3. Закон био-савара-лапласа. Теорема о циркуляции магнитного поля.

Закон Био-Савара-Лапласа

,

где m₀= 4p×10^-7 Гн/м – магнитная постоянная,m- магнитная проницаемость среды,I– сила тока в проводнике,- элемент тока, протекающего в участке,- радиус-вектор, направленный от элемента тока к точке, в которой определяется магнитная индукция.

В скалярной форме:

dB=mm₀I×dl×sina/(4pr²),

где a- угол между векторамии.

Магнитная индукция в центре кругового тока:

B=mm₀I/(2R),

где R– радиус кругового тока силойI.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током, являющегося частью бесконечного прямолинейного проводника:

B=mm₀I(cosa₁-cosa₂)/(4ph),

где -a₁иa₂– углы, под которыми виден отрезок с током из точки наблюдения А,h– расстояние от отрезка с током (или его продолжение) до точки наблюдения А.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции:

,

где SI_охв– алгебраическая сумма токов, охватываемых контуромL.

Магнитная индукция поля, создаваемого точечным движущимся зарядом (2-я формула закона Био-Савара-Лапласа):

,

где - скорость зарядаq,- радиус-вектор, направленный от заряда к точке наблюдения.

В скалярной форме:

В= mm₀qu×sina/(4pr²),

a- угол между вектором скорости и радиус-вектором.

Принцип суперпозиции магнитных полей:

,

где - индукция магнитного поля в некоторой точке,- индукция магнитного поляi-го участка проводника в этой точке.

Примеры решения задач

Задача 1.Вычислить магнитную индукцию в точке 0 для бесконечного проводника с током, изображенного на рисунке. ПринятьR = 0,1 м,I = 10 А,j = 30⁰.

Решение.

По принципу суперпозиции для магнитных полей магнитная индукция в точке 0:

, где - магнитные индукции в точке 0 от 1-го, 2-го и 3-го участков проводника соответственно.

Для 1-го участка используем формулу индукции магнитного поля отрезка проводника:

B₁ = m₀I(cosa₁ - cosa₂)/(4ph), где h = R, a₁ = 0⁰, a₂ = 90⁰. Следовательно,B₁=m₀I/(4pR).

Магнитная индукция кольцевого тока в центре кольца B_к=m₀I/(2R). Участок 2 составляет 2/3 окружности радиусаR, тогдаB₂=m₀I/(3R).

Для участка 3 рассмотрим магнитную индукцию в точке 0, создаваемую элементомучастка по закону Био-Савара=Лапласа. Посколькуçç, то, т.е.и В₃= 0. Учитывая, что в точке 0 по правилу буравчика векторнаправлен "к нам", а вектор"от нас", получим:

В = В₂-В₁=m₀I/(3R)-m₀I/(4pR) =m₀I(1/3-1/4p)/R.

В = 4×3,14×10(0,333-0,08)/0,1=3,2×10^-5Тл.

Ответ: В = 3,2×10^-5Тл.

Задача 2.Два бесконечных проводника с токамиI₁ = 30F,I₂ = 40 А представляют собой взаимноперпендикулярные скрещивающиеся прямые, расстояние между которыми равноh= 0,2 м. Найти индукцию магнитного поля в точке, расположенной посередине между проводниками.

Решение.

Проведем через проводники с токами две параллельные плоскости. ОтрезокMNперпендикулярен обеим плоскостям. Его концы лежат на проводниках. Отрезок представляет собой минимальное расстояниеhмежду проводниками. Точка А расположена посередине отрезкаMN. По принципу суперпозиции магнитных полей . Векторы построены по правилу буравчика для 1-го и 2-го проводника соответственно, причем. По теореме Пифагора. По формуле индукции магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током:B₁=m₀I₁/(2p0,5×h),B₂=m₀I₂/(2p×0,5×h). Тогда

.

Тл.

Ответ: В_А = 10^-4 Тл.

Задача 3.Протон движется в вакууме по прямой с постоянной скоростью 10⁶м/с по направлению к некоторой точке С. Точка А расположена на расстоянииh= 6 м от точки С так, что отрезок АС перпендикулярен траектории протона. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого протоном в точке А в тот момент, когда расстояние от протона до точки С равноl= 8 м.

Решение.

По закону Био-Савара-Лапласа магнитная индукция, создаваемая протоном в точке А,

,

– радиус-вектор проведенный от протона в точку А,q= 1,6×10^-19Кл – заряд протона.

В скалярном виде B=m₀qu×sina/(4pr²),

где a- угол между вектором скорости и радиус-вектором.

По правилу буравчика вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы скорости и радиус-вектор, "от нас".

По теореме Пифагора r² = l² + h², по определению синуса прямоугольного треугольникаsina = h/r.

Тогда B = m₀qu×h/(4p(l² + h²)^3/2).

В = 4×3,14×10^-7×1,6×10^-19×10⁶×6/(4×3,14(8²+ 6²)^3/2) = 9,6×10^-23Тл.

Ответ: В = 9,6×10^-23Тл.

Задача 4.По бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводнику радиусаR= 0,1 м протекает постоянный электрический ток плотностьюj= 800 А/м²по сечению проводника. Найти напряженность магнитного поля в точках, расположенных на расстоянияхr₁ = 0,05 м,r₂ = 0,2 м.

Решение.

Проведем круговой контурL₁радиусаr₁с центром на оси проводника. По теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

,

где SI_охв1– алгебраическая сумма токов, охватываемых контуромL_1.

В любой точке контура ||и=const;

SI_охв1 = J×S₁ = J×p×r²₁, гдеS₁– площадь круга радиусаr₁.

Получим Н_l= Н =constдля точек контураL₁, тогда, или Н₁×2pr₁=jpr₁². Следовательно, Н₁=jr₁/2 = 800×0,05/2 = 20 А/м.

Выберем контур L₂радиусаr₂с центром на оси проводника. По теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

, гдеåI_охв2=jS=jpR², гдеS– площадь поперечного сечения проводника, Н₂=constдля всех точек контураL₂.

Получим: Н₂×2pr₂=jpR², отсюда Н₂ = jR/(2r₂),

Н₂ = 800×0,1²/(2×0,4) = 10 А/м.

Ответ: Н₁= 20 А/м, Н₂ = 10 А/м.

Задача 5.По плоскости протекает электрический ток с линейной плотностьюj= 80 А/м (ток, приходящийся на единицу длины в направлении перпендикулярном току). Найти индукцию магнитного поля тока плоскости.

Решение.

Выберем контур Lв виде прямоугольника с основанием а и высотойb, плоскость которого перпендикулярна плоскости с током и который делится плоскостью тока пополам параллельно основаниям прямоугольника.

Мысленно разделим плоскость с током на узкие параллельные полосы вдоль направления тока. Линии магнитной индукции для тока, протекающего по каждой полосе, представляют собой окружности с центрами на полосах и с направлением по ходу часовой стрелки. Если по принципу суперпозиции сложить векторы магнитной индукции от каждой полосы, то над плоскостью получим вектор, направленный горизонтально влево, а под плоскостью-вектор, направленный горизонтально вправо. По теореме о циркуляции вектора магнитной индукции, гдеåI_охв– суммарный ток, охватываемый контуромL. Для верхнего и нижнего оснований прямоугольника, а для боковых сторони В_L= 0.åI_охв=j×а. Тогда 2Ва =m₀/jа. Следовательно, В =m₀×j/2.

В = 4×3,14×10^-7×80/2 = 5×10^-5Тл.

Ответ: В = 5×10^-5Тл.