ПП_21_Опр_инт_1
.docПП 21. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Методы ИНТЕГРИРОВАНИя
Определение
,
где непрерывная функция.
Геометрически определённый интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус.
Свойства определенного интеграла
1. .
2. , А, В - постоянные.
3. ,
для любых трех чисел , , .
4. Если
1) интегрируема на ; 2) для любых ,
тогда .
5. Если
1) , интегрируемы на ; 2) для любых , тогда: .
6. Если
1) интегрируема на ;
2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции ,
тогда .
7. Если непрерывна на ,
то такая, что .
Число называется средним значением функции на отрезке .
8. Если непрерывна на , .
9. Производная от интеграла по переменному верхнему пределу равна
10. Если функции и дифференцируемы в точке х и непрерывна при , то
.
11. - формула Ньютона-Лейбница.
Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции нужно:
1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первообразную для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла);
2) вычислить .
12. Если
1) непрерывна на ;
2) - непрерывно дифференцируема на
( - область значений при изменении );
3) , ,
тогда
- формула замены переменной под знаком определенного интеграла.
12. Если
-
1) - четная ,
то
2) - нечетная функция ,
.
13. .
ПП 20. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
||
№ п/п |
Задача |
Ответ |
ПП 21 №1 |
Вычислите , рассматривая его как предел интегральной суммы. Решение: ; В качестве выберем - левые концы каждого отрезка , ; и т.д. = Пусть , , |
|
ПП 21 №2 |
С помощью определенного интеграла найдите предел суммы
Решение: Рассмотрим выражение под знаком предела как интегральную сумму для на отрезке : ; . В качестве возьмем левые концы каждого отрезка: ; и т.д. . Пусть , . |
1 |
ПП 21 №3 |
Оцените интеграл . Решение: Для 0 х 1: 1 1 + х4 2, , т.е. m = , М = 1, b а = 1. Следовательно, 1. |
|
||||||
ПП 21 №4 |
Определите знак интеграла , не вычисляя его. Решение: Разобьём интеграл на два = + = {поменяем в первом интеграле пределы} = + = {заменим в первом интеграле х (х)} = ехd(x) + ехdx = exdx +ехdx = (ex ex) dx, на отрезке х0, 1, х3 0, ех ех 0, следовательно, (ex ex) dx 0, т.о. интеграл имеет положительный знак. |
|
||||||
ПП 21 №5 |
Найдите производную функции
Решение: . |
|||||||
ПП 21 №6 |
Найдите производную функции Ф(х) = Решение: (х) = 0, (х) = 0, (х) = х2. Ф(х) = (х2) = 2х. |
2х |
||||||
ПП 21 №7 |
Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов или больше. Решение: Сравним подынтегральные функции на отрезке интегрирования. , . |
Второй |
||||||
ПП 21 №8 |
Найдите среднее значение функции на отрезке . Решение: . |
|||||||
ПП 21 №9 |
Оцените интеграл Решение: На отрезке : , , , , . |
|||||||
ПП 21 №10 |
Вычислите . Решение: . |
|||||||
ПП 21 №11 |
Вычислите . Решение: |
2 |
||||||
ПП 21 №12 |
Вычислите . Решение: = == = ln(ln e2) ln(ln e) = ln 2 0,69. |
ln 2 0,69 |
||||||
ПП 21 №13 |
Вычислите . Решение: = = = 1 . |
1 |
||||||
ПП 21 №14 |
Вычислите . Решение:
|
|||||||
ПП 21 №15 |
Вычислите . Решение: u = x, dv = e-xdx, du = dx, v = - e-x} = + = -е-1 = |
|||||||
ПП 21 №16 |
Вычислите. Решение: . |
|||||||
ПП 21 №17 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = =. |
0,5 |
||||||
ПП 21 №18 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = = = = 2(х2 + 2) = = = = = = = 3.81 |
3,81 |
||||||
ПП 21 №19 |
Вычислите Решение:. |
|||||||
ПП 21 №20 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ. = = = = = 2 arctg + ln 2 0,04. |
0,04 |
||||||
ПП 21 №21 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = = . |
23,1 |
||||||
ПП 21 №22 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: х(х + 4)(х 2) = х3 +2х2 8х; = =
= 2 4. = =2х 4. = + + .
Вычислим неопределенные коэффициенты А, В и С. Приведем правую часть равенства к общему знаменателю: = =, откуда
х2 + 6х + 2 = А (х + 4)(х 2) + Вх (х 2) + Сх(х + 4). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
откуда А = , В = , С = . Интеграл 4= == == = = =10+ 6 ln(3∙7) = =4 + 1,83. |
1,83 |
||||||
ПП 21 №23 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: == + ++, откуда А(х + 2)3 + В(х 2)(х + 2)2 + С(х + 2)(х 2) + +D(х 2= х3 + 6х2 + 13х + 6, А = 1, В = С = 0, D = 1 = += = = ln1 ln2 + = ln2 0,62. |
0,62 |
||||||
ПП 21 №24 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: Интеграл от правильной дроби, разложим ее на простейшие = + , откуда 2х3 + 3х2 + 3х + 2 = (Ах + В)(х2 + 1) + (Сх + D)(х2 + х + 1), или Отсюда = + + = = + + + = = + + 1,02. |
1,02 |
||||||
ПП 21 №25 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: Применим универсальную тригонометрическую подстановку t = , sin x = , dx = . При х = t = 1, х = 0, t = 0. I= = = = 4. , t = (5 + 6t + 5)(At + B) + (1+ t2)(Ct +D), , . I= 0,14. |
0,14 |
||||||
ПП 21 №26 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: I = = =.
Разложим дробь на простейшие: = , откуда (Аt + B)(t2 + 1) + (Ct +D)(t5 + 5) = 3t2 1,
I= = = == = 0,25. |
0,25 |
||||||
ПП 21 №27 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = = == == == == . |
|||||||
ПП 21 №28 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: I== == = = . Разложим дробь на простейшие: . I== == . |
|||||||
ПП 21 №29 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = = == = = = = 0,4. |
0,4 |
||||||
ПП 21 №30 |
Вычислите . РЕШЕНИЕ: = = = == = = = = = = 0,78. |
0,78 |