16 Образ и ядро ЛО
.pdfЛекция 16: Образ и ядро линейного оператора
Б.М.Верников
Уральский федеральный университет,
Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Вступительные замечания
В этой лекции мы завершаем изучение линейных операторов. С каждым линейным оператором в векторном пространстве V связыны два важных множества векторов образ и ядро оператора. После определения этих понятий мы проверим, что образ и ядро любого оператора являются подпространствами в V , докажем теорему о связи между их размерностями и приведем алгоритмы нахождения базисов образа и ядра, в том числе алгоритм Чуркина их одновременного нахождения.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Определения образа и ядра
Определение
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Образом оператора A называется множество всех векторов y 2 V таких, что A(x) = y для некоторого x 2 V . Ядром оператора A называется множество всех векторов x 2 V таких, что A(x) = 0. Образ оператора A обозначается через Im A, а его ядро через Ker A.
Отметим, что каждое из множеств Im A и Ker A непусто. Для первого из них это очевидно, а для второго вытекает из замечания 1 в лекции 14.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Образ и ядро подпространства
Замечание 1
Образ и ядро линейного оператора, действующего в пространстве V , являются подпространствами в V .
Доказательство. Пусть y1; y2 2 Im A, а t произвольное число. Тогда существуют векторы x1; x2 2 V такие, что A(x1) = y1 и A(x2) = y2. Следовательно,
y1 + y2 = A(x1) + A(x2) = A(x1 + x2) и ty1 = tA(x1) = A(tx1):
Это означает, что x1 + x2; tx1 2 Im A, и потому Im A подпространство в
V .
Далее, пусть x1; x2 2 Ker A, а t вновь произвольное число. Тогда
A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) = 0 + 0 = 0 и A(tx1) = tA(x1) = t 0 = 0:
Это означает, что x1 + x2; tx1 2 Ker A, и потому Ker A подпространство в V .
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Связь между размерностями образа и ядра (1)
Замечание 1 позволяет говорить о размерности и базисе образа и ядра оператора A. В следующей теореме указана связь между размерностями этих подпространств, а из ее доказательства легко извлекается способ нахождения их базисов.
Теорема 1
Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора A равна размерности V .
Доказательство. Положим dim V = n и зафиксируем произвольный базис f1; f2; : : : ; fn пространства V . Обозначим матрицу оператора A в этом базисе через A, а ее ранг через r. Пусть x 2 V , а (t1; t2; : : : ; tn) координаты вектора x в базисе f1; f2; : : : ; fn. Тогда
A(x) = A(t1f1 + t2f2 + + tnfn) = t1A(f1) + t2A(f2) + + tnA(fn):
Поскольку пространство Im A состоит из векторов вида A(x), мы получаем, что набор векторов A(f1); A(f2); : : : ; A(fn) является системой образующих этого пространства. Следовательно, размерность Im A равна размерности подпростанства, порожденного указанным набором векторов. Учитывая, что столбцы матрицы A суть в точности столбцы координат векторов A(f1); A(f2); : : : ; A(fn) в базисе f1; f2; : : : ; fn, мы получаем, что размерность Im A равна рангу A по столбцам, т. е. dim Im A = r.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Связь между размерностями образа и ядра (2)
Далее, пусть x 2 V , а X столбец координат вектора x в базисе
f1; f2; : : : ; fn. Ясно, что x 2 Ker A тогда и только тогда, когда AX = O, где O нулевой столбец. Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений
AX = O. В силу теоремы 2 из лекции 13 dim Ker A = n r. Следовательно, dim Im A + dim Ker A = r + (n r) = n.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Алгоритмы нахождения базисов образа и ядра
Пусть A матрица оператора A в некотором базисе. Как видно из доказательства теоремы 1, пространство Im A совпадает с пространством, порожденным векторами-столбцами матрицы A или, что то же самое, с пространством, порожденным векторами-строками матрицы A>. Учитывая алгоритм нахождения базиса подпространства, изложенный в лекции 9, мы получаем следующий
Алгоритм нахождения базиса и размерности образа линейного оператора
Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Im A, надо привести к ступенчатому виду матрицу A>. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространства Im A, а число этих строк его размерностью.
Из доказательства теоремы 1 непосредственно вытекает также следующий
Алгоритм нахождения базиса и размерности ядра линейного оператора
Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Ker A, надо найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений, основная матрица которой есть A. Она и будет базисом пространства Ker A, а число векторов в ней его размерностью.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Алгоритм Чуркина (1)
В заключение лекции приведем еще один алгоритм нахождения базисов и размерностей образа и ядра оператора A. Его преимуществом является то, что он позволяет найти базисы образа и ядра одновременно. Алгоритм это был придуман совсем недавно в 1991 г. Его автором является новосибирский математик В. А. Чуркин.
Алгоритм одновременного нахождения базисов и размерностей образа и ядра линейного оператора (алгоритм Чуркина)
Пусть оператор A имеет в базисе f1; f2; : : : ; fn матрицу A. Составим матрицу B порядка n 2n следующим образом. В левой половине (т. е. в первых n столбцах) этой матрицы запишем матрицу A>, а в ее правой половине (в последних n столбцах) единичную матрицу. Элементарными преобразованиями всей матрицы B приведем ее левую половину к ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через C,
еелевую половину через C1, а ее правую половину через C2. Тогда:
(i)ненулевые строки матрицы C1 образуют базис образа оператора A;
(ii)строки матрицы C2, которые являются продолжениями нулевых строк матрицы C1, образуют базис ядра оператора A.
Утверждение (i) немедленно вытекает из описанного ранее алгоритма нахождения базиса образа и того факта, что в процессе преобразований левая и правая части матрицы не ¾перемешиваются¿.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Алгоритм Чуркина (2)
Обоснуем утверждение (ii). Заметим, что вектор fi имеет в базисе
f1; f2; : : : ; fn координаты (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0), где 1 стоит на i-м месте. Поэтому можно считать, что единичная матрица, стоящая в правой части матрицы B, есть матрица, в которой по строкам записаны координаты векторов f1; f2; : : : ; fn в базисе, составленном из этих векторов. Вспоминая определение матрицы оператора, получаем, что в левой половине i-й строки матрицы B стоят координаты вектора A(fi ) в базисе f1; f2; : : : ; fn. Итак, матрица B обладает следующим свойством: если в правой части какой-то строки этой матрицы стоят координаты некоторого вектора x в базисе f1; f2; : : : ; fn, то в левой части этой строки стоят координаты вектора A(x) в том же базисе. Нетрудно проверить, что это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях матрицы. Поскольку матрица C получена из B элементарными преобразованиями, она также обладает указанным свойством. Обозначим через x1; x2; : : : ; xk строки матрицы C2, являющиеся продолжениями нулевых строк матрицы C1. В силу сказанного выше A(xi ) = 0, т. е. xi 2 Ker A для всякого i = 1; 2; : : : ; k. Далее, можно проверить, что векторы x1; x2; : : : ; xk линейно независимы. Из утверждения (i) вытекает, что k + dim Im A = n. По теореме 1
k = dim Ker A. Итак, x1; x2; : : : ; xk линейно независимый набор векторов из Ker A, число векторов в котором равно размерности этого подпространства. В силу замечания 8 из лекции 8 эти векторы образуют базис Ker A.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |
Алгоритм Чуркина: пример
В качестве примера найдем базисы и размерности образа и ядра линейного оператора A, заданного матрицей матрицей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 0 |
1 |
0 3 41 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B 1 0 2 1C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
0 1 |
|
2C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действуя по указанному выше алгоритму, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 1 0 0 1 |
0 |
|
1 3 |
2 1 |
0 0 1 0 1 |
|
|
|
|||||||
B |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 0 0 0 |
B |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
1 0 0 0 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
0 0 1 0 C |
3 4 1 2 |
0 0 0 1 C |
|
|
|
||||||||||
B |
|
3 |
|
4 |
|
1 |
|
2 |
0 0 0 1 C B |
0 0 0 0 |
0 1 0 0 C |
|
|
|
|||||||||
@ |
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||
0 0 |
|
|
1 0 2 0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
1: |
|||||||||||||
|
5 5 1 |
0 |
5 |
5 1 |
1 |
0 2 |
0 |
||||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 0 0 0 |
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
B |
0 5 5 1 |
3 0 0 2 C |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 0 |
2 |
0 2 |
2 |
||||||||||||||||
B |
0 |
|
0 |
|
0 0 |
0 1 0 0 C B |
0 |
0 |
|
0 0 |
0 |
1 0 |
0 |
C |
|||||||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Для наглядности мы провели в последней матрице горизонтальную черту, которая в левой части матрицы ограничивает снизу базис образа, а в правой части ограничивает сверху базис ядра. Итак, векторы (2; 1; 1; 1) и (0; 5; 5; 1) образуют базис образа оператора A, а векторы (2; 0; 2; 2) и
(0; 1; 0; 0) базис его ядра. Ясно, что размерностиобраза и ядра равны 2.
Б.М.Верников |
Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора |