- •I. Матрицы и определители 2
- •Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики
- •1.1. Понятие матрицы
- •Частные случаи квадратных матриц
- •1.2. Определители второго, третьего, n-го порядка
- •1.3. Свойства определителей
- •1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода)
- •1.6. Задания для самопроверки
- •Лекция 2. Алгебра матриц
- •2.1. Основные операции над матрицами и их свойства
- •Правило умножения матриц
- •Свойства операции сложения
- •Свойства операций умножения матрицы на число и умножения матриц
- •2.2. Обратная матрица
- •2.3. Решение матричных уравнений
- •2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •2.5. Задания для самопроверки
- •Ответы к примерам для самопроверки
I. Матрицы и определители 2
Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики 2
1.1. Понятие матрицы 4
1.2. Определители второго, третьего, n-го порядка 6
1.3. Свойства определителей 8
1.4. Разложение определителя по элементам строки или столбца 10
1.5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода) 12
1.6. Задания для самопроверки 15
Лекция 2. Алгебра матриц 16
2.1. Основные операции над матрицами и их свойства 17
2.2. Обратная матрица 20
2.3. Решение матричных уравнений 23
2.4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными 24
2.5. Задания для самопроверки 29
Ответы к примерам для самопроверки 30
I. Матрицы и определители |
Лекция 1. Матрицы и определители, их характеристики
Содержание
1. Понятие матрицы.
2. Определители второго, третьего, n-го порядка.
3. Свойства определителей.
4. Разложение определителя по элементам строки или столбца.
5. Вычисление определителей n-го порядка (2 метода).
6. Задания для самопроверки
Определения |
Теоремы и свойства |
|
Свойства определителей
|
1.1. Понятие матрицы
Звуковое сопровождение лекции
Определение
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, где– номер строки,– номер столбца, таких, на пересечении которых расположены числа,
.
Пример
–матрица размера .
Определение
Если , матрица называетсяквадратной порядка .
Пример
–квадратная матрица второго порядка.
Определение
Главная и побочная диагональ квадратной матрицы –
Частные случаи квадратных матриц
а) треугольная матрица – выше или ниже главной диагонали все элементы равны нулю.
Пример
;
б) диагональная матрица – выше и ниже главной диагонали – нули, на главной диагонали произвольные числа.
Пример
;
в) единичная матрица – диагональная матрица, на главной диагонали которой – единицы.
Пример
–единичная матрица первого порядка.
–единичная матрица второго порядка.
–единичная матрица третьего порядка.
Таким образом ,
Определение
Транспонированная матрица – матрица , построенная из матрицы, путем замены строк на столбцы и наоборот (строки и столбцы меняются ролями).
Пример
Пример
, .