Метод двух узлов
Часто исследуемая электрическая цепь содержит только два узла или легко может быть преобразована в подобную цепь. Наиболее простым методом расчета в этом случае является метод двух узлов (узлового напряжения).
На рис. 2 показана схема цепи с двумя узлами а и b, состоящая из п ветвей.
Так как ветви между узлами а и b соединены параллельно, то разность потенциалов или напряжение между этими узлами можно выразить через ЭДС Ек, ток 1к и сопротивление резистивного элемента rк любой из ветвей. По обобщенному закону Ома:
Откуда:
где Uab — узловое напряжение цепи.
На основании этих соотношений ток
(6)
В схеме цепи (рис.2) было принято, что все ЭДС направлены к одному из узлов цепи (к узлу а) и положительное направление каждого тока совпадает с направлением ЭДС в ветви, т. е. все токи направлены к тому же узлу. В действительности, конечно, некоторые ЭДС могут быть направлены к узлу b. В этом случае при расчете токов в ветвях с теми же положительными направлениями (к узлу а) по (6) значения ЭДС, действующих к узлу b, должны быть записаны со знаком минус.
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в узле цепи равна нулю, т. е.
и, следовательно,
Рис. 2.
откуда узловое напряжение определяется через параметры элементов цепи:
здесь со знаком плюс записываются ЭДС, действующие к узлу а.
Зная напряжение между узлами, по (6) легко определить ток в любой ветви.
Метод контурных токов
Этот метод может быть применен для расчета любой линейной цепи. Его применение позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений по сравнению с числом уравнений, составляемых по законам Кирхгофа.
Для расчета методом контурных токов в сложной электрической цепи (рис. 3, а) независимые контуры выбираются так же как и при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, например контуры-ячейки (рис. 3, б). Затем в каждом из контуров произвольно выбирается положительное направление контурного тока (один и тот же ток во всех ветвях соответствующего контура). Расчетную величину — контурный ток обозначим по номеру контура с двойным индексом, например Ikk. Токи в общих для двух или более контуров ветвях определяются на основании первого закона Кирхгофа как алгебраические суммы соответствующих контурных токов.
Алгебраическая сумма ЭДС всех ветвей, входящих в каждый из выбранных независимых контуров, называется контурной ЭДС Ekk (с двойным индексом номера контура), т. е. для любого k-гo контура
(7)
В выражении (7) все ЭДС ветвей, направление которых совпадает (не совпадает) с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).
Арифметическая сумма сопротивлений всех резистивных элементов, входящих в каждый из выбранных контуров, называется собственным контурным сопротивлением rkk (с двойным индексом номера контура), т. е.
Арифметическая сумма сопротивлений резистивных элементов, находящихся в общих ветвях двух контуров m и /, называется общим сопротивлением этих контуров, причем, очевидно,
Рис. 3
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Е1, В |
Е2, В |
U1, В |
U2, В |
I1, А |
I2, А |
I3, А |
58 |
105 |
55 |
98 |
0,28 |
0,86 |
0,58 |
Найдем внутренние сопротивления источников:
Расчет при помощи закона Ома и двух законов Кирхгофа
2-ой закон Кирхгофа для 1-го контура:
2-ой закон Кирхгофа для 2-го контура:
1-ый закон Кирхгофа для узла c:
Составим систему уравнений
Преобразуем данную систему
Решим систему уравнений матричным методом
Расчет методом двух узлов (узлового напряжения)
-
=>
Расчет методом контурных токов
-
=>
Преобразуем данную систему
Решим систему уравнений матричным методом
Потенциальная диаграмма для контура abcda
Вывод:
В ходе данной лабораторной работы мы изучили распределения токов в сложной электрической цепи постоянного тока. Для расчетов использовали законы Кирхгофа для расчета сложной электрической цепи. Также изучили распределение потенциалов и отобразили это в построенной потенциальной диаграммы для одного из замкнутых контуров сложной цепи для определения напряжений в цепи. Изучили влияние внутреннего сопротивления источника ЭДС на режим работы электрической цепи.