2.2.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Векторы |
|
|
|
= {1; 2;3} , |
b = {2;2;0} , |
|
|
|
|
= {n;0;3} компланарны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при n, равном ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
, |
|
, |
|
компланарны тогда и только тогда, когда их |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
c |
смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произведение векторов a, b, c .
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
abc = |
bx |
by |
bz |
= |
|
2 |
2 |
0 |
= −6n − 6. |
|
|
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
n |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая смешанное произведение к нулю, получаем n = −1.
Ответ: –1.
45
Задача 2.2.19
Если вершины параллелепипеда OABCO1 A1B1C1 имеют коорди-
наты O(0;0;0) , A(1;1;1) , O1 (2;0;3) , C (1;0;6) , то его объем равен ...
Решение
Рис. 2.15
___ ___ ___
Рассмотрим три вектора OA , OC , OO1 . Абсолютная величина
___ ___ ___
смешанного произведения векторов OA , OC , OO1 равна объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на трех пересекающихся ребрах.
|
|
|
|
|
|
___ ___ |
___ |
Найдем смешанное произведение векторов OA , OC , OO1 . |
|||||||
___ ___ ___ |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
OAOC OO1 |
= |
|
1 |
0 |
6 |
= 9. |
|
|
|
|
2 |
0 |
3 |
|
|
Объем параллелепипеда равен 9.
Ответ: 9.
Задача 2.2.20
Объём пирамиды, построенной на векторах a = {1; 2; m} , b = {1; 2;0} , c = {1; m;0} , равен 43 , если положительное m равно ...
46
Решение
Объем пирамиды, построенной на векторах a, b, c , можно вы-
числить по формуле: V = 1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
abc |
|
|
|
|
|
|
|||||
пир |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
Найдем смешанное произведение векторов |
a |
b |
c |
. |
|
|
1 |
2 |
m |
|
= m2 − 2m . Подставляя данное выражение |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
|
|
abc = |
|
|||||||
|
|
1 |
m |
0 |
|
|
в формулу для вычисления объема пирамиды, получаем уравнение: 16 m2 − 2m = 43 . Отсюда m2 − 2m = 8 или m2 − 2m = −8 . Первое уравнение имеет корни: m1 = 4 , m2 = −2 . Второе уравнение корней
не имеет. Условию задачи удовлетворяет m1 = 4 .
Ответ: 4.
Задача 2.2.21
Высота BH пирамиды, построенной на векторах AB = {1;2; 4} ,
AC = {1; 2;0} , AD = {1; 4;0} , равна ...
Решение
Рис. 2.16
Из формулы V |
= |
1 |
S |
|
h выразим высоту: h = |
3Vпир |
. |
|
|
Sосн |
|||||
пир |
|
3 |
|
осн |
|
|
47
Найдем объем и площадь основания пирамиды:
|
|
V |
= |
1 |
|
|
___ |
|
|
|
|
___ |
___ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB AC AD |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
пир |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
AB AC AD = |
|
1 |
2 |
|
|
4 |
|
= 8 , то V |
= 4 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
___ ___ |
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пир |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
___ |
___ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Sосн = S ACD = |
2 |
|
|
AC× AD |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
___ |
___ |
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 2 0 |
= 0 |
|
+ 0 |
|
|
+ 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
AC× AD = |
i |
j |
k |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
___ |
___ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Sосн = S ACD |
= |
2 |
|
|
AC× AD |
|
|
= 1. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, h = 3Vпир = 4 = 4.
Sосн 1
Ответ: 4.
48
III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§3.1. Вопросы тестовых заданий
Вопрос 3.1.1
Вектор |
n = { A ; B} |
называется ... вектором прямой |
Ax + By + C = 0 на плоскости.
Решение
Рис. 3.1
Всякое уравнение первой степени Ax + By + C = 0 относительно текущих координат x и y определяет на плоскости прямую l . Вектор n = { A ; B} перпендикулярен прямой l (рис. 3.1) и называется
нормальным.
Вопрос 3.1.2
Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс называется ... … прямой.
Решение
Тангенс угла наклона прямой к оси Ox называется угловым коэффициентом прямой ( k = tg ϕ ). Угол ϕ отсчитывается от
оси Ox к прямой против часовой стрелки (рис. 3.2).
49
Рис. 3.2
Вопрос 3.1.3
Уравнение прямой, проходящей через точки M1 (x1; y1 ) и M2 (x2 ; y2 ) , имеет вид
1)y = kx + b,
2)y − y1 = k (x − x1 ),
3) |
|
x − x1 |
= |
|
y − y1 |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
2 |
− x |
|
|
|
y |
2 |
− y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
4) |
|
x − x1 |
|
= |
|
x − x2 |
. |
|
|
|
|||||||
|
y − y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
y − y |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
y = kx + b |
|
|
|||||||||||
Уравнение |
|
является уравнением прямой с угловым |
|||||||||||||||
коэффициентом. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Уравнение |
|
y − y1 = k (x − x1 ) – уравнение прямой, |
проходящей |
||||||||||||||
через точку M1 (x1, y1 ) |
в данном направлении. |
|
|||||||||||||||
Поскольку |
|
прямая |
y − y1 = k (x − x1 ) проходит |
через точку |
|||||||||||||
M2 (x2 ; y2 ), |
то координаты точки M2 удовлетворяют уравнению |
прямой, т.е. y2 − y1 = k (x2 |
− x1 ) . Отсюда k = |
y2 |
− y1 |
. Тогда уравнение |
||||||||
x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
− x1 |
|
|
||||
|
y − y1 |
|
y2 − y1 |
|
(x − x1 ) или |
|
x − x1 |
|
y − y1 |
|
||
принимает вид |
= |
|
|
= |
. Полу- |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
чили уравнение прямой, проходящей через две точки.
50