- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка Пункт 1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
- •Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •Вывод уравнения окружности
- •Исследование свойств окружности по её уравнению
- •2) Симметрия окружности:
- •Изображение окружности
- •Вывод уравнения эллипса
- •Исследование свойств эллипса по его уравнению
- •1) Пересечение эллипса с осями координат:
- •2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:
- •Вывод уравнения гиперболы
- •Исследование свойств гиперболы по ее уравнению
- •1) Пересечение гиперболы с осями координат:
- •2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:
- •3) Асимптоты гиперболы:
- •4) Фокусы гиперболы:
- •Вывод уравнения параболы
- •Исследование свойств параболы
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •Пункт 1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •1.2.2. Анализ комплектов учебников под редакцией г. В. Дорофеева и ш. Ф. Алимова
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
Пункт 1.1. Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении
Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Линии второго порядка в элементарной математике
Возможности использования ИКТ в изучении линий второго порядка
Пункт 1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
1.2.1. Методика изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры
1.2.2. Анализ комплектов учебников под редакцией Г. В. Дорофеева и Ш. Ф. Алимова
Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка
2.1. Методика использования ИКТ в изучении линий второго порядка на уроках алгебры
2.2. Систематизация ЦОР, содержащих линии второго порядка
2.3. Элективный курс
Заключение
Литература
Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка Пункт 1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Аналитическая геометрия на плоскости занимается подробным изучением геометрических свойств эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения.
Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:
где A,B,C,D,E,F — вещественные коэффициенты, причем .
Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия
второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Рассмотрим уравнение (1) и приведем его к такой системе координат, в которой уравнение имело бы наиболее простой вид. Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.
Осуществим параллельный перенос исходной системы координат XOY на вектор (рис.1). Возьмем точкуM с координатами в системе координат. Тогда в новой системе координаткоординатыточкаM находятся по формулам:
откуда
Рис. 1. Рис.2.
Пустькоординаты точкиM в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точкиM в новой системе координат X'OY'.(рис.2.) Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:
(так как ); (2)
(так как ); (3)
Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то,. (4)
Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому,. (5)
Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим:(6)
Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые.
Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY .
Подставим формулы (6) у уравнение (1), получим:
Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.
При , получим:
,
При :
, (7)
При :
,
При :
,
При :
.
Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:
(8)
Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент. Из (7) следует, чтопоэтому
После данного преобразования уравнение (1) примет вид:
. (9)
Задача 1. Доказать, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:
(10)
Определение 2. Величины, которые не меняются при преобразованиях, называются инвариантными.
Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что
. (11)
Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три
случая:
1) (эллиптический случай);
2) (гиперболический случай);
3) (параболический случай).
Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что, то есть знакисовпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:
Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:
, (12)
где
Положим , тогда уравнение (12) примет вид:. (13)
Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на, получим:
(14)
Так как и, то предположим, что. (15)
Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса
Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.
Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами
Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что, то есть числаимеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:
Предположим, что . Отсюда:
(16)
Так как и разных знаков, следовательно , одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть(17)
тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:
При уравнение принимает вид:(18)
Пусть , тогдаи уравнение (18) примет вид:откудаТаким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.
Рассмотрим параболический случай. Так как , то.
Пусть . Так как после поворота, то уравнение (9) преобразуется до вида:(19)
Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
тогда уравнение (19) примет вид: или, (20)
где . Из (20) следует, что
Рассмотрим два случая:
Пусть , тогда, то есть(21)
где
Положим , тогда уравнение (21) примет вид:
Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно
оси (OY ).
Пусть , тогда уравнение (20) перепишется в виде
(22)
1. Если , то получим уравнение оси (OY ).
2. Если , то возможны два случая. Если A′ и F′ одного знака, то точек, удовлетворяющих данному уравнению, нет; если же A′ и F′ разных знаков, то, где, поэтомуи уравнение (22) описывает две параллельные прямые:
b) Пусть , тогда уравнение (9) примет вид
(23)
Если , а, то точек, удовлетворяющих уравнению (23), нет; если жеилиотличны от нуля, то уравнение (23) описывает прямую.
Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:
- уравнение эллипса
- уравнение гиперболы
- уравнение параболы