книги / Надёжность технических систем и техногенный риск. Структурно-энергетическая теория отказов

О форме объема, в котором происходит поглощение энергии, также нельзя ничего сказать. В общем случае величина регистрируемой поглощенной энергии и форма этого объема не обязательно должны находиться в простом соотношении. Энергетическому воздействию ε в среднем соответствует n = Lε событий поглощения квазичастиц в измерительном объеме. Уже из-за того, что число событий поглощения квазичастиц конечно, прибор должен работать с ошибками. Только в предельном случае очень большого измерительного объема для зависимости вероятности осуществления отсчета q(ε) от энергетического воздействия справедливы следующие соотношения:

что соответствует ступенчатой форме кривой зависимости q = f(ε). Возникает вопрос, насколько велико может быть приближение к ступенчатой форме, т.е. какое наибольшее значение может при-

нять величина S = ε 2 σ ε2 .

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим некоторые зависящие от величины энергетического воздействия случайные величины, относящиеся к отдельному испытуемому элементу. Пусть первой из этих случайных величин является общее число nε событий поглощения квазичастиц, которые прямо или косвенно действуют на чувствительные (дефектные) структуры материала элемента. В качестве второй случайной величины рассмотрим вектор Rε, компоненты которого ri (i = 1, 2, …, K) указывают число событий поглощения квазичастиц в материале элемента от класса 1 до класса K. При таком описании события поглощения разделены по величине и пространственно-временному распределению поглощенной энергии в материале элемента на K классов, причем K было выбрано настолько большим, что данные параметры класса достаточно точно характеризуют событие поглощения квазичастицы. Тогда вектор Rε описывает поглощение энергии в испытуемом элементе.

101

Наконец, рассмотрим случайную переменную B, которая принимает два значения 1 и 0, в соответствии с возникновением или невозникновением отказа. Стохастическая зависимость переменной B от ε соответствует зависимости вероятности отказа от величины энергетического воздействия.

Расчленим эту зависимость на цепь, состоящую из трех стохастических зависимостей, а именно на переменную nε, зависящую от ε, переменную Rε, зависящую от nε, и, наконец, переменную B, зависящую от Rε. Цепь этих зависимостей наглядно представлена на рис. 5.5.

Математически эта цепь соответствует разложению вероятности отказа q(ε) на произведение вероятностей P(nε = n) и условных вероятностей P(Rε = R/nε = n) и P(B = 1/Rε = R). Такое разложение возможно, так как условные вероятности не зависят от ε; другими словами, переменные, которые представлены на рис. 5.5 следующими один за другим кружками, стохастически зависят друг от друга, и эти зависимости одинаковы для всех значений, которые принимают упомянутые случайные величины. Такая стохастическая зависимость между двумя случайными переменными на рис. 5.5 обозначена изогнутой стрелкой.

Независимость вероятности P(B = 1/Rε = R) от величины энергетических воздействий соответствует тому факту, что для возникновения отказа имеет значение только величина и пространственновременное распределение действительно поглощенной энергии. Независимость этой условной вероятности от n не нуждается в обосновании, так как n выражается через ri, а именно является суммой этих величин. Тот факт, что условная вероятность P(Rε = R/nε = n) не зависит от величины энергетического воздействия, был показан в уравнениях (5.31)–(5.33).

Зависимость между B и Rε, как и зависимость между Rε и nε, нам неизвестна. Зато с точностью до константы α известна зависимость между nε и ε:

Знак равенства в соотношении (5.42) справедлив только для совершенно определенного вида qn, а именно в случае, когда

иначе говоря, когда число событий поглощения квазичастиц однозначно определяет отказ элемента. В этом случае схему на рис. 5.6 можно представить в виде схемы, изображенной на рис. 5.7.

Прямая стрелка на рис. 5.7 указывает однозначную зависимость в противоположность стохастической. Только в этом случае справедлив знак равенства в выражении (5.42). Заметим, что именно этот случай лежит в основе построенных в гл. 4 структурноэнергетических моделей отказов.

Рис. 5.7. Упрощенный вариант схемы возникновения отказа (однозначная зависимость между n и B)

Вернемся к примеру с измерительным прибором. Очевидно, что при данном значении α, т.е. при известной зависимости n = αε между величиной энергетического воздействия и средним числом событий поглощения квазичастиц, наилучшим измерительным прибором для регистрации ε является тот, который реагирует после n событий поглощения энергии. Нет необходимости определять величину энергии, выделенной в результате поглощения квазичастиц. Если бы прибор, вместо того чтобы реагировать на определенное число событий поглощения квазичастиц, срабатывал после достижения величины всей поглощенной энергии некоторого порога, то ошибка измерений увеличилась бы. В последнем случае величина поглощенной энергии могла бы достигать этого порога один раз

104

при меньшем, другой раз при большем числе событий поглощения квазичастиц.

Но в отличие от измерительного прибора элемент не может быть устроен так, чтобы он «считал» события поглощения, т.е. чтобы отказ наступал после определенного числа событий поглощения квазичастиц независимо от величины и распределения поглощенной энергии по объему материала элемента.

Скорее всего, у реальных элементов именно величина энергии, поглощенной в некотором объеме материала, вероятнее всего в окрестности дефектных структур, имеет существенное значение для возникновения или невозникновения отказа. Следовательно, на практике всегда, за исключением экспоненциальной зависимости вероятности отказа от величины энергетического воздействия, относительная крутизна кривой функции распределения энергии разрушения должна быть не меньше, чем среднее число событий поглощения квазичастиц, совместное действие которых приводит к возникновению отказа. В этом же направлении действует и неоднородность структуры материалов элементов; чем сильнее ее влияние, тем меньше может быть значение относительной крутизны кривой функции распределения по сравнению с действительным средним числом событий поглощения квазичастиц.

мул (5.8) и (5.16), тогда, и только тогда, когда все распределения q(ε) и qi(ε) имеют одинаковые средние значения и дисперсии. Если

K

эти условия не выполнены, то S < ∑Ci Si . При этом чем больше

i =1

различаются средние значения и дисперсии отдельных зависимостей вероятности отказа от величины энергетического воздействия, тем меньше результирующее число эффективных событий поглощения квазичастиц, т.е. тем меньше относительная крутизна кривой

105

функции распределения энергии разрушения по сравнению со средним значением соответствующих характеристик исходных кривых. Это утверждение соответствует факту, уже упоминавшемуся в предыдущей главе, что различная чувствительность элементов к энергетическому воздействию, обусловленная структурной неоднородностью материалов элементов – ведь различная чувствительность обязательно означает наложение различных кривых зависимости вероятности отказа от величины энергетического воздействия, – приводит к тому, что относительная крутизна кривой функции распределения энергии разрушения уменьшается по сравнению со средним числом действующих событий поглощения квазичастиц, о чем наглядно свидетельствуют экспериментальные данные, представленные в табл. 5.1–5.3.

5.5. Закономерности изменения параметров структурно-энергетической модели отказов

Как было показано в п. 5.3, минимальное число событий поглощения квазичастиц, т.е. параметр n0 структурно-энергетической модели отказов, может быть найдено из соотношения

Практическую ценность структурно-энергетическая модель отказов будет иметь в том случае, если будут известны закономерности изменения параметров n0 и α в зависимости от размеров дефектных (чувствительных) структур материалов элементов, так как в этом случае появляется возможность оценивать и прогнозировать надежность элементов по результатам неразрушающего контроля. Установить такие закономерности можно из следующих соображений.

106

Приведенный в гл. 4 анализ структурно-энергетических моделей отказов, а также результаты экспериментальных исследований различных материалов показывают, что среднее значение и дисперсия энергии разрушения являются монотонно убывающими функциями размеров дефектных структур материалов. Из класса же монотонно убывающих функций наибольшее распространение на практике получили экспоненциальная и гиперболическая функции, причем применительно к проблеме надежности это подтверждается результатами экспериментов. Поэтому для установления возможных закономерностей изменения параметров структурноэнергетической модели отказов в зависимости от размеров дефектных структур достаточно остановиться на этих двух типах функций.

Рассмотрим некоторые возможные случаи зависимости среднего значения и среднего квадратического отклонения энергии разрушения от величины характерного размера ϑ дефектных структур материалов элементов.

1. Зависимости среднего значения ε и среднего квадратического отклонения σε энергии разрушения задаются выражениями

где K1 и K2 – константы для данного материала;

ϑ 0 – характерный размер материала элемента.

Подставляя (5.46) и (5.47) в формулы (5.44) и (5.45), получаем следующие выражения для параметров структурно-энергетической модели отказов:

107

2. Зависимости среднего значения и среднего квадратического отклонения энергии разрушения от величины характерного размера дефектных структур материалов элементов задаются выражениями

3. Зависимость среднего значения энергии разрушения от величины характерного размера дефектных структур материалов элементов задаются выражением (5.46), а среднего квадратического отклонения – выражением (5.51).

108

В этом случае параметры структурно-энергетической модели отказов будут определяться выражениями

4. Зависимость среднего значения энергии разрушения от величины характерного размера дефектных структур материалов элементов задается выражением (5.50), а среднего квадратического отклонения – выражением (5.47).

В этом случае выражения для определения параметров n0 и α будут иметь следующий вид:

Анализ формул (5.48), (5,49) и (5.52)–(5.57) показывает, что в зависимости от значений показателей b и c возможны следующие закономерности изменения параметров структурно-энергетической модели отказов:

1)n0 и α – монотонно возрастающие функции размеров дефектных (чувствительных) структур материалов элементов;

2)n0 и α – монотонно убывающие функции размеров дефектных (чувствительных) структур материалов;

3)n0 = const, α – монотонно возрастающая функция размеров дефектных (чувствительных) структур. Эти закономерности полу-

чаются, если в формулах (5.48), (5.49) и (5.52), (5.53) взять b = c = d.

109

Тогда получим

для экспоненциального закона изменения среднего значения и среднего квадратического отклонения энергии разрушения;

для гиперболической зависимости; 4) n0 = const, α = const.

Этот случай будет иметь место при b = c = 0 в формулах (5.48), (5.49) и (5.52)–(5.57). Однако одновременное постоянство параметров n0 и α на практике маловероятно. Это следует хотя бы из того,

что при b = c = 0, как видно из формул (5.46), (5.47) и (5.50), (5.51),

должны быть постоянными величинами среднее значение и среднее квадратическое отклонение энергии разрушения, но это возможно только в случае полного отсутствия дефектов в материалах элементов, т.е. при m = 0 или в случае, когда число микроскопических дефектов стремится к бесконечности.

Таким образом, осмыслению и объяснению подлежат прежде всего первые три возможные закономерности изменения параметров структурно-энергетической модели отказов. Если рассматривать партию однотипных элементов, материалы которых содержат одинаковые по размерам дефектные структуры, то первый и третий типы закономерностей изменения параметров модели в рамках структурно-энергетической концепции надежности можно объяснить следующим образом. Постоянство параметра n0 означает, что поглощение одной квазичастицы соответствует появлению одного повреждения в материале элемента, а так как критическое число повреждений, вызывающих отказ элемента, является постоянной величиной для данного материала, то число поглощаемых квазичастиц, т.е. параметр n0, также должно быть постоянной величиной.

110