книги / Теория функций комплексного переменного

z

≤1

бражается с помощью функции w =

1

область D :

Re z ≤ 0

z

Im z ≥0

плоскости Z.

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

5z +50

, z0 =0 ;

25z +5z2 −2z3

б) f (z) =

4

z +2

,

z0 = −1−2i.

(z −1)(z

+3)

z

Задание 9. Функцию

f (z)

= ze

(z−3i)2

разложить в ряд Ло-

а)

f (z) =

sin2 πz

;

(z2 −π2 )2

б)

f (z) =

chz

.

z4

Задание 11. Вычислить интеграл от функции комплексно-

го переменного:

∫

z Re z2dz; АВ – отрезок прямой zA = 0; zB =1+2i.

а)

∫

eiz dz

;

( z −π)

3

z

=4

б)

∫

cos z + z

dz.

z

2

z+i

=1

∞

x2 +4

1.

∫

dx .

2

−∞ (x2 +9)

∞ xsin

x

2

2.

∫

dx .

x

2

0

+4

2π

dx

3.

∫

.

4

3 sin x −7

0

2π

dx

4.

∫

.

(

3 +cos x)

2

0

б) Найти: ( z1 z2 )2 , z2

, 5 z1 + z2 .

z1

Задание 2. Вычислить значение функции

f (z)

в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) = Ln z, z0 =1−i;

б) f (z) = Arctg z,

z0 = −

i

.

3

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = sh (i − z)

и вычислить производную. Выделить

действительную и мнимую части полученной производной.

Задание 4. Определить вид кривой z = 2e2it

−

1

.

e2it

Задание 5. Построить область плоскости

z, определяе-

мую данными неравенствами:

z −1

>1,

а)

0 ≤ Re z <3,

−1 ≤ Im z < 0.

z

б)

1−

≥

z −0, 25

.

4

y

Задание 6. Проверить, может ли функция

v =1−

x2 + y2

Задание 7. Найти область плоскости W ,

в которую ото-

бражается с

помощью

функции

w = 1

область D :

z

−4 ≤ Re z ≤ 4

плоскости Z.

0 ≤ Im z ≤8

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0. Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

3z +36

, z0 =0 ;

18z2 +3z3 − z4

б) f (z) =

4

z +2

, z0 =3 +i.

(z

−1)( z +

3)

Задание 9. Функцию

f (z) = z sh

πz

разложить в ряд

z −π

а) f (z) =

ez2 −1

;

z3 −iz2

б) f (z) =

2 +sin

2 .

z

z

а) ∫

cos z

2

dz;

2

z+3

=2

z

−4

∞

dx

1.

∫

.

(

x

2

+1

5

−∞

)

∞

sin 2x

2.

∫

dx .

(

x

2

− x +1

2

−∞

)

2π

dx

3.

∫

.

4sin x +

5

0

2π

dx

4.

∫

.

(2

+

3 cos x)

2

0

б) Найти: z

z , z1

, 4 z3 .

1

2

z2

2

Задание 2.

Вычислить значение функции f (z) в точке

а) f (z) = tg z, z0 =

π

+i;

3

б) f (z) = ez ,

z0 =

1

−

πi.

2

4

z +i

<1,

а)

3π

≤ arg z ≤ −

π

.

−

4

4

z

−2 ≤ Re z,

б)

−

z

> Re z.

2

жается с помощью функции

w =

1

область

−1 ≤ Re z ≤1

D :

z

−2 ≤ Im z ≤ 0

плоскости Z.

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0.

Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

7z +98

, z0 = 0;

49z +7z2 −2z3

б) f (z) =

4

z +2

, z0 = 2 −2i.

(z −1)(z

+3)

Задание 9. Функцию

f (z) =

z sin π

z +2

разложить в ряд

z

а) f (z) =

z2 −4

;

z6 +4z5 +4z4

б) f (z) = cos

1 −sin

2 −πz .

z

2z

∫ zzdz;

AB :{

z

=1;Re z ≥ 0;Im z ≥ 0} BC – отрезок zB =1, zC = 0.

ABC

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему

Коши о вычетах.

а) ∫

eiz dz

;

3

z

=4 ( z −π)

177

∞

dx

1.

∫

.

(x2

+ 2)

2

(x2

+10)

2

−∞

∞

sin 2x

2.

∫

dx .

(

x

2

+ x +

1

2

−∞

)

2π

dx

3.

∫

.

3sin x + 5

0

2π

dx

4.

∫

.

( 13 + 2

3 cos x)

2

0

б) Найти: (

)2 , z1

, 3 z1 + z2 .

z1 z2

z2

Задание 2.

Вычислить значение функции

f (z) в точке

z0 ,

ответ представить в алгебраической форме комплексного

числа:

а) f (z) =sin z, z0 = π

−5i;

2

б) f (z) = Ln z, z0 = −1−i.

Задание 3. Указать область дифференцируемости функ-

ции

f (z) = ch2 (iz) и вычислить производную. Выделить дей-

ствительную и мнимую часть полученной производной.

Задание 4.

t −1+it

Определить вид кривой z = t (t −1) .

Задание 5.

Построить область плоскости

z, определяе-

Задание 7.

Найти область плоскости W ,

в которую ото-

бражается с помощью функции w =

1

область

−1 ≤ Re z ≤1

D :

плоскости Z.

z

0 ≤ Im z ≤ 4

Задание 8. Найти все лорановские разложения данной

функции f (z)

по степеням z − z0.

Указать главную и правиль-

ную части ряда.

а) f (z) =

4z +64

, z0

=0 ;

32z2 +4z3 − z4

б) f (z) =

4

z +2

, z0

= −2 −i.

(z −1)( z +3)

Задание 9. Функцию f (z) =

z cos π

z +3

разложить в ряд

z −1

а) f (z) =

ch z

;

(z2 +π2 )3