книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов
..pdfАЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТРИЦ МЕСТНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
$1. Построение янте рполяцион'-чх полиномов для олемеитов пластин и пологих оболочек
Цель» настоящего параграфа является изложение методики построения интерполяционных полиномов для несогласованных эле ментов. Решения, подученные с помощь» таких полиномов, сходят ся к точным, что подтверждается результатами решения тестовых задач, приведенных ниже.
Следует заметить, что построение таких полиномов не обя зательная процедура при определении коэффициентов матриц жесткости изложенным выше методом. Поэтоиу в дальнейшем мм ограничимся лишь одним элементом треугольной формы.
Треугольный плоский элемент (р и с . Q)
Ряс. 9
При решении плоской задачи теории упругости для такв_ элементов обычно применяется полином в виде [З] ^ 5} lg ]
•Х О Д » A. + M + **Y, |
|
||
1Г(к.У) ■■ |
|
B»X ♦ *,Y. |
(3 .1 ) |
Постоянные |
% |
очрвд®^0»0* |
*э условий в узлах |
мвывнта |
|
|
|
UW m .Y n,) « |
Um , |
|
|
tfU in .Y m ) - |
« л . |
(3 .2 ) |
|
|
|||
Компоненты деформаций в этом случае поотояыпы в пределах элемента.
федполоннм, что деформации распредс хеки в пределах елеманта по линейному закону
т ^ к . * к ^ * к , ч .
; ( |
**'* W.'O) t |
(3 .3 ) |
|
|
|
где AQ* A p ig определяются |
из условий |
|
(3.4)
фначенде ( f v ^ nv 0ПРв*в31Я1*®я завиоимоотями (1 .й 2 ).
Тогда монно запкоа ^ |
|
|
(3.5) |
С * * О . |
(3.6) |
~ я A*V + |
* + • АгхУ , |
(3,7) |
Щ ~ A»v + Ai* X 4 ^ау V. |
( э .е ) |
И тгряруя (3.5) * (3 .8 ), получи |
|
ULCt.v)« t f t K+ Ai*£t** А?, «У ♦ C.W , |
(3.9) |
vrC^Y)« ЛХуУ» А* <у ♦ А ££у* ♦ сж<*>, |
(З.ГО) |
ЕЬразвы эавиошюоть для угловой деформацяя чвреа (Э.б) я
(3.7)
o74W * A ^ +Aw**A«Y* Ам ♦ &*«■&> У. (3,11)
Преобразуем левую часть равенства (3 .ID о намощью (3.9) ■ (З .Ю ).
if, у * с',<*) -
- f t . ♦ f t , ♦ . № + С > * ♦ (A S , ♦ * j ) V .
Откуда следует, что
в|(У) ■ ^ (А** + A#V) + (А«у ♦ А1*у
--£ (А ^+ A“T)* (A?r ♦ *««-*?»)*,
С , ( у) « ^ С А « л* А« » )у *А ц г ■'A ^v+c, ^
ЦС*)* ^(Аи4А^) !♦ j[CAJor4AuAt»)*4^*, (Э.Й)
С учетом (Э.12) |
выражения (3 .9 ) и (3.10) примут вид |
|||||||
tlOt.Y) • |
Ui t К«я * ♦ ^ |
|
W» С |
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 .13) |
+ C w + i C » w + * f . - * w ) y * , |
|
|
||||||
(Г У Л “ |
|
*■2 |
|
+ А°уН + СуУ |
+ £ (А « * |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
+: A j - Й * ) х * + |
AW *Y + |
i |
C |
’**. |
||||
где |
^ |
- |
И« |
С' ~ |
* |
- |
|
|
Вол воополвоватьоя уодовхямя (3.4). то эаввонмоотн |
||||||||
(3.13) в (-3.14) |
могут быть предстаяжеш мохричныик юравеви- |
|||||||
и « Л - |
I •*, <,v, A', AV, у 'Л °1{Ч ^ |
|||||||
•I7C.V) - |
|
|
|
|
|
|
|
0 .1 5 ) |
L 1. *.У , А*. *У, У 'П У Ц я } , |
||||||||
где ClfJ.lYj - |
матрда, |
характер которых |
определяется на |
|||||
|
( 3 .4 ) , |
(1 .45) 1 ( 3 .1 3 ) , |
(3 .1 4 ). |
|||||
|
|
|
v i u-i У( и . v * ) . |
|||||
Внракеви (3 .1 5 ) |
явдяютбя ыеоовместишмн в приводяциыи |
|||||||
в дхвойному (хотя |
бы в направхенвк одвой координаты) закону |
|||||||
вимокония частное |
производные: от тангенциальных ооотавдям п |
|||||||
л л е т о пфомеввняя.
Как С ч е т показано ниже, поотроен ив матриц ж еокости будет производиться,минуя этап определения полинома, требупяего большой затраты машинного времени.
Треугольный елемент, работавший на изгиб
Прежде всего ввегпе матричные завиоимооти, аналогичные
К |
, Н |
1 ь „ Н |
я } . |
(3 .16) |
K |
v |
M w |
W , |
(3 .1 7 ) |
|
|
[Ьхх],гч |
|
|
( bxOfclJ |
|
|
|
[ byv) ** [ (byv)c C byv ) l |
( Ьуу)if )* |
|||
(£ ta )t |
“ |
первая строка матрицы |
В |
в |
зависимости (1,53) |
|
|
|
иди (1 .6 0 ); |
|
|
|
|
(fcyv)i |
- |
вторая строка |
матрицы |
В |
в |
зависимости ( Г .S3) |
|
|
или третья в |
(1 .6 0 ). |
|
|
|
(Ь*« |
^ •••• |
|
|
- могут быть |
получены нэ ( Ь м ) . |
(Ьуу |
при помощи круговой подстановки. |
||||
|
Исходя из прежние предположений, прдаем |
||||
|
|k ( i Y ) |
• |
+ |
« И |
*У Д (п}* |
|
l^C X Y ) |
= |
|
|
(Э.1В) |
|
|
b j - l U Y j j b } * |
|||
{ * 1 - 1 к . *, » « } ,
( 1 ) - { » . » . ««1.
■i целовав в J » ах влвывита похТ4*1
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
4 c У; ■ |
|
л |
о |
о |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
4 % |
у» |
Х а Y»t |
|
|
|||
|
L |
|
|
|||||
|
’М |
« |
V«j |
|
:лс%ж —Xsi |
x»t |
(3.20) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
к |
* * А |
- * Л |
*t “ Y*" ° • |
|
|||
ф о т а т ц о в р |
|
первое уравнечр (3.18) no )( ■ |
||||||
•wpee по |
у |
* пайдш. что |
|
|
|
|
||
U W ) - C * tC ,< * C iY * |
* .|* + с 5ку + & 4 + |
|
||||||
гда коаффвциевт |
С. поуолов» долженбыть тоадвстввн ЪхЬj f o |
|||||||
орв Х-0 |
* * 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
То ееп . |
|
с * ^ т а ) « - с 6 " 5М |
<3-2У |
|||||
|
|
|
||||||
офока. коэффициенты которой ысгут быть определены в» (1,49) ажи взяты аэ второй отрока чатрацы тдшяепт ( L 60) в эаваоамодяв о* каквековав умов
|
Jtf(*«nY n.)- uS*,, |
|
|||
|
. (OU — L ,j |
,*с ), |
|
|
|
{ с } - ( [$ Г - 1 Ф Г а -1 ! ) [и Ч < ? г]Г!..] + |
|||||
|
|
|
|
|
(3.23) |
Ч м П ч и Н Ь ^ Н я } . |
|||||
UvMCVf) (Vi) CAMi, |
|||||
|
Ь |
О О О |
0 0 |
ООО* |
|
1ФГ' |
Ya* О О -Уз О |
О |
-Y, О О |
||
|
Х&*0 О Д г О |
О |
Ха О О J , |
||
|
'** |
ф (- |
|
|
■ Y* V ' i r , * |
а д - 1 |
хг 1 V4 |
V* V |
|
|
у/ v / i t f |
V ? Л v < |
Ч Н |
||||
|
|
|
|
||
|
>Л i < i |
x i v |
|
|
|
Подвое вырогевке дхя |
прогиба будет иметь вв^ |
||||
|
|
|
|
la^U vilC M + |
|
|
|
|
|
|
(3.24) |
+ l V « U l b . i ) f o l
где
|
l% 0 w ) J - i4 Y e.t< y e . i ^ J - |
|
|
||
|
Упорядочим выражение (3 .2 4 ), приведя его |
к виду |
|||
|
|
|
|
(3 .25) |
|
Где |
[Q)J » (1, *(Y, Sr,\Vy* *» *гУ, ХУ! YM , |
|
|
||
CWJ - матрица размерноотыо 9x10, элементы |
которой соот |
||||
|
ветственно равны |
|
|
|
|
W o ( 4. f A ) « С С 4» |
, |
J Ь«0»м1 |
|
||
Wo(a,w)- с(г, *), |
W*C7,M)« glUC^M), |
|
|
||
W * (S > )o . с ( * . *0, |
4«,(aj*A)a 4 A .( v » , |
(3 *26) |
|||
w . ( 4 .* 0 ~ 4 * - G ,4 |
Wo($,•*) * k * . 0 . *4 |
|
|||
4/*(S fA) » |
|
WeO<>>w) « J b e C M ) , |
|
||
где первый индекс указывает номер строки, второй - |
столбца, |
||||
|
U - |
1 ,2 ,3 ,...9 . |
|
|
|
|
Выражение (3.25) можно |
несколько преобразовать |
и выра |
||
зить |
через функции Эрмкта |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 .2 7 ). |
|
|
|
|
|
0 .2 8 ) |
|
В данном случае, как видно из изложенного, функции Эр-
ъ
мкта легко получить с покопаю машинного алгоритма не прибе гая к явной форме их определения.
Элемент пологой оболочки
Рассмотрим элемент пологой оболочки, для которого поми мо координат узлов,задаются значения кривизны в направлении
ооойХ к У (рис . 9 ).
v
к
Хранение для полиноме, отр акающего поперечные деформа ция, остаётся прежним. Поэтому остановимся лишь на опреде лении полинома для тангенциальных перемещений этого элемен та . Характерной особенностью повел чия элемента пологой оболочки является возможность его смещения в соотаве иоолоч ки как твердого тела, что необходимо учитывать, так как де формация его а этом случае должна быть равна ыуя>.
Вырокение тлл поперечного перемещения, отвечавшего атому ооотояниэ, представим зависимостью
< Л у) - |
- и х * l U l ! |
(3 .29) |
|
|
Заедем векторы
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
{ * ) - ( * • > • K , \ . |
|
||
|
Тогда из условий в |
узлах одеыента |
|
|||
|
|
|
UJ*(Ы Ч т ) « |
|
||
|
|
|
|
С«х • с ,] ,к >. |
|
|
найдем |
|
(ь}т = |
С Ф З 'Ч ^ 'Г , |
|
||
где |
[Ф У 1 |
о тд е л я е т с я |
зависимостью (3 ,2 0 ). |
ь |
||
|
Соотиовеиия между перемещениями' и деформациями для подо- |
|||||
гой оболочки |
имеет вид |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
О .э о ) |
|
|
|
^<У “ |
4Y + Т» “ |
|
|
гд е . КА |Кт ,Кку |
- |
кривизны элемента. |
|
|||
|
При омецении элемента как кеоткого тела его |
деформации |
||||
равны |
нуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
du - |
к*г& |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
£
$Y
(з.зз)