книги / Расчет пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, методом конечных элементов
..pdf5г. Определение значений первых частных производные
вЛ, -м узле
Выракение (1.37) ыовет быть запиваю для узла I двахды. Дифференцируя по направлению ^ и 1 , получш
откуда следует
д» C o sJ .S C a ^ a -C o si^ iU Jl,
Вотличие от обычно притеняемой процедуры в UK9 будем.ап* проке имкровать перемещена только линь вдоль пряма лини!, со единят к узлы элемента.
Тангенциальные составляющие перемещения а и U предс тавим полиномами первой степени
u / |
“ |
|
’ |
°k |
*» |
- fy > |
( M O |
|
3 s fir |
t a \ |
|
Учитывая, что
**• |
Xma “ |
|
, |
|
|
{j( , CKv - длина |
стороны элемента между соответструс- |
||||
ц м и узлами. |
|
|
|
||
Окончательно получт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( I . 42) |
где |
0 |
|
|
|
|
XKtYji "* % |
YHL , |
|
|||
Ь , - |
|
||||
|
|
|
|
Yit |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
(1 .43) |
< ч |
- |
{ * < |
% |
|
|
|
|
i P |
s i |
M ) . |
|
Завиоимооть (1 .4 2 ) |
предотавлона черва |
уэяошв эначевня |
|||
вокоьаа функций.и оараведлвва как |
для алем |
нта треугольной |
|||
Форш, так к жщя четырехугольного |
эл те н т а . |
Но при поотроенвк |
|||
матрицы жеоткоотн элемен |
а тр екен ка, оодеркащие три нензвео- |
||||
тных параметре. не. оовоем |
удобны. Поэтому уэл б те эначенвя |
||||
частных производных для произвольного элемента будем выракать через все неизвестные, принятые для ней). Тогда (1.42) к (1.43) пршут оледугеий вид:
X) для треугольного элемента
где
*< |
о |
0 УЧ
“Ч 0
.0 -X«J
о
-У* о Х»с
0 -X* о
0 X* 0 -V
2) |
для четырехугольного элемента |
|
|
||||||
|
W |
- i i W |
W |
, |
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Укi 0 -Ухе о Yjt |
о |
о |
о' |
|
||||
|
О |
Ум* |
о |
- V |
0 |
YiC |
о |
О |
|
^ |
^ “ Ч о х « |
° - * j l О О О |
|
||||||
|
о |
- x Ki |
о |
Х« |
о |
->*с |
о |
о |
(1 .* ф |
|
W - |
|
U4- ^ |
u * |
м* u * |
>yt }T |
|
||
Перенеся напело коордшат в другой узел, получи анало гичные выраженw для чаотных производных следующего узла эле мента. Для исключения ошибки желательно использовать зеркаль ное отображение стандартного варианта, для которого получены первоначальные выражения, произведя линь соответствующую за мену индексов (рис. 6) во всех векторах н матрипас.
Рю . б
Вскобках даны индексы, отвечающие одуч®, когда узел (начало координат)'ooBue_.dH о узлами j , к к I соответот-
венно. Без скобок даны, стандартные индексы, которые приншают аначенкя индексов, указанных в окобках.
При поci-розним конечные вырааениГ, д:*
:нг/. во зи т пи два подхода. |
Первый гадход |
эгхльч...- |
успей ни ip exуалспой аппро::о!ашциЕ. 8го*- |
эзоп |
|
она выше iipii онрздеденшпервых чаор:;ы;: г.о |
||
Ь'гсрo!i му*ь cooi' ;iv в использовании че^п |
|
|
otiuaquii, |
|
|
Т р о х у з л о в а я |
о х е з а. |
?«осасгр л> дгч |
праваeir/л, образованные отсроиаия влеиеага, сходенм гзл узле L
Рис. 7
Тогда, используя (1 .3 8 ), получив
Изклочки смешанную производную из (1 .4 7 ), используя (1 .37)
(1 .48)
CosA^ ^ £ |
. |
Полагая, что угловые деформация изменяются линейно вдоль от срои многоугольника, получим выражение для смеяаи- ■о! производной
~_ Ф т У
После ноклочена оммал вой производив! оф>тша (1 .47) яриншает вид.
йппроконфуя нормальную ооотавляюную перемоцови по
■афавлам» |
полиномом третьей.отепени мснво запивать |
||||
_л(Х.) - с. + |
1 ♦ с*Аа+ сь &?, |
||||
<С{ |
произвольные парапеты, подлежащие определенно |
||||
|
из уоховий оовмеотности в узловых точках б |
||||
Пооле офедедевия |
можно запивать выражение для вто |
||||
рой фоизводной по направлен» |
& 0 0 - |
|
|
||
|
^ , - ^ 0 - 4 |
CotUt |
I |
_ |
|
|
“ “*3Г |
' T |
y t |
||
А |
*-*Чй |
г М Ф ^ |
. а 5 В |
|
cosUt |
|
|
|
|
|
Strfat / du> |
|
|
|
|
|
YKI ^ - ^ ( ^ - 2 |
^ 1 |
^ - ) . . d . « ) |
|||
Учитывая ( 1 .51) |
и (1 .5 2 ), на ( 1 . 50) найвеы |
значения вто |
|||
рых частных производных дхя |
{. - го |
уэха |
|
||
|
K U |
- t M i W |
. |
(1.Я) |
|
К |
Ы |
& |
. - & |
1 . |
|
М - К с $ ) ;ф . ч ( & Ф 4 ^ Ф « Г - |
|||||
- дхя треугольника |
|
|
|
|
|
м » { « с О Д И к « * * & < $ |
|
||||
|
|
|
- в » « « ф о т в л и . |
||
Матриц! C 6J , |
в своп очередь, |
иыеет вид: |
|
||
I . Дня треугольника |
|
|
|
|
|
ч » > с (* |
*• |
»;«,* |
с -‘ |
|
|
а» ir с» |
*;»/ с; |
а« ь'« с; |
С 1. 5») |
||
2 , Дхя четырехугольника |
|
|
|
||
fA ?»ec s М |
< уЛ * П с г ‘ г , **Сг" |
|
|||
1 * 4 |
а,ч ] с; а ’ « С V ’ < C; |
(1.55) |
|||
|
|
|
|
|
|
Т , - * 5 £ - * * * « .
A j - |
+ |
h i - a.C^y«+2x«iY*t)>
С ? - 2 У « ^ ( С2Укс +УД
« - G Y * * ,
ь; |
- |
а |
у£<, |
с ; |
- |
2У,чУ*к(> |
|
Ai |
- - 6 У / с . , |
||
ь< - |
2Хк<у/£; |
||
с ; |
- |
|
|
X |
r |
o |
t |
С- ч
с: - о,
А** о^Хекс-* Xji),
б /» 2 Х 1СХ« C2Xjt +Xw),
Ci * 2Cx}t Vr i + 2X ^yitX
Aj |
w - |
6 Xa«ti( |
b j |
ш |
А Ц |
СУ - |
X**4# |
|
* 1 - - |
* * Ji, |
|
c» - 4У*С*}С,
Acy - o f
btY- o ,
C j - o .
Ч е т ы р е х . у з л о в а я |
с |
х е м а . При Четырех- |
узловой схеме необходимо рассмотреть |
три отрезка прямых, |
|
еходяцвсоя в одном узле (рио. 8) . |
|
|
Ряс. 8
По аналог» с предндущщ эаппюм
(1.57)
|
Со&'А, |
2C o$A »StaA , ^trt* A , |
|||
S] |
«= . C o s \ u |
|
2 GosA, ScaA t |
ir.a 'A , |
|
|
Хо&а Аг |
2LCo*A*btnA* |
Sir^A * |
||
|
K 4 |
. U ^ L \ |
(Л ** .) |
L |
|
|
^ 8 |
х Н М » Ш \ Л 0У* i J • |
|||
Из |
(157) |
следует |
|
|
|
( u s e )
Вектор |
U3U |
можно представить в виде произведения |
||||
|
|
( Л Д * |
Cc3t W |
, |
(1 .99). |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
«-2^-2У 4с о 0 0 9 0 0 |
||||
_« |
|
О |
о |
b-2t*<~21*iO О О |
||
ICV |
k - |
^ 0 Q Q O |
0 |
0 |
(1 .60) |
|
- M |
6 - 2x* i '2V |
|||||
ей -
Та к т образом, окончательное матричное выражен* будет иметь вид
W |
W . |
( I - 6 0 |
'tti* i< W b - f c c W t& Y eW i'it-V tW 2 % V « I M < - W |
||
<*Ь % '-*«<»> |
H |
i 1* " * 4 '* ' *=• |
t c < - |
|
|
. т ъ с м - м ^ ) * * « - ( * * г ы ь ) |
|
|
8 {= 2tXJ{V»{y« СХ«Ук<-*«Уа) + |
|
|
У«У«УлС% У<*--*«у<‘ )+ |
а *^г) |
|
*J; Vn f t C t a f t - f t |
У «3 - |
|