книги / Теория функций комплексного переменного

Пример 3.4. Определить область плоскости z, определяемую неравенствами

щие внутри правой ветви гиперболы с фокусами в точках

= 92 −52 = 2.

Искомым множеством является пересечение этих областей. Пример 3.5. Изобразить область плоскости z, определяе-

мую неравенствами

z2 −4 ≤ 4,

Re z >1.

Кривую z2 −4 ≤ 4 запишем в декартовых координатах:

z2 −4 =( x +iy)2 −4 = x2 +2ixy − y2 −4;

z2 −4 = (x2 − y2 −4)2 +(2xy)2 =

(x2 − y2 )2 −8(x2 − y2 )+16 +4x2 y2 =

21

= (x2 + y2 )2 −8(x2 − y2 )+16 .

Итак, (x2 + y2 )2 −8(x2 − y2 )+16 = 4 .

Или (x2 + y2 )2 −8(x2 − y2 ) = 0 , где (x2 + y2 )2 =8(x2 − y2 ) –

Рис. 9.

Искомым множеством является пересечение этих областей (рис. 9).

22

4. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть даны два множества D и E, элементами которых являются комплексные числа. Числа z = x + iy множества D

будем изображать точками комплексной плоскости z , а числа w = u + iv множества E – точками комплексной плоскости w.

Если каждому числу (точке) z D по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) w E, то говорят, что на множестве определена однозначная функ-

Рис. 10

Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f (z) называется многозначной.

Множество D называется областью определения функ-

этой функции (если же каждая точка множества Е является значением функции, то Е – область значений функции; в этом случае функция f отображает D на E.

Будем рассматривать такие функции w = f (z), для которых множества D и E являются областями. Областью ком-

23

плексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Функцию w = f ( z) можно записать в виде u +iv = f ( z),

т.е. f (x +iy) =u (x; y) +iv( x; y), где u =u (x; y) = Re f (z), v = v( x; y) = Im f ( z) D.

Функцию u (x; y) при этом называют действительной частью функции w = f (z), a v(x; y) – мнимой частью.

Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Элементарные функции комплексного переменного

Показательная функция

Показательной функцией w = ez в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося

ряда ∑∞ zn :

n=0 n!

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функций

Свойства показательной функции

1.При y = 0 ez = ex , т.е. показательная функция совпадает

споказательной функцией действительного переменного.

2.ez1+z2 = ez1 ez2 .

3.ez1−z2 = ez1 : ez2 .

4.ez+2πki = ez , т.е. показательная функция является периодической с периодом 2πi.

5. ez ≠ 0, z C , так как ez = ex ≠ 0, x R.

6. Показательная функция может принимать отрицательные значения:

eiπ = cos π+isin π = −1 < 0.

Пример 4.1. Найти значение функции w( z) = zez в точке z0 = πi.

w(πi) = πi eπi = πi (cos π+i sin π) = πi (−1+0i) = −πi.

Тригонометрические функции

Тригонометрическими функциями w =sin z и w = cos z

в комплексной области называются функции, которые являют-

25

Свойства тригонометрических функций

1.Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного.

2.Функции sin z и cos z являются периодическими с пе-

риодом 2π.

3. Функции sin z и cos z неограниченны по модулю, т.е. могут принимать любые значения, в том числе и больше еди-

Пример 4.2. Найти значение функции w(z) =sin z в точке

z0 = 2i.

w(2i) =sin (2i ) = e−2 −e2 =i e2 −e−2 =i sh 2. 2i 2

Гиперболические функции

Гиперболическими функциями w =sh z и w = ch z в ком-

С помощью формул (4.7) и (4.10) можно получить формулы, связывающие тригонометрические и гиперболические

ctg iz = −i cth z, cth iz =−i ctg z.

27

Используя эти равенства, можно получить формулы

Свойства гиперболических функций

1.Функция ch z является четной, все остальные гиперболические функции – нечетными.

2.Функции sh z и ch z являются периодическими с пе-

риодом 2πi, а функции th z и cth z периодическими с периодом πi.

Пример 4.3. Найти значение функции w(z) = ch z в точке z0 =1+ πi.

w(1+ πi) = ch (1+ πi ) = ch1 ch (πi) +sh1 sh (πi) = = ch1 cos π+sh1 sin π = −ch1.

Логарифмическая функция

Эта функция определяется как функция, обратная показательной.

Логарифмом числа z ≠ 0 называется число w, такое, что

v = φ+2πk (k = 0, ±1, ±2, …) . Следовательно,

28

Свойства логарифмической функции

1. Логарифмическая функция w = Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Ln (z1z2 ) = Ln z1 +Ln z2 ,

Ln z1 = Ln z1 −Ln z,

z2

Ln zn = n Ln z.

2.Логарифмическая функция w = Ln z определена на всей плоскости, кроме точки z = 0.

3.Логарифмическая функция w = Ln z является многозначной.

Пример 4.4. Вычислить Ln 1+i .

1−i

Представим выражение, стоящее под знаком логарифма, в алгебраической форме:

29

Общая степенная функция

Общая степенная функция – это функция w = za , где a = α+iβ – любое комплексное число, определяемая равенством

Главное значение общей степенной функции

za = ea ln z .

Свойства общей степенной функции

1.Общая степенная функция w = za определена на всей плоскости, кроме точки z = 0.

2.Общая степенная функция w = za является многозначной.

Общая показательная функция

Общая показательная функция – это функция w = az ,

где a = α+iβ – любое комплексное число, не равное нулю, определяемая равенством

Главное значение общей показательной функции

az = ez ln a .

Свойства общей показательной функции

1. Общая показательная функция w = az определена на всей плоскости, кроме точки z = 0.

30