stroymekh_metodichka_po_vtoroy_labe
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. К. Манжосов
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК
Методические указания
Ульяновск
2010
УДК 624.04(076) ББК 38.121я7
М 23
Рецензент канд. техн. наук, доцент А. Н. Черный
Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета
Манжосов, В. К.
М23 Расчет трехшарнирных арок : методические указания. – Ульяновск :
УлГТУ, 2010. – 36 с.
Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.
Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.
УДК 624.04(076) ББК 38.121я7
.
Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК
Методические указания
Редактор М. В. Теленкова
Подписано в печать 01.10.2010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ 1040.
Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.
Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32
Манжосов В. К., 2010.Оформление. УлГТУ, 2010
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК …………………..…………….. |
4 |
1. Основные положения……………………………………………… |
4 |
2. Пример расчета трехшарнирной арки…………………………… |
13 |
2.1. Задание для расчета………………………………………….. |
13 |
2.2. Кинематический анализ……………………………………… |
14 |
2.3. Определение реакций в опорах арки ………………………. |
14 |
2.4. Определение внутренних силовых факторов в поперечных |
|
сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, поперечных |
15 |
сил и изгибающих моментов…………………………………….. |
|
2.4.1. Определение внутренних силовых факторов в верти- |
|
кальных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, |
15 |
поперечных сил и изгибающих моментов…………………. |
|
2.4.2. Определение внутренних силовых факторов в попе- |
|
речных сечениях арки. Построение эпюр продольных сил, |
19 |
поперечных сил и изгибающих моментов………………….. |
|
2.5. Линии влияния опорных реакций …………………………… |
22 |
2.6. Линии влияния продольной силы, поперечной силы и изги- |
23 |
бающего момента для заданного сечения арки…….…………… |
|
2.7. Определение усилий по линиям влияния и сопоставление с |
29 |
аналитическими данными…………………………………………. |
|
2.7.1. Определение реакций опор по линиям влияния……… |
29 |
2.7.2. Определение по линиям влияния значений продольной |
|
силы, поперечной силы и изгибающего момента в заданном |
30 |
сечении………………………………………………………… |
|
РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ….…………………... |
33 |
ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………….. |
34 |
3
РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК 1. Основные положения
Основные понятия. Арочными называются системы криволинейного (рис. 1.1, а) или ломаного (рис. 1.1, б) очертания, в опорах которых от вертикальной нагрузки возникают наклонные реакции, направленные, как правило, внутрь пролета. Горизонтальная составляющая такой реакции называется распором.
а) |
б) |
Рис. 1.1. Трехшарнирная арочная система |
|
Пролетом арки l |
называют расстояние между опорными вертикалями. |
Стрелой подъема арки |
f называют расстояние от наиболее удаленной точки |
оси арки (ключевого шарнира) до линии, соединяющей центры опор.
Геометрически неизменяемость системы. Трехшарнирная арочная сис-
тема является геометрически неизменяемой системой. Для того, чтобы образованная стержневая система была геометрически неизменяема, необходимо, чтобы число степеней свободы w системы было равно нулю. Число степеней свободы w стержневой системы, состоящей из n стержней, соединенных с помощью p шарниров, и имеющей C0 опорных стержней, можно определить как
w 3n 2 p C0 . |
(1.1) |
Тогда при w = 0 общее число опорных стержней C0 |
должно соответство- |
вать равенству |
|
C0 3n 2 p . |
(1.2) |
Для двух стержней арки ( n 2), соединяемых одним шарниром (p = 1),
число опорных стержней
C0 3n 2 p 3 2 2 1 4 .
Заметим, что шарнирно-неподвижная опора эквивалентна двум опорным стержням и шарнирно-подвижная опора – одному опорному стержню.
Встречаются стержневые арочные системы, когда два соединяемых стержня помимо ключевого шарнира скреплены еще одним стержнем (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Трехшарнирная арка с затяжкой
4
Такие арочные системы называются трехшарнирной аркой с затяжкой. Обратим внимание на то, что для трехшарнирной арки с затяжкой (когда n 3 , p 3 ) число опорных стержней из (1.2) равно
C0 3n 2 p 3 3 2 3 3 .
Стержень, осуществляющий затяжку, испытывает нагрузку только со стороны стягиваемых стержней и работает только на растяжение.
Статическая определимость системы. При разделении трехшарнирной арочной системы на n составных стержней мы можем составить 3n уравнений равновесия (по три для каждого стержня). Число неизвестных реакций связей при этом будет равно числу опорных стержней C0 плюс 2 p реакций связей (по
две на каждое шарнирное соединение) при разделении трехшарнирной арочной системы в шарнирных соединениях.
Для определения неизвестных реакций необходимо, чтобы число уравне-
ний равновесия было равно числу неизвестных: |
|
3n C0 2 p . |
(1.3) |
Так как для геометрически неизменяемой трехшарнирной арки из (1.2) это условие обеспечивается, то поставленная задача по определению опорных реакций разрешима и трехшарнирная арка является статически определимой системой.
Определение реакций в опорах арки. При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 1.3) в ее опорах возникают неизвестные реакции: в шарнирно неподвижной опоре эту реакцию можно представить в виде двух составляющих, в шарнирно подвижной опоре – в виде одной составляющей.
а) Трехшарнирная арка с шарнирно неподвижными опорами б) Трехшарнирная арка с затяжкой
Рис. 1.3. Схема внешней нагрузки на арку и реакции, возникающие в опорах
При определении опорных реакций для плоской системы сил можно использовать три уравнения равновесия. В трехшарнирной арке с двумя неподвижными опорами (рис. 1.3, а) неизвестных реакций четыре: VA , H A , VB , HB .
5
Для определения неизвестных реакций VA , H A , VB , HB вначале составляем для всей системы (рис. 1.3, а) три уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х ( Pix 0 ), в виде равенства нулю суммы
моментов всех сил относительно точки А ( M A (Pi ) 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки В M B (Pi ) 0 .
Далее целесообразно систему разделить на составные стержни (рис. 1.4) и рассмотреть равновесие либо левого, либо правого стержня в виде равенства нулю суммы моментов сил, действующих на стержень, относительно точки С
( MC (Pi ) 0 ).
Рис. 1.4. Схема разделения трехшарнирной арки на составные стержни
В трехшарнирной арке с затяжкой (рис. 1.3, б) неизвестных реакций три: VA , VB , HB . Для определения неизвестных реакций VA , VB , HB достаточно три
уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций всех сил на ось х ( Pix 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точ-
ки А ( M A (Pi ) 0 ), в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относи-
тельно точки В ( M B (Pi ) 0 ).
Однако при определении внутренних силовых факторов в поперечных сечениях, расположенных выше стержня, обеспечивающего затяжку, с использованием метода сечений необходимо знать силы, с которыми стержень-затяжка действует на стержни арки. Для их определения следует отбросить стерженьзатяжку и заменить его действие неизвестными реакциями Н (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Схема разделения трехшарнирной арки с затяжкой на составные стержни
Далее, разделив арку по шарниру С, следует рассмотреть условия равновесия либо левой, либо правой части в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на левый или правый стержень, относительно точки С
( MC (Pi ) 0 ).
6
Например, для схемы на рис. 1.5 можно составить условие равновесия левой части:
MC (Pi ) 0 , |
VA l / 2 H hH q l hq 0 , |
(1.4) |
||
где hH f f плечо силы |
H |
относительно моментной |
точки С, |
|
hq l / 2 l / 2 плечо равнодействующей q l |
распределенных сил относи- |
|||
тельно моментной точки С. |
|
|
|
|
Из уравнения (1.4) находим Н: |
H (VA l / |
2 q l hq ) / hH . |
|
После определения неизвестных реакций можно приступать к определению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержней арки.
Положение поперечного сечения. Линия оси арки. При определении внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержней арки важно знать положение поперечного сечения в любой точке оси арки. Поперечное сечение v v в произвольной точке оси арки перпендикулярно касательной u u в этой точке (рис. 1.6) и расположено под углом к вертикальному сечению.
Касательная u u составляет с осью х угол, равный .
Рис. 1.6. Схема, показывающая положение произвольного поперечного сечения арки
Таким образом, положение поперечного сечения на оси арки определяется координатами х и y его центра тяжести и углом . Так как угол есть угол
наклона касательной в данной точке оси арки, то этот угол можно определить, взяв первую производную функции y F(x) , описывающей линию оси арки, и
используя известное равенство: tg y .
Возникает необходимость нахождения функции y F(x) . Рассмотрим не-
которые случаи.
1. Линия оси арки – участок параболы с вершиной в точке С. В этом случае линия оси арки описывается функцией
|
|
y ax2 bx c , |
(1.5) |
||
а ее производная |
|
y 2ax b , |
(1.6) |
||
где a, b, c неизвестные коэффициенты. |
|
|
|
||
Эти коэффициенты определим из следующих равенств (рис. 1.6): |
|
|
|||
при x 0 |
y 0 , откуда из (1.5) |
следует, что c 0 ; |
|||
при x l / 2 |
y 0 , откуда из (1.6) |
следует, что b al ; |
|||
при x l / 2 |
y f , откуда из (1.5) следует, что |
|
|
||
f a(l / 2)2 bl / 2 ; f a(l / 2)2 al2 / 2 ; откуда a |
4 f |
. |
|||
|
|||||
|
|
|
|
l2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
Итак, если линия оси арки это участок параболы и арка соответствует схеме на рис. 1.6, то из (1.5) и (1.6) с учетом значений коэффициентов получим
y |
4 f |
(l x)x ; |
y |
4 f |
(l 2x) . |
(1.7) |
l2 |
l2 |
|||||
2. Линия оси арки – |
дуга окружности радиуса R , когда точка С и центр |
окружности (точка О) расположены на одной вертикали (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Схема трехшарнирной арки, когда линия оси арки – дуга окружности
В системе координат y1 x1 окружность описывается уравнением |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
x2 |
R2 . |
|
|
|
|
(1.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для перехода к координатам y и х используем соотношения |
|
|
|||||||||||||||
|
|
y1 y (R f ) , |
|
x1 |
x l / 2 . |
|
(1.9) |
||||||||||
Из (1.8) с учетом, что для арки |
y |
0 , следует y R2 |
x2 . |
|
|||||||||||||
Подставляя (1.9), получим |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y (R f ) = |
R2 (x l / 2)2 |
, |
y = |
R2 (x l / 2)2 (R f ) , |
(1.10) |
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
l / 2 x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
R2 (x l / 2)2 . |
|
|
(1.11) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для схемы, представленной на рис. 1.7, радиус окружности R , длина про- |
|||||||||||||||||
лета l |
и стрела подъема f связаны соотношением |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
R |
|
f 2 |
|
(l / 2)2 |
f |
|
l2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(1.12) |
||
|
|
|
|
|
2 f |
|
|
2 |
8 f |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Линия оси арки – прямая линия (рис. 1.8). |
|
|
|
Рис. 1.8. Схема трехшарнирной системы, когда линия оси – прямая линия
8
На участке 0 x l / 2 |
уравнение прямой АС имеет вид |
|
||||||
y kx , |
y k , |
0 x l / 2 |
, |
|
|
(1.13) |
||
где k tg – угловой коэффициент, |
tg |
f |
, |
k |
f |
. |
|
|
l / 2 |
l / 2 |
|
||||||
На участке l / 2 x l |
|
|
|
|
|
|
||
уравнение прямой СВ имеет вид |
|
|||||||
y f k(x l / 2) , |
y k , |
|
l / 2 x l . |
(1.14) |
Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях.
Пусть мы имеем схему арки (рис. 1.9), у которой определены реакции в опорах, известно уравнение линии оси арки и для любой точки этой линии с координатами х и у известно положение поперечного сечения v v , определяемое углом .
Рис. 1.9. Схема трехшарнирной арки
Пусть в некоторой точке с координатами xp и yp действуют составляю-
щие силы Р: Px и Py .
Вначале определим внутренние силовые факторы N0 , Q0 , M0 в вертикальном сечении I ( N0 продольная сила, Q0 поперечная сила, M0 изгибающий момент).
Рис. 1.10. Схема определения внутренних сил в вертикальном сечении I
Если заданные силы и реакции в опорах представлены на расчетной схеме в виде вертикальных и горизонтальных составляющих, то для определения внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I можно использовать схемы положительных слагаемых, представленных на рис. 1.11 для левой отсеченной части арки.
9
а) б) в)
Рис. 1.11. Схемы положительных слагаемых левой отсеченной части арки при составлении выражений для внутренних силовых факторов в вертикальном сечении арки
Если сила Pi (рис. 1.11, а) направлена от вертикального сечения, то она входит положительным слагаемым в выражение для продольной силы N0 .
Если сила Pi (рис. 1.11, б) направлена вверх, то она входит положительным слагаемым в выражение для поперечной силы Q0 .
Если вертикальные или горизонтальные составляющие силы стремятся повернуть отсеченную часть арки по часовой стрелке относительно точки с координатами х и у, то моменты этих сил относительно этой точки входят положительными слагаемыми в выражение для изгибающего момента M0 :
M0 Vi (x xi ) Hi ( y yi ) . |
(1.15) |
Если возвратиться к схеме, представленной на рис. 1.10, то для вертикального сечения I с использованием схем положительных слагаемых (рис. 1.11) можно составить следующие выражения для внутренних силовых факторов:
N0 H A Px , |
Q0 VA Py , |
(1.16) |
M0 VA (x xA ) Py (x xp ) H A ( y yA ) Px ( y yp ) . |
(1.17) |
После того, как определены внутренние силовые факторы в вертикальном сечении I, можно перейти к определению внутренних силовых факторов в поперечном сечении v v арки, повернутом относительно вертикального сечения на угол .
Рассмотрим схему внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I (рис. 1.12, а).
а) б)
Рис. 1.12. Схемы внутренних силовых факторов в вертикальном сечении I и поперечном сечении арки
Продольная сила N в поперечном сечении v v арки (рис. 1.12, б) равна сумме проекций сил в вертикальном сечении I (рис. 1.12, а) на нормаль u u :
10