C12011
.pdfМАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011
Отбор корней в тригонометрических уравнениях
(типовые задания С1)
Корянов А. Г. г. Брянск akoryanov@mail.ru
Прокофьев А.А. г. Москва aaprokof@yandex.ru
СОДЕРЖАНИЕ
1.Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.……….. 1
2.Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометри-
ческого уравнения………………… |
1 |
3. Отбор корней уравнения, удовле- |
|
творяющих дополнительным усло- |
|
виям…… |
2 |
а) корни уравнения принадлежат |
|
промежутку……………………... |
2 |
б) корни уравнения удовлетворяют |
|
неравенству……………………… |
4 |
4.Отбор корней уравнения, связанный с методом замены……………... 4
5.Уравнения, содержащие дробные выражения…………………………... 5
6.Уравнения, содержащие иррациональные выражения……………. 6
7.Уравнения, содержащие показательные выражения………………… 8
8.Уравнения, содержащие лога-
рифмические выражения………… 8
9.Уравнения, содержащие модули .. 9
10.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические выраже-
ния…………………………………… 10
11.Комбинированные уравнения…. 10
12.Упражнения……………………... 12
Список литературы…………………. 21
1.Способы отбора корней
втригонометрических уравнениях
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих способов.
● Арифметический способ:
а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения; б) перебор значений целочисленного па-
раметра и вычисление корней. ● Алгебраический способ:
а) решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; б) исследование уравнения с двумя цело-
численными параметрами. ● Геометрический способ
а) изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений; б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений.
2. Отбор общих корней в нескольких сериях решений тригонометрического уравнения
Пример 1. Решить уравнение:
cosxcos5x 0.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx 0 |
x |
|
|
|
k |
|||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k,n Z |
||
cos5x 0 |
|
|
|
|
|
n |
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||
|
|
5 |
|
Рассмотрим уравнение |
|
k |
|
|
|
n |
. |
|
|
10 |
|
||||||
|
2 |
|
5 |
|
||||
После |
преобразований |
получаем |
||||||
n 5k 2. |
Следовательно, вторая |
серия |
решений включает в себя первую серию решений.
Отбор корней удобно проводить на тригонометрической окружности, используя градусную меру полученных решений x 90 k 180 или x 18 n 36 .
1
Ответ: n , n Z . 10 5
Пример 2. Решить уравнение:
cosx cos3x 2.
Решение. Из неравенств cosx 1 и
cos3x 1 следует, что равенство воз-
можно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут равны 1.
cosx cos3x 2 |
cosx 1, |
|
|||
|
|||||
|
|
|
|
cos3x 1. |
|
|
x 2 n, |
|
|
||
|
|
2 k |
n, k Z. |
|
|
|
|
||||
|
x |
|
, |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
Вторая серия решений включает первую серию, поэтому имеем решение системы x 2 n, n Z.
Ответ: 2 n, n Z.
2
Пример 3. Решить уравнение: sin7x cos4x 1.
Решение. Воспользовавшись формулой преобразования произведения синуса и косинуса в сумму, приводим уравнение к виду sin11x sin3x 2, откуда полу-
чим |
sin11x 2 sin3x. |
Так как при |
лю- |
|
бом |
значении |
x |
sin11x 1, |
а |
2 sin3x 1, |
то |
равенство |
||
sin11x 2 sin3x |
может выполняться в |
том и только в том случае, когда
sin11x 1, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin3x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 n |
|||
x |
|
|
|
|
|
|
, n Z, |
|
22 |
11 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 m |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
x |
6 |
|
|
|
3 |
, m Z. |
||
|
|
|
|
|
|
|
Найдем такие целые значения n и m, при которых решения в полученных се-
риях совпадают |
|
|
2 n |
|
|
|
2 m |
, |
|
|
6 |
|
|||||
22 |
11 |
|
3 |
|
т.е. 3n 2 11m. Выражая из последнего
равенства n, получаем n 3m 2m 2 . 3
Так как n – целое, то последнее равенство возможно, только если 2m 2 делится на 3, т.е. 2m 2 3k, k Z. Отсюда
m 1 k k . Поскольку m должно быть
2 |
|
|
|
целым, то k |
должно быть четным. Если |
||
k 2p, |
где |
p Z, |
то |
m 1 2p 2p 3p 1. Следовательно, 2
x 2 (3p 1) 2 p . 6 3 2
Ответ: 2 p, p Z. 2
3. Отбор корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям
а) корни уравнения принадлежат промежутку
Пример 4. Найдите все решения уравнения sin 2x cosx, принадлежащие про-
|
|
3 |
||
межутку |
; |
|
. |
|
4 |
||||
|
|
|
Решение. Приведем уравнение к виду
cosx(2sin x 1) 0. |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
получаем |
|||||||||||||||||||||||||
два уравнения cosx 0 |
или sin x |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
1) cosx 0, |
x |
|
n; |
n Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
то x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если n 0, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Если n 1, то x |
|
|
|
3 |
, |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
. |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
Если n 1, то x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Если n 2, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
3 |
, |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) sin x 1 ,
2
x 2 n или x 5 2 n, n Z.
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
0, то x |
, |
|
|
|
|||||||||
Если n |
|
|
|
; |
|
|
или |
|||||||||
|
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
||||
x |
5 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
6 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если n 1, то для первой серии решений
x |
13 |
13 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
; |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
Если n 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
или |
|||||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||
x |
7 |
|
7 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
, |
|
|
|
|
; |
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
Замечание. Другой вариант отбора корней можно провести на тригонометрическом круге, учитывая, что общий наименьший положительный период функций sin x и cosx, входящих в уравнение, равен 2 .
Ответ: |
|
; |
|
; |
|
. |
|
2 |
6 |
||||
2 |
|
|
|
Пример 5. Найдите все решения уравнения sin2 2x sin2 3x 1, принадлежащие отрезку [1;2].
Решение. Воспользуемся формулами понижения степени и преобразования суммы функций в произведение
sin2 2x sin2 3x 1
3
1 cos4x 1 cos6x 1
2 2
cos4x cos6x 0
2cos5xcosx 0
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||
|
cos5x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5 k Z |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
cosx 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
k |
||||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x k , k Z (см. Пример 1). 10 5
Решим двойное неравенство
1 k 2 10 2 k 20
105
10 2 k 20
|
10 |
k |
20 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
1 |
k |
10 |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
Так как |
5 |
|
1 |
|
5 |
|
|
1 |
|
17 |
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
3,2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
2 |
16 |
|
|
|
|
|
10 1 10 1 17 и k Z, то k 2.2 3 2 6
Тогда x 2 . 10 5 2
Ответ: . 2
Пример 6. Укажите количество корней уравнения
ctg3x sin 6x cos6x cos12x 0
на промежутке [0;2 ].
Решение. Умножая обе части уравнения
на sin3x 0, получаем
sin3x sin3x cos12x 0,
sin3x(1 cos12x) 0. Отсюда имеем
|
|
|
n |
|
|
cos12x 1, |
|
x |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
n,k Z |
|
|
|
|
|||
sin3x 0 |
|
|
k |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на
тригонометрической окружности и в ответ запишем количество не совпавших в обеих сериях значений переменной х.
Ответ: 6.
б) корни уравнения удовлетворяют неравенству
Пример 7. Найдите все корни уравнения:
(2sin x 1)(2sin x 3) 0,
удовлетворяющие неравенству cosx 0.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 n |
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin x |
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
x |
2 n |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n,k Z |
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
sin x |
|
x |
2 k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 k |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изобразим полученные решения на тригонометрической окружности. Каждому уравнению соответствуют две точки на тригонометрической окружности. В ответ запишем только решения, расположенные на дуге окружности, соответствующей неравенству cosx 0, т.е. лежащие в I и IV четвертях.
4
Следовательно, данному условию удов-
летворяют решения |
|
2 k |
или |
|||
3 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
2 n, n,k Z. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
Ответ: 2 k; 2 n , n,k Z.
36
4.Отбор корней уравнения, связанный
сметодом замены
Пример 8. Решить уравнение:
2sin4 x sin2 x 1 0.
Решение. |
Обозначим |
sin2 |
x t, |
где |
||||||||||
0 t 1. |
Тогда |
получим |
квадратное |
|||||||||||
уравнение 2t2 |
t 1 0, |
имеющее корни |
||||||||||||
t1 1 и t2 |
|
1 |
|
(не удовлетворяет усло- |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
Для уравнения sin2 |
x 1 |
|||||||
вию 0 t |
1). |
|
||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 cos2x |
1; |
cos2x 1; 2x 2 n, |
|||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
n, n Z . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
n, n Z . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Пример 9. Решите уравнение: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
arccos2 x 8arccosx 15 0. |
|
||||||||||
Решение. |
Положим arccosx t. Так как |
множество значений функции arccosx – отрезок 0; , найдем решения уравнения
t2 8t 15 0, |
удовлетворяющие |
усло- |
|
вию |
0 t . |
Такой корень один: t 3. |
|
Если |
t 3, |
то arccosx 3, |
откуда |
x cos3. |
Ответ: cos3. |
||
|
|
5. Уравнения, содержащие дробные выражения
Пример 10. Решить уравнение:
cosx 1 sin x. 1 sin x
Решение. Данное уравнение равносильно
системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosx (1 sin x)(1 sin x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin x 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
x 0 |
|
cosx 0 |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
cosx cos |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
cosx 1 |
|||
|
sin x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
n,k,m Z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
x 2 k |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2
Для отбора корней используем тригонометрический круг.
Ответ: 2 n;2 k; n,k Z. 2
Пример 11. Решить уравнение:
cos2x cosx 1 0. tgx 1
Решение. Данное уравнение равносильно системе
5
cos2x cosx 1 0
cosx 0
tgx 1 0
cosx(2cosx 1) 0
cosx 0
tgx 1
|
|
1 |
x |
|
2 k |
||
|
|
||||||
cosx |
2 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
cosx 0 |
x |
|
n |
||||
2 |
|||||||
|
tgx 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
m |
||
|
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
k,m,n Z.
Ответ: 2 k, k Z. 3
Пример |
12. |
Решите |
уравне- |
|||
ние: |
1 |
|
1 |
|
1. |
|
sin2 x |
tgx |
|
||||
|
|
|
|
Решение. Уравнение определено при ус-
ловиях sin x 0 |
и cosx 0. |
Используя |
||||||||
тригонометрические |
формулы, |
получим |
||||||||
ctg2 x ctgx 0. |
Отсюда ctgx 0 |
или |
||||||||
ctgx 1. |
Корни |
первого |
уравнения |
|||||||
x |
|
n, n Z |
не |
удовлетворяют |
не- |
|||||
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенству |
cosx 0. |
Решения |
второго |
|||||||
уравнения |
x |
|
k, |
k Z удовлетво- |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
ряют условиям sin x 0 |
и cosx 0. Дей- |
ствительно, так как число 2 является общим наименьшим положительным пе-
риодом функций ctgx, sin x и cosx, то достаточно рассмотреть точки на тригонометрическом круге (сделайте рисунок),
соответствующие |
условиям |
ctgx 1, |
|||||||
sin x 0 |
и cosx 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x |
k, |
k Z |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
Замечание. Замена выражения |
|
на |
|||||||
sin2 |
|
||||||||
выражение 1 ctg2 x |
|
|
|
|
|
x |
|||
является |
тождест- |
||||||||
венным |
преобразованием |
при |
условии |
||||||
sin x 0, |
а замена |
1 |
на |
|
ctgx может |
||||
tgx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
привести к появлению посторонних кор-
ней x n, n Z. 2
Пример 13. Решите уравнение:
cosx sin 2x 1. cos3x
Решение. Общий наименьший положительный период функций cosx, cos3x, sin 2x равен 2 . Поэтому достаточно рассмотреть решения уравнения на промежутке [0;2 ).
Умножим обе части уравнения на cos3x 0. Далее получаем
cosx sin 2x cos3x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cos3x cosx sin 2x 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
2sin 2xsin x sin 2x 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x 0, |
|||||||||
sin 2x(2sin x 1) |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
sin x |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
2 l, |
k, l, m Z. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
На промежутке [0;2 ) содержатся |
|||||||||||||||||||||||||
корни 0, |
|
, , |
3 |
, |
7 |
, |
|
11 |
. Из условия |
||||||||||||||||
|
|
2 |
6 |
6 |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos3x 0 получаем |
x |
|
|
, |
n Z, а |
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
на промежутке |
|
|
|
[0;2 ) |
|
|
x |
|
, |
x |
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
6
x |
5 |
, |
x |
7 |
, x |
3 |
, x |
11 |
. Таким |
||
6 |
|
6 |
|
2 |
|
|
|
6 |
|
||
образом, |
остались числа 0 и , а значит, |
||||||||||
исходное |
уравнение |
имеет |
множество |
||||||||
корней x t,t Z. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Ответ: t, t Z. |
|||||
Пример 14. Решите уравнение: |
|||||||||||
|
|
6sin xcosx sin 2xsin |
2 |
0. |
|||||||
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента
3sin 2x sin 2xsin |
2 |
|
0, |
|||||
x |
||||||||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
sin 2x |
3 sin |
|
|
0. |
|
|||
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
Так как 3 sin 2 0, то последнее x
уравнение равносильно системе
sin 2x 0 |
|
k |
||
|
x |
|
, k Z, k 0. |
|
2 |
||||
x 0, |
|
|
Ответ: k , k Z, k 0. 2
6. Уравнения, содержащие иррациональные выражения
Пример 15. Решить уравнение:
5cosx cos2x 2sin x 0.
Решение. Перепишем уравнение в виде
5cosx cos2x 2sin x.
Последнее уравнение равносильно системе
|
|
|
2 |
x |
||||
5cosx cos2x 4sin |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
sin x 0 |
|
|
|
|
|
|||
Решим уравнение системы |
|
|
|
|||||
5cosx (2cos2 |
x 1) 4(1 cos2 x); |
|||||||
2cos2 x 5cosx 3 0. |
||||||||
Отсюда cosx |
1 |
|
или cosx 3(нет кор- |
|||||
|
||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
ней). Из уравнения cosx |
|
получаем |
||||||
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
2 n, n Z или |
x |
|
2 n, |
|
|
||||
3 |
|
3 |
|
||
n Z . |
|
|
|
Проверим для полученных значений x выполнение условие sin x 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
sin |
|
|
2 n |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
0; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
sin |
|
|
2 n |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
2 n, n Z. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 16. Решить уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
ctg x. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx 0, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ctg2 |
x. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вначале решим уравнение: |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
ctg2 x; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin x |
sin x |
|
|
sin x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
В области определения, которое задается условием sin x 0, последнее уравнение распадается на два, равносильных ему в совокупности уравнения:
1) 1 |
1 |
0; sinx 1; |
|
sin x
x 2 n, n Z.
2) 2 0; sin x 1 ; 2
x 1 n n, n Z.
6
Отберем значения x, удовлетворяющие условию ctgx 0.
7
|
Для |
|
корней |
первой |
серии |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ctg |
|
|
|
|
2 n |
0, следовательно, |
усло- |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вие ctgx 0 |
выполнено |
для |
всех |
|||||||||||
x |
|
2 n, n Z. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для корней второй серии |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|||||
|
ctg |
( 1) |
|
|
n |
ctg ( 1) |
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
3,еслиn четно,
3,еслиnнечетно.
Таким образом, условие ctgx 0 выполнено только для четных значений
n (n 2m, m Z), т.е. для x 2 m.
6
Ответ: 2 n, 2 n, n Z.
2 6
Пример 17. Решите уравнение:
cos2 x2 3 . 2
Решение. Рассматривая данное уравнение как простейшее тригонометрическое уравнение, получим
2 x2 2 n, n Z. 6
Так как 2 x2 2, то 0 2 x2 2.
Из всех чисел вида 2 n, n Z от- 6
резку [0;2] принадлежит только число
. Поэтому последнее уравнение равно- 6
сильно уравнению
2 x2 . 6
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
x2 |
2 |
2 |
, откуда x |
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
36 |
|
|
36 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Ответ: 2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
7. Уравнения, содержащие показательные выражения
Пример 18. Решить уравнение:
3cosx cos x |
|
|
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
27 . |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
3cosx |
|||||
3 |
Решение. Преобразуем данное уравнение
cos2 x |
3 |
cos x |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
2 |
|
|
32 |
; |
|
|||||
|
|
|
|
cosx |
3 |
|
|
||||
cos2 x |
|
3 |
0. |
||||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Обозначив |
cosx t, где |
1 t 1, |
получим для неизвестной t квадратное
уравнение 2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3t 3 0, которое имеет |
||||||||||
корни t |
|
3 |
|
|
и t |
|
|
|
(не удовлетво- |
||
|
|
|
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряет условию 1 t 1).
Выполнив обратную замену, из урав-
нения cosx 3 получаем
2
x 5 2 n, n Z. 6
Ответ: 5 2 n, n Z. 6
Пример 19. Решите уравнение:
|
|
13x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
cos |
22 |
|
|
3 |
|
. |
|
|
4
Решение. Так как x 0, то 3 x 1. Левая часть уравнения ограничена, так
|
|
13x |
|
|
как 1 cos |
22 |
|
|
1. Поэтому |
|
||||
|
|
4 |
|
данное уравнение равносильно системе
|
|
|
|
13x |
|
|
cos |
22 |
|
|
1 |
||
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
cos22 1(верно)
x 0
Ответ: 0.
8
8. Уравнения, содержащие логарифмические выражения
Пример 20. Решите уравнение:
log2 (sin x) log2 ( cosx).
Решение. Данное уравнение равносильно системе
sin x cosx,
sin x 0.
Из уравнения системы получаем
tgx 1, x n, n Z. Неравенст- 4
ву sin x 0 удовлетворяют числа
x 3 2 n, n Z. 4
Ответ: x 3 2 n, n Z. 4
Пример 21. Решите уравнение: log2 ( sin x) log2 (cosx) 2
Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе:
sin x 0, |
|
|
|
cosx 0, |
|
|
|
log2 ( sin xcosx) 2 |
|
sin x 0,
cosx 0,
sin xcosx 0,25.
Решим вначале уравнение этой системы:
sin xcosx 0,25 |
sin2x 0,5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
2 n, |
n Z, |
|
|||
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
2x |
|
|
|
2 k, k Z, |
|
|||
6 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
n, |
n Z, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12 |
|
|
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
k, |
k Z. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
12 |
|
|
|
||||
Условиям sin x 0 и |
cosx 0 |
удов- |
летворяет совокупность значений x, принадлежащих четвертой координатной четверти. Тогда решения исходного уравнения можно записать следующим образом:
12 2 n, n Z,
x 5 2 k, k Z.12x
Ответ: 2 n, n Z ; 5 2 k , 12 12
k Z.
9. Уравнения, содержащие модули Пример 22. Решить уравнение:
| cosx| 3sin x.
Решение. Из данного уравнения получаем равносильную систему
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin x |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 n Z |
|||||
cosx |
|
3sin x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x 0 |
|
|
|
|
sin x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
||||||
|
n Z . |
sin x 0
Так как функции tgx и sin x имеют общий наименьший положительный период 2 , то отбор корней проведем на тригонометрическом круге (сделайте рисунок).
Ответ: 2 k;5 2 n;k,n Z. 6 6
Пример 23. Решите уравнение:
| cosx| cosx 2sin x.
Решение. Рассмотрим две области на числовой прямой, на которых cosx 0 и cosx 0.
1) Пусть cosx 0, тогда данное уравнение принимает вид:
cosx cosx 2sin x sin x 0
x n, n Z.
Условию cosx 0 удовлетворяют только значения x 2πn, n Z.
2) Для условия cosx 0 исходное уравнение перепишем так:
cosx cosx 2sin x sin x cosx 0
tgx 1 x k, k Z. 4
9
Условию cosx 0 удовлетворяют
только значения x 3 2 k, k Z. 4
Ответ: 2πn, n Z; 3 2 k, k Z. 4
Пример 24. Решите уравнение:
7|cosx| 4cosx 3|sin x| 2sin x.
Решение. Рассмотрим значения синуса и косинуса по четвертям координатной окружности.
Первая четверть:
3cosx 5sin x |
tgx |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|||||||
|
3 |
5 |
|
|
|
|
||
x arctg |
2 k, k Z. |
|
||||||
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
||
Вторая четверть: |
|
|
|
11 |
|
|
||
11cosx 5sin x |
tgx |
|
|
|||||
|
||||||||
|
|
5 |
|
|
x arctg11 2 l, l Z. 5
Третья четверть:
11cosx sin x tgx 11
x arctg11 2 m, m Z.
Четвертая четверть:
3cosx sin x tgx 3
x arctg3 2 n, n Z.
Ответ: arctg |
3 |
2 k, |
arctg |
11 |
2 l, |
|
|
||||
5 |
|
5 |
|
||
arctg11 2 m, |
arctg3 2 n, где |
||||
|
|
|
k,l,m, n Z. |
Пример 25. Решите уравнение:
(3sin 0,25x 4)2
sin2 0,25x 6sin 0,25x 9 1 2 .
Решение. Имеем
| 4 3sin0,25x| |3 sin0,25x| 1 2 .
Так как при всех x R
4 3sin0,25x 0, |
3 sin0,25x 0, |
|||||||
то получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin0,25x |
|
|
|
; |
||
1 2sin0,25x 1 |
|
|
2 |
|||||
2; |
||||||||
|
|
|
2
x ( 1)n 4 n, n Z.
Ответ: ( 1)n 4 n, n Z.
10.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
Пример 26. Решите уравнение:
arccos(x2 3) arccos(x 3).
Решение. Уравнение равносильно системе
|
2 |
3 x 3, |
|
2 |
x 6 0, |
x |
|
x |
|
||
1 x 3 1 |
4 x 2 |
x 2 |
|
|
x 2. |
x 3 |
|
|
|
4 x 2 |
|
|
Ответ: 2. |
Пример 27. Решите уравнение:
arccosx arcsin 2x .
Решение. Область допустимых значений уравнения определяется условиями x 1, 2x 1, т.е. x 0,5. Более того,
поскольку значения арккосинуса ограничены отрезком 0, , а арксинуса – отрез-
|
|
|
|
|
|||
ком |
|
|
; |
|
|
, то равенство левой и пра- |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
вой частей уравнения возможно только в случае, если их значения лежат на отрез-
|
|
|
|
|
ке |
0; |
|
|
, т.е. с учетом области допусти- |
|
||||
|
|
2 |
|
|
мых |
значений переменной х имеем |
0 x 0,5.
Таким образом, решение уравнения следует искать на множестве 0 x 0,5. Так как функция y cost убывает на от-
|
|
|
|
0;0,5 урав- |
||
резке |
0; |
|
|
, то на отрезке |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
нение arccosx arcsin 2x равносильно
уравнению |
cos arccosx cos arcsin 2x , |
|||||||||||
которое, в свою очередь, на 0;0,5 |
рав- |
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
носильно |
уравнениям: |
1 4x2 , |
||||||||||
x2 1 4x2 , |
5x2 1, |
x |
1 |
|
|
|
(при |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 x 0,5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Пример 28. Решите уравнение:
arccos3x 4 x 6 . 1 2x
Решение. В соответствии с определением арккосинуса запишем ограничения, которым должна удовлетворять переменная x. Область допустимых значений уравнения определяется условиями
1 3x 4 1, а поскольку значения
1 2x
арккосинуса ограничены отрезком 0, , то для выполнения равенства необходимо выполнение условия 0 x 6 . Получаем систему неравенств
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
1, |
|||
|
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
1, |
|
|
1 2x |
|
||||
1 2x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3x 4 |
1, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 x 6 |
|
|
1 2x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x 6 1 |
||||
|
x 5 |
0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 2x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x 5. |
|||||
5x 3 |
0, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 x 5 |
|
|
|
|
|
Подставляя полученное единственное значение x 5 в исходное уравнение, получим
arccos3 ( 5) 4 ( 5) 6 , 1 2 ( 5)
arccos 11 или arccos( 1) верно. 11
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение x 5.
Ответ: 5.
11. Комбинированные уравнения
Пример 29. Решите уравнение:
(2cosx 1)log13 (3tg2 x) 0. log31 (2sinx)
Решение. Из данного уравнения получа-
ем два |
|
|
уравнения cosx 0,5 или |
|
tgx |
|
3 |
|
при условии |
|
|
|
3