Лекция №9
кривые линии
общие определения и понятия
Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.
Способы задания кривой линии
Классификация кривых линий
Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, и незакономерными.
Плоские кривые линии
алгебраическая кривая 2-го порядка, прямая пересекает ее не более чем в двух точках.
Парабола
Гипербола
Эллипс
Синусоида – трансцендентная плоская кривая линия, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки – поступательного и возвратно-поступательного во взаимно перпендикулярном направлении.
Кривые третьего и четвертого порядка
Все прямые и кривые второго порядка (окружности, эллипсы, параболы, гиперболы) являются частными случаями кривых третьего порядка.
Кривые третьего порядка
В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х3+а1у3+а2х2у+а3ху2+а4х2+а5у2+а6ху+а7х+а8у+а9=0.
Декартов лист
Уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 — 3аху = 0.
Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид)
кривые четвертого порядка
Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид)
Кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).
Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами)
Кривая, имеющая форму восьмёрки, уравнение в прямоугольных координатах:(x2 + y2)2 — 2a2 (x2 — y2) =0,
Улитка Паскаля
Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2Rx)2 — а2(х2 + y2) = 0,
Розы
Кривые, полярное уравнение которых:r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраическая К. чётного порядка. При m нечётном роза состоит из m лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.
Общие Сведения о кривых линиях
Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.
Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой.
В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек.
Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства – пространственная.
Точки стыка дуг называются узлами.
Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным.
Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные