ПП _09 _Многомерные СВ
.pdfПП 9. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ
1. Многомерные случайные величины
Многомерной случайной величиной или случайным вектором назы-
вается совокупность случайных величин Х(ω)={X1 , X 2 ,..., X n } .
Геометрическая интерпретация двумерной случайной величины - это слу-
JJJJG
чайная точка на плоскости с координатами (X,Y) или случайный вектор OM .
y |
y |
|
|
|
|
(X,Y) |
(X,Y) |
M |
|
|
0 X x 0 X x
2. Функции распределения многомерных дискретных и непрерывных случайных величин
Функцией распределения многомерной случайной величины (совме-
стной функцией распределения одномерных случайных величин)
называется вероятность совместного выполнения n неравенств:
F (x1, x2 ,..., xn ) = P{X1 < x1, X 2 < x2 ,..., X n < xn} .
Совместная функция распределения двух случайных величин (X,Y) есть вероятность совместного выполнения двух неравенств
F(x,y)=P{X<x,Y<y}.
Геометрически это означает вероятность попадания случайной точки (X,Y) в заштрихованную область.
y
(x,y)
0 |
x |
X |
|
Основные свойства совместной функции распределения F(x,y): |
1°. Функция F(x,y) не убывает. |
|
2°. |
F (− ∞, y)= F (x,−∞)= F (− ∞,−∞)=0, ( F (− ∞, y)= P({X < −∞}{Y < y}) = 0 ). |
3°. |
F (∞, ∞) =1, F (∞, ∞) = p({X < ∞}{Y < ∞}) =1. |
|
(заштрихованная область заполняет всю плоскость, попадание на нее слу- |
|
чайной точки - событие достоверное). |
4°. |
Если F1 (x), F2 ( y) - функции распределения одномерных случайных величин, |
|
то: F (x, ∞) = F1 (x), F (∞, y) = F2 ( y) , F1 (x) = P{X < x,Y < ∞} = F (x, ∞) (по многомер- |
|
ному распределению можно восстановить одномерное распределение). |
1
5°. Вероятность попадания двумерной случайной величины в пределы заданного прямоугольника со сторонами a1, b1 и
a2 , b2 :
P(a1 ≤ X <b1; a2 ≤Y <b2 ) =
= F(b1,b2 ) −F(a1,b2 ) −F(b1, a2 ) + F(a1, a2 ).
b2 |
(a1, b2 ) |
(b1,b2 ) |
|
|
|
a2 |
(a1, a2 ) |
(b1, a2 ) |
0 |
a1 |
b |
|
|
1 |
Двумерные дискретные случайные величины (ДДСВ)
X ={X ,Y} называется дискретной, если случайные величины X и Y имеют
конечное множество возможных значений: X ={x1, x2 ,..., xk },
Y ={y1, y2 ,..., ys }.
Вероятность того, что случайная величина X примет значение xi, а случайная величина Y – значение yj, называется законом распределения двумерной
Pij = P{X = xi ;Y = y j } .
Событие {X ,Y} есть произведение событий {X = xi }{Y = y j } ;
Рij – совместная вероятность.
Закон распределения ДСВ может быть задан аналогично ряду распределения для одномерной СВ таблицей (или матрицей) распределения:
yi |
y1 |
y2 |
… |
ys |
xi |
|
|
|
p1s |
x1 |
p11 |
p12 |
… |
|
x2 |
p21 |
p22 |
|
p2s |
… |
… |
… |
… |
… |
xk |
pk1 |
pk 2 |
… |
pks |
1) Pij ≥ 0, i, j .
2) ∑Pij =1, |
|
k s |
|
|
|
∑∑= ∑ . |
|||
i, j |
i=1 j=1 |
i, j |
|
s |
k |
3) P{X = xi } = ∑Pij (сумма по строке), |
P{Y = y j } = ∑Pij (сумма по столбцу). |
j=1 |
i=1 |
Чтобы найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет значение xi(yj) надо просуммировать вероятности Pij, стоящие в i-той строке (j- том столбце) матрицы распределения.
2
Двумерные непрерывные случайные величины (ДНСВ)
X ={X ,Y} называется непрерывной, если ее функция распределения F(x,y) является непрерывной функцией и существует функция f(x,y) – называется (со-
x y
вместная) плотность распределения, F(x, y) = ∫ ∫ f (x, y)dxdy .
−∞ −∞
Свойства функции f (x,y):
1.f (x, y) ≥ 0 ;
2.∞∫ ∞∫ f (x, y)dxdy =1.
−∞−∞
Элемент вероятности равен вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник dxdy, а вероятность приблизительно равна объему f(x,y)dxdy.
Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D плоскости XOY геометрически означает объем тела с основанием D и ограниченного сверху поверхностью f(x,y). P{( X ,Y ) D} = ∫∫ f (x, y)dxdy .
|
D |
Если известен закон распределения НМСВ, то можно найти закон рас- |
|
пределения каждой из величин. |
|
f1 (x) = ∞∫ f (x, y)dy; f2 ( y) = ∞∫ f (x, y)dx . |
|
−∞ |
−∞ |
3. Зависимые и независимые случайные величины
Построим многомерный закон распределения по известным одномерным, когда одномерные случайные величины, составляющие многомерную случайную величину, являются независимыми.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда их
совместная |
функция |
распределения |
равна |
||
произведению |
функций |
распределения |
одномерных |
случайных |
|
величин X и Y : |
F (x, y) = F1 (x) F2 ( y) . |
|
|
|
|
ДСВ X и Y независимы тогда и только тогда, когда |
|
||||
Pij = pi qj ; |
Pij = P{X = xi ;Y = y j }; pi = P{X = xi } ; q j = P{Y = y j } |
|
(каждый элемент Pij матрицы распределения двух независимых с.в.
равен произведению соответствующих (i-того и j-того) элементов рядов распределения с.в. X и Y).
НСВ X и Y независимы тогда и только тогда, когда f (x, y) = f1 (x) f2 ( y) (совместная плотность распределения равна произведению плотностей распределения одномерных с.в.).
4. Условные законы распределения
3
Если СВ X и Y , образующие двумерную ДСВ (X ,Y ), зависимы, для ха-
рактеристики этой зависимости вводят понятие условного распределения:
P (B A)= PP((ABA)).
|
|
Условным законом распределения случайной величины |
X , |
входя- |
||||||||||||||||||||||
щей в систему случайных величин (X ,Y ), называется ее закон распределения, |
||||||||||||||||||||||||||
найденный при условии, что вторая случайная величина Y приняла определен- |
||||||||||||||||||||||||||
ное значение (или попала в определенный интервал). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим |
ДДСВ. |
Пусть |
|
X ={x1 , x2 ,..., xk }, |
Y ={y1 , y2 ,..., ys }, |
|||||||||||||||||||
pij =P(X =xi ;Y = yj ), i =1,2,...,k; j =1,2,...,s. Безусловные вероятности компонент: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Pxi = P (X = xi )= ∑s |
P (X = xi ;Y = y j )= ∑s |
pij , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Py j = P(Y = y j )= ∑P(X = xi ;Y = y j )= ∑pij . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условная вероятность P(X =xi |
|
Y = yj )= |
P(X = xi ;Y = yj ) |
|
или |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
P(Y = yj ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(xi |
|
yj )= |
pij |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
P(X =xi ;Y = yj ) |
|
|
Pyj |
|
pij |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
P(Y = yj |
|
X =xi )= |
|
или P(yj |
|
xi )= |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
P(X =x ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Px |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
P(xi |
|
|
yj ), |
|
|||
|
|
Если безусловные и условные вероятности |
( Pxi |
|
и |
|
|
Pyj и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
P(yj |
|
xi )) отличаются, величины X и Y |
|
зависимы, если совпадают – незави- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
симы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для ДНСВ (X ,Y ) |
с плотностью f (x, y ) суммы заменяются интегралами. |
Безусловные плотности распределения компонент X и Y равны: f1 (x)= ∫−∞∞ f (x, y )dy , f2 (y )= ∫−∞∞ f (x, y )dx .
Условная плотность распределения (или плотность вероятности
условного распределения) случайной величины |
X при условии, что случай- |
||||||
ная величина Y = y определяется как |
|
|
|
||||
f (x |
|
y )= |
f (x, y ) |
= |
f (x, y) |
|
, f2 (y)≠ 0 . |
|
|||||||
|
|
∞ |
|||||
|
|
|
f2 (y ) |
∫−∞ f (x, y)dx |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Условная плотность обладает всеми свойствами плотности распределения: f (x y)≥ 0, ∫−∞∞ f (x y)dx =1,
4
f (y |
|
x)= |
f (x, y ) |
= |
f (x, y) |
, f1 (y)≠ 0 . |
|
||||||
|
f1 (x) |
∞ |
||||
|
|
|
|
∫−∞ f (x, y )dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x,y)= f1 (x) f (y x)= f2 (y) f (x y).
5.Числовые характеристики двумерной случайной величины
Вдвумерном случае числовые характеристики могут описывать не только среднее значение и степень рассеяния компонент, но и степень зависимости между компонентами.
Математическим ожиданием ДСВ (X ,Y ) называется упорядоченная пара чисел (MX ,MY ).
Для ДДСВ:
|
k |
s |
|
|
k |
s |
|
= yj ). |
|
MX = mx = ∑∑xi pij , MY = my = ∑∑y j pij , pij =P(X = xi ;Y |
|
||||||||
|
i=1 j=1 |
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
||
Для ДНСВ: |
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
∞ |
(x, y)dxdy , |
∞ ∞ |
|
(x,y)dxdy , |
|
|
|
|
MX = ∫ |
∫ xf |
MY = ∫ ∫ yf |
|
|
|
||||
−∞ −∞ |
|
|
−∞−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
f (x, y ) – плотность распределения. |
|
|
|
|||||
Дисперсией ДСВ (X ,Y ) называется упорядоченная пара чисел (DX ,DY ). |
|||||||||
Для ДДСВ: |
|
|
k |
s |
|
|
|
|
|
k |
s |
|
|
|
|
|
|
||
DX = ∑∑(xi −mx |
)2 pij , DY = ∑∑(y j −my )2 pij . |
|
|
|
|||||
i=1 j=1 |
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
||
Для ДНСВ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
|
DX = ∫ |
∫(x −mx )2 |
f (x, y)dxdy , DY = ∫ ∫(y −my )2 |
f (x,y)dxdy . |
|
|
||||
−∞ −∞ |
|
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
|
|
Геометрическая интерпретация этих понятий следующая: математиче- |
||||||||
ское ожидание (mx ,my ) |
– координаты средней точки, относительно которой |
||||||||
разбросаны случайные точки (X ,Y ). По этой причине точка |
(mx ,my ) |
иногда |
|||||||
называется центром рассеяния. |
Дисперсия (DX ,DY ) показывает, насколько |
||||||||
облако точек (X ,Y ) разбросано в направлении осей Ox и Oy . |
|
|
|||||||
|
Начальный момент порядка k+s двумерной случайной величины |
||||||||
(X ,Y ): |
αk ,s = M (X kY s ). |
|
|
|
|
(X ,Y ): |
|||
Центральный |
момент |
порядка |
k+s |
ДСВ |
|||||
µk ,s = M ((X −mx )k (Y −my )s ). |
|
|
|
|
5
В соответствии с этим определением:
mx = M (X 1Y 0 )=α1,0 , my = M (X 0Y 1 )=α0,1 ; DX = M ((X −mx )2 (Y −my )0 )= µ2,0 , DY = M ((X −mx )0 (Y −my )2 )= µ0,2 .
6. Корреляционный момент и коэффициент корреляции Корреляционный момент с.в. (X ,Y ) (момент связи, ковариация) –
смешанный центральный момент второго порядка:
KXY = cov (X ,Y ) = µ1,1 = M ((X − mx )(Y −my )).
Для ДДСВ :
k |
s |
KXY = ∑∑(xi −mx )(y j −my )pij . |
|
i=1 j=1 |
|
Для ДНСВ: |
|
∞ |
∞ |
KXY = ∫ |
∫(x −mx )(y −my )f (x, y)dxdy . |
−∞ −∞
Для вычисления ковариации удобно использовать формулу
KXY = cov (X ,Y ) = M (XY )− MX MY .
Свойства ковариации:
1°. Ковариация симметрична: KXY = KYX .
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак ковариации: cov (cX ,Y ) = c cov (X ,Y ) = cov (X ,cY ).
3°. Ковариация не изменится, если к случайным величинам добавить постоян-
ные: cov (X +a,Y ) = cov (X ,Y +b) = cov (X +a,Y +b) = cov (X ,Y ). 4°. Дисперсия СВ есть ее ковариация с самой собой, DX = KXX .
5°. Дисперсия суммы (разности) двух СВ равна сумме их дисперсий плюс (минус) их удвоенная ковариация:
D (X ±Y ) = DX + DY ±2KXY . 6°. Если СВ X и Y независимы, то KXY = 0 .
7°. Ковариация двух СВ по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений,
KXY ≤σx σy .
Если KXY ≠ 0 , то СВ X и Y зависимы, если KXY ≠ 0 , СВ X и Y называют коррелированными. Однако из условия KXY = 0 не следует независимость
СВ X и Y . Если KXY = 0 , СВ X и Y называют некоррелированными. Из не-
зависимости следует некоррелированность, обратное утверждение неверно, из некоррелированности независимость не следует.
6
Из определения ковариации видно, что она описывает и степень рассеяния СВ X и Y , и связь между этими величинами. Для того, чтобы исключить влияние рассеяния и оценить только степень зависимости, обычно переходят к
стандартным СВ: |
|
|
|
X −m |
x |
|
и |
Y −my |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
σx |
|
|
|
|
σy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Коэффициентом корреляции СВ X и Y |
называется ковариация |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующих им стандартных с.в.: |
|
|
|
cov (X ,Y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
= cov |
|
X |
|
−m |
x |
, |
Y −my |
|
|
K |
XY |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
σ |
|
|
|
σ σ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
XY |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
σ σ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Свойства коэффициента корреляции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1°. |
|
rXY |
|
≤1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2°. |
Для независимых СВ rXY = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3°. |
Если СВ X |
|
|
и Y |
|
|
связаны |
линейной функциональной |
зависимостью, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Y = aX +b, a ≠ 0 , то |
|
rXY |
|
=1, причем rXY |
=1 при a > 0 и rXY |
= −1 при a < 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4°. |
Если |
|
rXY |
|
=1, то с.в. |
|
|
X и Y связаны линейной функциональной зависимо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
стью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Коэффициент корреляции rXY |
является мерой линейной связи между СВ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
если rXY |
= 0 , СВ независимы, |
если |
|
|
rXY |
|
|
=1, СВ связаны линейной зависи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мостью, |
при |
|
rXY |
|
≠1 зависимость носит иной характер. Чем больше |
|
rXY |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тем больше связь между X и Y похожа на линейную. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
При rXY |
> 0 говорят о положительной корреляции между X и Y , при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rXY < 0 – об отрицательной корреляции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. |
Числовые характеристики условных распределений |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Условное математическим ожидание СВ X при Y = y , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где y – одно из возможных значений СВ Y , называется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
для ДСВ
k
M (X Y = y )= ∑xi p (xi y) -
i=1
- сумма произведений значений СВ X на их условные вероятности; для НСВ
∞
M (X Y = y)= ∫ xf (x y)dx ,
−∞
где f (x y) – условная плотность распределения.
Условное математическое ожидание M (X y) является функцией y ,
7
M (X y)=ϕ (y),
которую называют функцией регрессии X на Y .
Аналогично определяется условное математическое ожидание M (Y x) и функция регрессии Y на X , M (Y x)=ψ (x).
8. Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии
Для ДСВ (X ,Y ), где X и Y – зависимые СВ приближенно представим
одну из величин как функцию другой. Ограничимся простейшим случаем линейной зависимости:
Y g (X )=αX + β ,
где α и β – параметры, подлежащие определению.
Среднеквадратическая регрессия Y на X - функция
g (X )=αX + β = r |
σy |
X +my −r |
σy |
mx = my + r |
σy |
(X −mx ), |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
σ |
x |
|
σ |
x |
|
σ |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
где M (X )= mx , M (Y )= my , σx = |
D (X ) |
, σy = |
D (Y ), r = |
µxy |
– коэффици- |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σxσy |
|||
ент корреляции величин X и Y , |
называется наилучшим приближением Y в |
||||||||||||||||||
методе наименьших квадратов (МНК). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Коэффициент |
α = r |
σy |
называется коэффициентом регрессии Y на X , а |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
σy |
|
σx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
прямая y = my + r |
(x −mx ) |
– прямой среднеквадратической регрессии Y |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
на X . |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F (α,β)min =σy2 (1−r2 ), достигающееся при таких |
|||||||||||||||
Минимальное значение |
α и β , называется остаточной дисперсией случайной величины Y относи-
тельно случайной величины X ; она описывает величину ошибки, возникающей при замене Y линейной функцией g (X )=αX + β . Если r = ±1, остаточ-
ная дисперсия равна нулю, так как в этом случае X и Y связаны строгой, а не приближенной линейной функциональной зависимостью.
Аналогично построенной функции среднеквадратической регрессии Y на X можно построить среднеквадратическую регрессию X на Y :
h (Y )= mx + r σx (Y −my ),
σy
8
для которой r |
σx |
– коэффициент регрессии |
X на Y , x = mx + r |
σx |
(y −my ) – |
||
|
σ |
y |
|
|
σ |
y |
|
|
|
|
|
|
|
прямая среднеквадратической регрессии X на Y , σx2 (1−r2 ) – остаточная
дисперсия величины X относительно величины Y .
Из уравнений прямых среднеквадратической регрессии видно, что они обе проходят через центр рассеяния – точку с координатами (mx ,my ). Если r = ±1, то обе прямые регрессии совпадают.
9. Линейная корреляция. Двумерный нормальный закон распределения
Рассмотрим двумерную СВ (X ,Y ). |
Если и функция регрессии X на Y |
||||
M (X |
|
y)=ϕ (y), и функция регрессии Y |
на X M (Y |
|
x)=ψ (x) оказываются |
|
|
||||
линейными, то говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зави- |
симостью. Графики функций регрессии в этом случае оказываются прямыми среднеквадратической регрессии.
Это имеет место в одном важном частном случае – если двумерная СВ
распределена по двумерному нормальному закону:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x−ax ) |
2 |
(y−ay ) |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
+ |
−2rxy |
x−ax y−ay |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
σx |
|
σy |
|
||||
f (x, y)= |
|
e |
|
2(1−rxy ) |
σx |
|
σy |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
2πσ σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1−r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x y |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальный закон на плоскости определяется пятью параметрами: ax , ay - математические ожидания, σx , σy – среднеквадратические отклонения, rxy – ко-
эффициент корреляции величин X и Y . Для двумерного нормального распределения связь между некоррелированностью и независимостью компонент X и Y становится взаимно однозначной: если компоненты независимы, они некор-
релированы, если они |
некоррелированы, |
то они независимы. (Если |
f (x,y)= f1 (x) f2 (y), то rxy |
= 0 , если rxy = 0 , то |
f (x,y)= f1 (x) f2 (y)). |
Для двумерного нормального распределения между компонентами существует линейная корреляционная зависимость.
ПП 9. Законы распределения и числовые характеристики ДСВ и НСВ
№ п/п |
Задание |
Ответ |
ПП |
Двумерная случайная величина (X ,Y ) задана таблицей: |
|
9.№1. |
|
|
|
|
|
9
|
yi |
xj |
1 |
3 |
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,01 |
|
0,03 |
|
|
2 |
|
0,15 |
|
0,12 |
|
|
4 |
|
|
0,25 |
|
|
|
5 |
|
|
0,3 |
0,14 |
|
Найдите
1)законы распределения случайных величин X и Y и их числовые характеристики;
2)составьте условные законы распределения составляющих случайных величин и вычислите соответствующие математические ожидания;
3)вычислите корреляционный момент (коэффициент ковариации) и коэффициент корреляции;
4)постройте поле распределения и линии регрессии
Y по X и X по Y.
РЕШЕНИЕ:
1) Сумма по столбцам
|
|
xi |
|
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
p |
|
0,16 |
0,55 |
0,29 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма по строкам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
yi |
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
5 |
|||||
|
p |
|
0,04 |
|
0,27 |
|
0,25 |
|
0,44 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) M (X )=1 0,16 +3 0,55 +5 0,29 = 0,16 +1,45 +1,65 = 3,26 ,
M (Y )=1 0,04 + 2 0,27 + 4 0,25 +5 0,44 = 2,2 +1+0,04 +0,54 = 3,78 ,
M (X 2 )=1 0,16 +9 0,55 +25 0,29 = 0,16 +7,25 +4,95 =12,36 ,
M (Y 2 )=1 0,04 + 4 0,27 +16 0,25 + 25 0,44 =16,12 ,
D(X )= M (X 2 )−(M (X ))2 =12,36 −10,62 =1,732 , D(Y )= M (Y 2 )−(M (Y ))2 =16,12 −14,288 =1,832 .
P(x1 |
|
у1 )= |
p(x1 ,y1 ) |
= |
0,01 |
=0,25, |
|
||||||
|
p(y ) |
0,04 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
10