- •Глава 11. Классический метод расчета переходных процессов
- •11.1. Общие сведения
- •11.2. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений переходного процесса
- •11.3. Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на емкости
- •11.4. Общая характеристика классического метода расчета переходных процессов
- •11.5. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и индуктивности
- •11.5.1. Свободный ток цепи
- •11.5.2. Короткое замыкание цепи r, l
- •11.5.3. Включение цепи r, l на постоянное напряжение
- •11.5.4. Включение цепи r, l на синусоидальное напряжение
- •11.6. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением сопротивления и емкости
- •11.6.1. Свободное напряжение на емкости
- •11.6.2. Короткое замыкание цепи r, c
- •11.6.3. Включение цепи r, c на постоянное напряжение
- •11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
- •11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
- •11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
- •11.7.2. Включение цепи r, l, c на постоянное напряжение
- •11.8. Переходные процессы в разветвленных цепях
11.6.4. Включение цепи r, c на синусоидальное напряжение
Цепь R, C (рис.11.17) включается на синусоидальное напряжение
.
Начальные условия те же, что и для цепи (рис.11.15):
при , .
Дифференциальное уравнение для цепи (рис.11.17):
. (11.43)
Решение уравнения (11.43) классическим методом:
Рис. 11.17 .
Принужденную составляющую напря-
жения на емкости определим в результате расчета цепи (рис.11.17) в установившемся режиме.
Принужденный ток цепи
, (11.44)
где ; ; 0; .
Тогда принужденная составляющая напряжения на емкости будет также синусоидальна и будет отставать от тока на угол :
, (11.45)
где .
Свободная составляющая для цепи (рис.11.17) известна из (11.34):
.
Определим напряжение переходного процесса на емкости:
. (11.46)
Постоянную интегрирования A определим из начальных условий, подставив их в уравнение (11.46):
, откуда
.
Подставив A в уравнение (11.46), получим:
. (11.47)
Определим ток переходного процесса, взяв производную по времени от выражения (11.47) и умножив ее на емкость:
,(11.48)
где ; .
П о выражениям (11.47) и (11.48) на рис.11.18 построены кривые напряжения на емкости и тока переходного процесса для цепи (рис.11.17) при . Из графика (рис.11.18) видно, что на
с инусоидальные и налагаются свободные состав-ляющие и , абсолютная величина которых уменьшается по показательному закону (экспоненте). В результате и в некоторые моменты времени превосходят и . Быстрота устано-вления режима определяется величиной постоянной времени .
Начальные значения , зависят от фазы включения , причем . Если включение
Рис. 11.18 происходит в момент, когда
должен иметь наибольшее по
абсолютной величине значение ( ), т.е. когда , то
и , и режим в цепи устанавливается сразу после включения.
Если в момент включения ( ), что будет при (рис.11.18.) и при , то начальные значения и получают по абсолютной величине наибольшие возможные значения, а именно:
и .
В последнем случае может превысить амплитуду тока в раз. Напряжение на конденсаторе в переходном режиме не может превзойти , так как наибольшее значение не может превзойти .
В качестве примера неблагоприятного переходного процесса при включении цепи R, C на синусоидальное напряжение можно привести включение ненагруженной кабельной линии под напряжение. При этом возникают большие толчки тока, для уменьшения которых включают последовательно с линией пусковые сопротивления.
11.7. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением r, l, c
11.7.1. Короткое замыкание цепи r, l, c (разряд конденсатора на r, l)
П усть конденсатор С заряженный до напряжения замыкается на цепь с последовательным соединением R, L (рис.11.19). Запишем дифференциальное уравнение для цепи после коммутации:
Рис. 11.19 . (11.49)
В уравнении (11.49) два неизвестных – ток и напряжение переходного процесса. Что бы избавиться от одного из неизвестных, продифференцируем уравнение (11.49) по времени:
. (11.50)
Третье слагаемое в уравнении (11.50) умножим и разделим на емкость С и учтем, что , тогда уравнение (11.50) запишется в следующем виде:
. (11.51)
Уравнение (11.51) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка с одним неизвестным i.
Решаем это уравнение классическим методом: ; принужденная составляющая тока , так как правая часть уравнения (11.51) равна нулю. Следовательно, .
Запишем характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (11.51):
, или . (11.52)
Уравнение (11.52) является алгебраическим уравнением второго порядка, аналогичное уравнению из курса математики:
, корни которого
. (11.53)
В соответствии с (11.53), корнями уравнения (11.52) будут:
. (11.54)
Обозначим в уравнении (11.54):
и , (11.55)
тогда корни характеристического уравнения (11.52) примут вид:
(11.56)
Решение дифференциального уравнения второго порядка (11.51) должно содержать две постоянных интегрирования, для нахождения которых необходимы два начальных условия:
первое начальное условие:
, ;
второе начальное условие:
определим значение производной от тока при из уравнения (11.49):
;
подставим в это уравнение , , :
, откуда
второе начальное условие.
Характер разряда конденсатора зависит от соотношения между R, L, C и, в конечном счете, определяется тем, будут ли корни характеристического уравнения и вещественными или комплексными.
В таблице 11.1 приведены сведения о характере разряда конденсатора на R, L в зависимости от вида корней и и общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Таблица 11.2
Корни и |
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (11.51) |
Характер разряда конденсатора на R, L |
Вещественные неравные
|
(11.57) |
Апериодический |
Вещественные равные
|
(11.58) |
Предельный апериодический |
Комплексные: ;
|
(11.59)
|
Колебательный |
Рассмотрим три вида разряда конденсатора на R, L.
В а р и а н т 1. Апериодический разряд конденсатора.
Предположим, что (11.55), т.е.
или , (11.60)
тогда характеристическое уравнение (11.52) имеет вещественные и неравные корни . В этом случае общим решением однородного дифференциального уравнения второго порядка (11.51) будет сумма двух экспоненциальных функций (11.57). Постоянные интегрирования A1 и A2 находим из начальных условий. Подставляя первое начальное условие: , в уравнение (11.57), получаем: 0 = A1 + A2, откуда A2 = A1;
. (11.61)
Возьмем производную по времени от уравнения (11.61):
. (11.62)
Подставляя в уравнение (11.62) второе начальное условие: , , получаем: , откуда, с учетом (11.56):
. (11.63)
Значение A1 подставляем в уравнение (11.61), получаем выражение тока переходного процесса:
. (11.64)
Определим напряжения переходного процесса:
на активном сопротивлении:
;
на индуктивности:
; (11.65)
на емкости (из уравнения (11.49)):
. (11.66)
Таким образом, ток (11.64) и напряжения (11.65), (11.66) переходного процесса состоят из алгебраической суммы двух экспонент, имеющих разные знаки. Так как корни и
о трицательны и , то первая экспонента затухает медленнее, чем вторая. В резу-льтате, , начиная с , непрерывно убывает, оставаясь всегда положительным, так как его первая экспонента положи-тельна и больше второй отрицательной (рис.11.20). Ток , начиная с нуля, всегда отри-
Рис. 11.20 цательный, что соответствует
току разряда конденсатора.
Рассмотренный вид разряда конденсатора на R, L называется апериодическим.
Энергетическая сторона апериодического процесса заключается в следующем. Так как напряжение на конденсаторе непрерывно уменьшается, то конденсатор отдает энергию R и L. Индуктивность с увеличением тока накапливает энергию в магнитном поле, но, начиная с момента времени (рис.11.20), ток уменьшается, и индуктивность постепенно отдает энергию сопротивлению R. В течение всего процесса сопротивление R потребляет энергию, превращая ее в тепло.
В а р и а н т 2. Предельный апериодический разряд конденсатора.
В этом случае , т.к. = , тогда характеристическое уравнение (11.52) имеет вещественные и равные корни . При этом решение дифференциального уравнения (11.51) находится в виде (11.58). Постоянные интегрирования A3 и A4 находим из начальных условий. Подставляя первое начальное условие: , в уравнение (11.58), получаем: A3 = 0, тогда
. (11.67)
Возьмем производную по времени от уравнения (11.67):
. (11.68)
Подставляя в уравнение (11.68) второе начальное условие: , , получаем: .
Из уравнения (11.67) имеем:
. (11.69)
Напряжения переходного процесса на индуктивности и на емкости:
; (11.70)
. (11.71)
Рассматривая выражения (11.69) - (11.71) для тока и напряжений переходного процесса, мы придем к таким же заключениям, что и при . Таким образом, при мы имеем предельный случай апериодического разряда конденсатора. При дальнейшем уменьшении R, разряд из апериодического переходит в колебательный.
В а р и а н т 3. Колебательный разряд конденсатора.
В этом случае т.к. , характеристическое уравнение (11.52) в этом случае имеет комплексные корни.
Обозначим , тогда:
(11.72)
Общее решение однородного дифференциального уравнения (11.51) в этом случае имеет вид (11.59). Постоянные интегрирования A5 и A6 находим из начальных условий. Подставляя первое начальное условие: , в уравнение (11.59), получаем: A6 = 0, тогда
. (11.73)
Определим производную по времени от уравнения (11.73):
. (11.74)
Подставляя в уравнение (11.74) второе начальное условие: , , получаем: , .
Подставляя значение A5 в уравнение (11.73), имеем:
. (11.75)
Обозначив , получим
. (11.76)
Напряжения переходного процесса:
; (11.77)
. (11.78)
Построим по выражению (11.76) кривую тока переходного процесса (рис.11.21).
К ак видно из выражений (11.76)-(11.78) для тока и напряжений переходного процесса и графика (рис.11.21), разряд конден-сатора на R, L носит колеба-тельный характер, причем амплитуды тока и напря-жений постепенно уменьша-ются, так как множитель
Рис.11.21 с ростом времени t
стремиться к нулю. Угловая
частота этих собственных затухающих колебаний
меньше угловой частоты собственных незатухающих колебаний , а период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний:
.
Для предельного случая сверхпроводящей цепи, когда , имеем:
, ; (11.79)
Следовательно, если бы в цепи не происходило рассеяние энергии, ток и напряжения были бы синусоидальными функциями времени, т.е. имели бы место так называемые собственные незатухающие колебания, угловая частота которых равна резонансной частоте этой цепи .