Главы 5-6

6.4. СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ

Сечение поверхности в натуральную величину выполняется методом замены плоскостей проекций (рис. 6.5):

1.Построить точки пересечения секущей плоскости с каждым ребром многогранника – они образуют проекцию сечения.

2.Преобразовать секущую плоскость в плоскость уровня. Для этого новую ось провести параллельно вырожденной проекции плоскости и выполнить построение на новой плоскости.

Рис. 6.5. Сечение многогранника

Метод замены плоскостей проекций используется и для решения других задач с гранными поверхностями, таких как определение натуральной величины грани, двугранного угла при ребре, расстояния от вершины до грани и т. д.

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача 1.

Построить натуральную величину сечений А-А и Б-Б пирамиды

SABC.

104

Решение:

105

Задача 2.

Построить натуральную величину сечений А-А и Б-Б пирамиды

SABC.

Решение:

106

Задача 3.

В пирамиде SABC определить натуральную величину грани SAВ методом преобразования плоскостей проекций.

Решение:

Алгоритм:

–грань SAВ из общего положения преобразуем в проецирующее, для

этого новую ось х14 проводим перпендикулярно горизонтали АВ грани

SAВ;

–затем из проецирующего положения преобразуем в плоскость уровня, для этого новую ось х45 проводим параллельно вырожденной проекции

S4А4В4 грани SAВ;

– S5А5В5– натуральная величина грани SAВ.

107

Задача 4.

В пирамиде SABC определить натуральную величину двугранного угла при ребре SВ.

Решение:

Алгоритм:

–ребро SВ из общего положения преобразуем в прямую уровня, для этого новую ось х14 проводим параллельно проекции S1В1 ребра SВ;

–затем ребро из положения уровня преобразуем в проецирующее, для

этого новую ось х45 проводим перпендикулярно проекции S4В4 ребра

SВ;

–S5В5 – вырожденная проекция ребра SВ;

–А5 В5S5 С5 – натуральная величина двугранного угла при ребре SВ.

108

Задача 5.

В пирамиде SABC определить величину двугранного угла при ребре SC.

Решение:

Алгоритм:

–ребро SС из общего положения преобразуем в прямую уровня, для этого новую ось х14 проводим параллельно проекции S1С1 ребра SС;

–затем ребро из положения уровня преобразуем в проецирующее, для

этого новую ось х45 проводим перпендикулярно проекции S4С4 ребра

SС;

–S5С5 – вырожденная проекция ребра SС;

–А5 S5 С5 В5 – натуральная величина двугранного угла при ребре SС.

109

Задача 6.

В пирамиде SABC определить величину расстояния от вершины C до грани ASB.

Решение:

Алгоритм:

–грань ASB из общего положения преобразуем в проецирующее, для

этого новую ось х14 проводим перпендикулярно горизонтали АВ грани

ASB;

–затем из проекции С4 точки С проводим перпендикуляр к вырожденной проекции S4А4В4 грани ASВ;

–определяем точку пересечения О4;

–достраиваем проекцию О1С1 параллельно оси х14 и проекцию О2С2;

–проекция О1С1 – натуральная величина расстояния от вершины C до грани ASB.

110

6.5. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ. КОМПЛЕКСНЫЕ СЕЧЕНИЯ

Построение линий пересечения многогранных поверхностей сводится к построению линий пересечения плоскостей (граней), ограниченных прямыми (ребрами). Для этого пользуются двумя известными способами:

•способ пересечения прямой с плоскостью (способ ребер);

•способ плоскостей-посредников (способ граней).

В первом случае определяются точки пересечения ребер одной поверхности с гранями (плоскостями) другой, а потом определяются точки пересечения ребер второй поверхности с гранями первой. Полученные точки последовательно соединяют прямыми линиями. В способе граней строится линия пересечения двух плоскостей — граней, а затем выделяется та ее часть, которая принадлежит одновременно двум граням.

Рассмотрим этапы построения линии пересечения многогранников. 1. Краткий анализ задачи:

•определение расположения поверхностей относительно друг друга и плоскостей проекций П1, П2 и П3;

•определение плоскостей общей симметрии многогранников;

•определение наличия на чертеже вырожденной проекции одной из поверхностей (проекция на которой ребра многогранника спроецированы в точки, т.е. ребра являются проецирующими). Данная проекция обладает собирательным свойством, т.е. линия пересечения проецируется на вырожденную проекцию поверхности;

•определение характера пересечения поверхностей:

а) проницание. В этом случае линия пересечения многогранников распадается на две и более замкнутые ломаные многозвенные пространственные линии;

б) врубка. В этом случае линия пересечения гранных поверхностей представляет замкнутую ломаную многозвенную пространственную линию.

2. Построение проекций линии пересечения:

•определение вершин звеньев линии пересечения;

•определение последовательности соединения вершин ломаной линии, представляющую собой линию пересечения поверхностей. При этом соединяются прямыми проекции лишь тех точек, которые лежат в одной и той же грани.

3. Обводка чертежа с учѐтом видимости.

При обводке чертежа используются следующие типы линий:

– сплошная толстая основная (видимая линия);

– сплошная тонкая (несуществующая часть линии);

111

– штриховая ( невидимая линия).

Рассмотрим построение пирамиды ABCS с призматическим пазом

(рис. 6.6).

Призма lkm имеет вырожденную проекцию на плоскости проекций П2, т.к. ребра l, k, m – фронтально-проецирующие и спроецированы на П2 в точки.

Рис. 6.6. Пересечение многогранников

Характер пересечения поверхностей пирамиды и призмы – врубка, т.е. линия пересечения представляет замкнутую ломаную многозвенную пространственную линию.

Вырожденная проекция призмы l2k2m2 обладает собирательным свойством и является фронтальной проекцией линии пересечения.

112

Определим вершины звеньев линии пересечения:

– отметим точки пересечения проекции грани l2k2 с проекциями ре-

бер S2C2, S2В2 и граней S2А2В2 и S2А2С2 пирамиды SABC – 12, 22, 32, 82 и построим их на плоскостях П1 и П3;

– отметим точки пересечения проекции грани l2m2 с проекциями

ребра S2C2 и граней S2С2В2 и S2С2А2 пирамиды SABC – 62, 72, 52 и построим их на плоскостях П1 и П3;

– отметим точки пересечения проекции грани m2k2 с проекциями ребра S2В2 пирамиды SABC – 42 и построим ее на плоскостях П1 и П3.

Определим последовательность соединения вершин линии пересечения поверхностей: 1–2–3–4–5–6–7–8–1.

Обведем чертеж с учѐтом задания – пирамида с призматическим пазом.

Комплексное сечение многогранников строится, как и любое сечение, методом замены плоскостей проекций (пп. 5.2, 6.5) (рис. 6.7).

При построении натуральной величины комплексного сечения пересекающихся геометрических тел, строится сечение каждого многогранника с учетом смещения сечения одной фигуры относительно сечения другой.

Контуры (внешние) комплексного сечения обводятся сплошной основной линией. Контуры сечения отдельных фигур внутри комплексного сечения обводятся тонкой линией. Комплексное сечение имеет единую штриховку.

Если один многогранник просекается другой гранной поверхностью, образуя углубление или отверстие в первом, то заштриховывается только сечение первого. Контур сечения другого тела при этом обводится тонкой линией.

113