- •Глава 8. Несинусоидальные токи в линейных цепях
- •8.1. Разложение несинусоидальных токов в ряд Фурье
- •8.2. Некоторые свойства периодических кривых токов и напряжений, обладающих симметрией
- •8.3 Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
- •8.4. Мощность периодических несинусоидальных токов
- •8.5. Влияние параметров цепи на форму кривой тока при несинусоидальном напряжении
- •8.6. Расчет линейных цепей при несинусоидальных токах
- •8.7. Резонанс напряжений при несинусоидальных токах и напряжениях
- •8.8. Высшие гармоники в трехфазных цепях
- •8.8.1. Гармоники трехфазной системы напряжений, создающие симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей.
- •8.2.2 Особенности работы трехфазных систем, вызванные гармониками, кратными трем.
- •3) Расчет трехфазной цепи для третьей гармоники.
8.3 Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
Определим зависимость между действующим значением периодического несинусоидального тока и действующими значениями отдельных гармоник, причем постоянную составляющую будем рассматривать как гармонику нулевого порядка.
По определению для квадрата действующего значения тока имеем:
(8.9)
Представляя ток в виде ряда Фурье
(8.10)
и возведя этот ряд в квадрат, мы видим, что i2 можно представить как сумму квадратов отдельных гармоник и сумму удвоенных произведений их. В соответствии с этим можно представить в виде двух сумм интегралов, а именно:
(8.11)
причем и
Так как то
т.е. квадрат действующего значения несинусоидального тока равен сумме квадратов действующих значений отдельных гармоник или
. (8.12)
Аналогично определяется действующее значение несинусоидального напряжения
. (8.13)
Для характеристики несинусоидальных кривых без постоянной составляющей применяют следующие коэффициенты:
Коэффициент искажения синусоидальности кривой напряжения: отношение действующего значения напряжения высших гармоник (до 40-й гармоники включительно) к действующему значению напряжения первой гармоники в (процентах):
(8.14)
Коэффициент k-ой гармонической составляющей напряжения: отношение действующего значения напряжения k-ой гармоники к действующему значению напряжения первой гармоники (в процентах):
(8.15)
Коэффициент амплитуды: отношение максимального значения несинусоидального напряжения к действующему значению U:
(8.16)
Коэффициент формы: отношение действующего значения несинусоидального напряжения к среднему значению:
(8.17)
Несинусоидальные напряжения и токи могут измеряться приборами различных систем. Приборы электромагнитной и электродинамической систем измеряют действующие значения несинусоидальных напряжений и токов; магнитоэлектрические приборы измеряют постоянную составляющую; выпрямительные приборы измеряют среднее по модулю значение измеряемой величины; амплитудные электронные вольтметры измеряют максимальное значение напряжения.
8.4. Мощность периодических несинусоидальных токов
Активная мощность – среднее за период значение мощности:
(8.18)
где мгновенные значения несинусоидальных напряжения и тока – представлены рядами Фурье:
(8.19)
Произведение будет представлено суммой произведений одноименных гармоник и суммой произведений разноименных гармоник напряжения и тока причем
Подставив выражения (8.19) в формулу активной мощности (8.18), получим:
(8.20)
Так как то
Следовательно
(8.21)
или
. (8.22)
т.е. активная мощность при несинусоидальных напряжении и токе равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.
По аналогии с синусоидальным током можно также ввести понятие реактивной мощности, определяемой суммой реактивных мощностей отдельных гармоник (постоянные составляющие тока и напряжения реактивную мощность не создают):
. (8.23)
Полная мощность по аналогии с синусоидальным током равна произведению действующих значений несинусоидальных напряжения и тока:
(8.24)
Коэффициент мощности при несинусоидальных напряжении и токе: (8.25)
где - коэффициент мощности первой гармоники;
- коэффициенты искажения кривой напряжения и кривой тока.
Подставив значения в выражение (8.25), получим: (8.26)
где R1 – активное сопротивление цепи первой гармоники.
Максимальное значение коэффициентов искажения и равно единице при отсутствии высших гармоник; при наличии в кривых напряжения и тока высших гармоник и меньше единицы. Поэтому, если (кривая тока меньше искажена, чем кривая напряжения), то как следует из выражения (8.25) коэффициент мощности
Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных полная мощность Величина
(8.27)
называется мощностью искажения.
Отношение характеризует степень различия по форме кривых напряжения и тока.