3. Численное интегрирование.

3.1. Постановка задачи.

Численное значение определенного интеграла определяется по формуле

,

где a, b – пределы интегрирования;f(x) – подинтегральная функция;

F(x) – первообразная подинтегральной функцииf(x).

В практических задачах достаточно редко удается найти точное аналитическое решение, поэтому приходится прибегать к приближенному численному интегрированию. Для этого обычно заменяют функцию f(x) на близкую к ней и совпадающую с ней в ряде точек функцию(x), для которой можно найти аналитическое решение. Поскольку на широком интервале [a,b] такую функцию подобрать сложно, то исходный интервал разбивают на несколько более узких и вычисляют общий интеграл как сумму интегралов по узким интервалам.

Наиболее часто функцию f(x) заменяют алгебраическим многочленом

.

Порядок многочлена определяется максимальной степенью при параметре x. Обычно ограничиваются следующими аппроксимациями:

- нулевая степень;

- первая степень;

- вторая степень.

3.2. Метод прямоугольников.

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a,b] можно представить как площадь под кривой f(x), ограниченной пределами интегрирования и осью абсцисс. Разобьем отрезок [a,b] на n отрезков одинаковой длины

.

В результате получим набор равноудаленных друг от друга точек . Рассмотрим один отрезок [x_i-1,x_i].

Для аппроксимации функции f(x) будем использовать полином нулевой степени , где- некоторая постоянная величина, ограниченная значениямиf(x_i-1) и f(x_i). Если принять, что величина равна значениюf(x_i-1) на левом крае отрезка, то площадь криволинейной трапеции будет приблизительно равна площади заштрихованного на рис.3.1.а прямоугольника

.

Сумма площадей всех прямоугольников даст приближенное значение интеграла:

. (3.1)

Это формула левых прямоугольников.

В качестве величины можно взять значение функции на правой границе отрезкаf(x_i). Площадь заштрихованного прямоугольника на рис.3.1.б будет равна

,

а значение интеграла:

. (3.2)

Это формула правых прямоугольников.

Если вычислять значение функции не на краях, а в середине интервала, то, согласно рис.3.1.в, можно ожидать увеличения точности, поскольку завышенные значения площади по сравнению с истинными на одной стороне прямоугольника компенсируются заниженными значениями на другой стороне. Площадь заштрихованного прямоугольника будет равна

,

а величина интеграла:

. (3.3)

Это формула средних прямоугольников.

Блок-схема метода прямоугольников с заданным количеством разбиений приведена на рис. 3.2.

Для начала расчета задаются границы интегрирования [a,b] и количество подинтервалов n, на которые разбивается основной интервал. Затем в соответствии с выбранным методом интегрирования суммируются значения функции на каждом из подинтервалов. Поскольку длины подинтервалов равны между собой, то величину x целесообразно вынести за знак суммы и умножить на эту величину окончательную сумму значений функций.

Сумма длин подинтервалов точно равна общей длине интервала интегрирования, поэтому в этом алгоритме не нужен контроль за совпадением концов последнего подинтервала и всего интервала.

В некоторых случаях более удобно задавать не количество разбиений, а шаг интегрирования x. При этом величина x может быть не кратной длине интервала интегрирования, поэтому на последнем шаге необходима проверка совпадения длин и при необходимости корректировка величины x. Поскольку x может измениться, то его нельзя выносить за знак суммы.

Блок-схема метода приведена на рис.3.3.

3.3. Метод трапеций.

Если для аппроксимации функции f(x) взять полином первой степени и поставить условие, чтобы значения функцийf(x) и (x) совпадали на концах подинтервалов, то заштрихованная площадь на рис.3.4. будет равна

,

а вся площадь под кривой, соответствующая значению определенного интеграла,

. (3.4)

Это формула трапеций.

Вычисления по методу трапеций также могут быть организованы как с заданным количеством подинтервалов n, так и с заданной величиной шагаx. В блок-схемах алгоритмов на рис.3.2 и рис.3.3 изменится только узел вычисления интегральной суммы:

или, например, организован цикл:

Метод трапеций удобно применять, когда подинтегральная функция задана табличным способом и известны значения функции только на границах подинтервалов.

3.4. Метод Симпсона.

Возьмем для аппроксимации функции f(x) многочлен второй степени . Чтобы определить коэффициенты a,b,c, необходимо на интервале аппроксимации задать три точки. Выберем шаг интегрирования x и вычислим значения функции на концах интервала и в его середине. Обозначим, как это показано на рис.3.5, значения аргумента через x₀, x₁, x₂ и, соответственно, значения функции через f₀, f₁, f₂. Половину шага интегрирования обозначим как .

Уравнение параболы, проходящей через три точки, можно записать в виде

.

Учитывая, что , при интегрировании этой функции в пределах отx₀ до x₀+2h после преобразований получим:

.

Для всего интервала интегрирования будем иметь:

, (3.5)

где .

Это формула Симпсона.

Как и для рассмотренных ранее методов, вычисления интегралов по формуле Симпсона могут быть по блок-схемам рис.3.2 или рис.3.3.

3.5. Погрешность вычислений различных методов.

Точное значение определенного интеграла можно представить в виде

,

где S_i^мет - площадь элементарной фигуры (прямоугольника, прямолинейной или криволинейной трапеции), вычисленная по какому-либо методу; R^мет – погрешность вычисления этого метода.

С увеличением количества разбиений n возрастает количество элементарных фигур, при этом ширина их уменьшается, а ломаная линия, ограничивающая площадь фигур сверху, более тесно приближается к графику функции f(x). В результате этого сумма площадей элементарных фигур становится ближе к площади криволинейной трапеции, поэтому можно считать, что при достаточно большом n эта сумма дает приближенное значение определенного интеграла.

Для оценки влияния количества разбиений или, что то же самое, длины шага интегрирования на погрешность вычислений в качестве тестовой задачи в табл.3.1. приведены результаты расчета значения определенного интеграла

различными методами, точное значение которого до шестого знака после запятой равно 2,718282.

Таблица 3.1