220
δA* 21
E dq |
|
21 |
1 |
M |
dI |
I dt |
|
2 |
|||
|
|
||
21 |
dt |
1 |
|
|
|
M |
I dI |
2 |
21 |
1 |
;
интеграл от этого выражения по I2 при I1 = const — взаимная энергия
A* 21
W21
I2
|
|
M |
I dI |
2 |
|
21 |
1 |
||
|
0 |
|
|
|
M |
21 |
I |
I |
2 |
|
1 |
|
.
Итак, энергия магнитного поля двух проводников
L I |
2 |
|
|
W |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
L I |
2 |
|
|
|
||
2 |
2 |
||
|
|||
|
2 |
|
M |
I |
I |
21 |
1 |
2 |
.
Если действовать в обратной последовательности, т. е. сначала увеличивать ток в контуре 2, а затем — в контуре 1, то результат должен быть тем же:
W W1 W2 W12 W1 W2 W21 W12 W21 M12 M21 .
Мы доказали теорему взаимности (см. РАЗДЕЛ 3.9.3).
3.10.3. Объёмная плотность энергии магнитного поля
Энергия магнитного поля длинного прямого воздушного соленоида индуктивностью L, по которому идёт ток I,
W
Индуктивность соленоида
L μ0N2S l
|
LI |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V |
|
μ N2Sl |
μ n2V , |
(27.2) |
|||
|
0 |
|
|
||
|
l2 |
|
|
0 |
|
где N — число витков соленоида, l — его длина, S — площадь поперечного сечения,
V = Sl — объём соленоида,
n
N l
— плотность намотки. Подставим (27.2) в (27.1):
|
2 |
I |
2 |
|
B |
2 |
|
|
W |
μ n |
|
V |
|
V |
|
||
0 |
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
2μ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
так как модуль индукции магнитного поля длинного соленоида B = µ0nI.
Объёмная плотность энергии магнитного поля
w |
W |
|
V |
||
|
|
B |
2 |
|
|
|
||
2μ |
|||
|
|||
|
|
0 |
.
Этот результат обобщается на случай неоднородного магнитного поля.
В вакууме напряжённость магнитного поля |
H |
B |
||||
μ |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
BH |
|
; |
|
|
|
2 |
|
|
эта формула справедлива для любой среды. В однородной неферромагнитной среде
(см. 3.1.4), отсюда
w B2
2μ0
221
(относительная магнитная проницаемость неферромагнитной среды µ ≈ 1,
см. 3.11.6).
Энергия неоднородного магнитного поля в области пространства объёмом V
W wdV |
BH |
dV |
||
2 |
||||
V |
V |
|
||
|
|
|||
|
|
|
|
.
В общем случае объёмная плотность энергии электромагнитного поля
здесь
D
w |
DE |
|
BH |
, |
|
2 |
2 |
||||
|
|
||||
|
|
|
— электрическое смещение, E |
— напряжённость электрического поля. |
3.11. Магнитное поле в веществе
3.11.1. Макротоки и микротоки. Намагниченность
Макротоки — упорядоченное движение заряженных частиц, при котором частицы перемещаются на расстояния, много большие межмолекулярных.
Микротоки — движение заряженных частиц внутри атомов и молекул.
Магнитное поле в веществе определяется полем макротоков и усреднённым полем микротоков:
B B0 B .
поле макротоков |
поле микротоков |
|
Каждый электрон в атоме (молекуле), двигаясь вокруг ядра, создаёт микроток и собственное магнитное поле; это движение характеризуется микротоком i и маг-
нитным моментом
pm
. В отсутствие внешнего магнитного поля (макротоков) все
магнитные моменты атомов ориентированы разнонаправленно и
(см. ТАБЛ. 27.1).
B 0
222
Таблица 27.1
Процесс намагничивания
B |
0 |
0 |
|
i
i
ii
pm 0
B 0
B |
0 |
69 |
0 |
|
|
i i
i |
i |
|
m |
|
|
|
p |
0 |
|
i |
|
B |
|
B 0 |
Вещество намагничивается, т. е. приобретает отличный от нуля магнитный момент.
Намагниченность — векторная характеристика магнитного поля в веществе, равная дипольному моменту вещества, занимающего единичный объём:
J
J
pm V
А
м
.
,
3.11.2. Теорема о циркуляции намагниченности, магнитной индукции и напряжённости магнитного поля
1. Теорема о циркуляции B
Циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков и микротоков, сцепленных с этим контуром:
|
0 |
|
L |
|
Bdl μ |
I |
|
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
μ |
i |
|
L |
|
|
|
.
(27.3)
Здесь и далее в этом параграфе I — макроток, i — микроток70.
Вторая сумма в правой части этого равенства не поддаётся прямому вычислению, так как распределение микротоков заранее не известно.
2. Теорема о циркуляции J
Проведём внутри вещества (магнетика) замкнутый контур L (РИС. 27.1А)и подсчитаем сумму микротоков, сцепленных с этим контуром.
69На рисунке в этой колонке показано, что магнитные моменты молекул выстраиваются вдоль поля макротоков. Так происходит, если вещество парамагнитно (см. РАЗДЕЛ 3.11.8). У диамагнетиков (РАЗДЕЛ 3.11.7) магнитные моменты молекул выстраиваются, наоборот, против внешнего поля.
70В «живой» лекции можно обозначать Iмакро, iмикро или другим образом.
223
|
i |
|
V |
i |
i |
|
α |
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
i |
|
|
l |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
а |
|
б |
Рис. 27.1
Рассмотрим элемент контура L длиной l (РИС. 27.1Б). Центры микротоков, сцепленных с участком l, находятся внутри цилиндра длины l и площади основания, равной площади S микротоков. Основание этого цилиндра параллельно плоскостям микротоков и составляет угол α с участком l. Объём этого цилиндра
V S lcosα . |
|
Число микротоков, сцепленных с участком |
l, |
N n V nS |
lcosα |
,
где n — концентрация магнетика — число микротоков (молекул), находящихся в веществе единичного объёма. Сумма микротоков, сцепленных с участком l,
|
i |
l |
i N inS lcosα npm |
lcosα npm |
l J l , |
|
|
|
|
|
|
pm |
— магнитный момент молекулы. Просуммируем эти выражения при |
||||
т. е. проинтегрируем по всему контуру L: |
|
|
l
0
,
Jdl i L L
(27.4)
— теорема о циркуляции намагниченности: циркуляция вектора намагничен-
ности по произвольному замкнутому контуру равна сумме микротоков, сцепленных с этим контуром.
3. Теорема о циркуляции H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем выражение теоремы о циркуляции |
B |
||||||||||||
J (27.4): |
0 |
|
L |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
Bdl μ |
I |
|
μ |
Jdl |
|
B μ |
||||||
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
I |
L . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
J dl |
|||||
|
|
|
|
μ |
|||||||||
|
|
|
|
L |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
J H |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(27.3), подставив циркуляцию
J dl μ0 I |
L |
, |
|
|
— напряжённость магнитного поля — вспомогательная силовая характеристика магнитного поля.
224
Теорема о циркуляции напряжённости магнитного поля: циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному замкнутому контуру равна сумме макротоков, сцепленных с этим контуром:
Hdl I L L
.
(27.5)
Напряжённость магнитного поля определяется только макротоками.
3.11.3. Связь магнитной индукции, намагниченности и напряжённости магнитного поля
1) В любом случае согласно определению напряжённости магнитного поля
B μ0 H μ0 J . |
|
|
|||||
2) Для изотропных магнетиков, неферромагнетиков |
J |
H , J ~ H; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J χH |
, |
|
|
|
χ — магнитная восприимчивость вещества. |
|
|
|||||
Подставим (27.7) в (27.6): |
|
|
|
||||
B μ0 H μ0 χH μ0 1 χ H . |
|
||||||
Обозначим |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ 1 χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
— относительная магнитная проницаемость вещества. |
|||||||
С учётом определения (27.8) получим |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B μ μH |
. |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
(27.6)
(27.7)
(27.8)
(27.9)
Эта формула связи уме µ = 1.
B
и
H
справедлива только для изотропных магнетиков. В ваку-
В отсутствие магнетиков индукция магнитного поля макротоков
B0 μ0 H . |
||
При наличии изотропного магнетика B μ0μH |
||
B |
μ . |
|
B |
||
|
||
0 |
|
. Отсюда следует, что
Магнитная индукция при наличии магнетика отличается от индукции магнитного поля при том же распределении макротоков в µ раз. Возможно µ 1 (см. РАЗДЕЛ
3.11.6).
3) Для ферромагнетиков зависимости B(H) и J(H) нелинейные (см. 3.11.9).
3.11.4. Условия на границе раздела двух магнетиков
Проанализируем, как изменяется магнитное поле при переходе из одной среды (магнетика) в другую.
Пусть имеются два изотропных магнетика (относительные магнитные проницаемости µ1 и µ2), граничащие друг с другом (РИС. 27.2). В среде с µ1 существует магнит-
ное поле с индукцией B1 и напряжённостью H1 . Макротоки на границе раздела
225
сред отсутствуют. Найдём векторные характеристики поля в среде с µ2 —
(в проекциях на нормаль n и касательную τ |
к поверхности раздела сред). |
B2
и H
2
µ1 |
µ1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
µ2 |
µ2 |
4 |
3 |
|
S |
|
|
|
L |
а |
|
|
|
б |
|
Рис. 27.2 |
|
|
1) Bn
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
BdS 0 .
S
B
Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 27.2А). Магнитный поток
S
BdS B |
S |
торц |
|
|
1n |
|
|
||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
бок |
BdS B |
S |
торц |
|||
|
|
2n |
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
B |
B |
|
|
|
|
2n |
|
1n |
|
B |
B |
S |
торц |
2n |
1n |
|
0
;
(27.10)
— нормальная составляющая вектора магнитной индукции не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.
2) Hn |
|
Связь B и H |
в изотропном магнетике |
|
B μ0μH , |
Поэтому, с учётом условия (27.10), |
|
|
H |
|
|
μ |
μ0μ1H1n μ0μ2H2n |
|
|
2n |
1 |
|
|
|
||||
H |
|
|
μ |
||
|
|
|
|
||
|
|
1n |
|
2 |
(27.11)
— нормальная составляющая напряжённости магнитного поля претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.
3) Hτ
Воспользуемся теоремой о циркуляции H
Hdl I L .
L
Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 27.2Б), а другая
мала (стороны 2-3 и 4-1). Циркуляция H по контуру L
226
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Hdl H1τl12 |
|
|
Hdl H2τl34 |
|
Hdl H1τ H2τ l12 |
0 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
|
2 |
0 |
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
I |
|
0 |
; |
||||||
так как макротоки на границе раздела сред отсутствуют и |
L |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2τ |
1τ |
|
|
|
|
|
|
|
(27.12)
— тангенциальная составляющая напряжённости магнитного поля не претерпевает скачка на границе раздела магнетиков.
4) Bτ
Из связи
B
и
H
(27.9) и условия (27.12) получим
B |
|
B |
|
B |
|
μ |
1τ |
|
2τ |
|
2τ |
|
2 |
μ μ |
μ μ |
B |
μ |
|||
0 1 |
|
0 2 |
|
1τ |
|
1 |
(27.13)
— тангенциальная составляющая магнитной индукции претерпевает скачок на границе раздела магнетиков.
227
Лекция 28
3.11.5. Магнитный момент атома. Спин
i
Рис. 28.1
мент импульса
Электрон, движущийся по орбите вокруг ядра71, представляет собой микроток (РИС. 28.1). Так как заряд электрона отрицательный, сила тока i направ-
|
лена против скорости v , а магнитный момент элек- |
||||||||||
|
трона pm |
— против момента импульса L . |
|
||||||||
|
Модуль магнитного момента электрона |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm iS ,(28.1) |
|
|
где S = πr2 (r – радиус орбиты) — площадь орбиты; |
||||||||||
|
сила тока |
|
|
|
|
||||||
|
i |
q |
|
e |
|
ev |
, |
(28.2) |
|||
|
t |
|
T |
2πr |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
где T — период обращения электрона по орбите; мо- |
||||||||||
|
L me |
|
vr |
|
L mevr , |
(28.3) |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где me — масса электрона. Подставив (28.2) в (28.1)
p |
|
ev |
πr |
2 |
|
evr |
pm |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
m |
|
2πr |
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
pm |
|
e |
L |
. |
||
|
|
|
|
2m |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
и сравнив с (28.3), получим
eL |
, |
|
2m |
||
|
||
e |
|
Гиромагнитное отношение орбитальных моментов
g |
p |
|
e |
m |
|
||
|
|
|
|
|
L |
|
2m |
|
|
|
e |
не зависит от r, v и т. п., а является характерной константой.
(28.4)
Помимо момента импульса и магнитного момента, описывающих орбитальное движение, электрон обладает ещё и собственным моментом импульса и магнитным моментом — спином. Спин — квантовый релятивистский эффект, не объяснимый с точки зрения классической теории.
Гиромагнитное отношение спиновых моментов
gs |
e |
|
; |
|
m |
||||
|
|
|
||
|
e |
|
|
модуль собственного магнитного момента
p |
|
e |
μ |
9,27 10 |
24 Дж |
|
|
||||
m |
|
2m |
Б |
|
Тл |
s |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
,
(28.5)
(28.6)
71 С точки зрения современных — квантовых — представлений данная картина некорректна. Тем не менее сейчас, работая в рамках классической физики, мы представляем электрон как материальную точку, движущуюся по определённой (а именно круговой) траектории. Даже из таких представлений мы получим результаты, согласующиеся с экспериментом.
228
µБ — магнетон Бора, ħ — постоянная Планка. Модуль собственного момента им-
пульса
Ls |
3 |
72. |
|
2 |
|||
|
|
3.11.6. Классификация магнетиков
Магнетики
(28.7)
слабомагнитные вещества |
сильномагнитные вещества |
парамагнетики |
диамагнетики |
ферромагнетики |
|
|
Fe, Co, Ni |
Al, Mg, Pt |
H2O, Zn, Cu, Au |
|
|
В отсутствие магнитного поля |
|
Демонстрация: Ориентация парамагнитного и диамагнитного стержней в магнитном поле
3.11.7. Диамагнетизм
Рассмотрим атом (один электрон, обращающийся вокруг ядра), находящийся во
внешнем магнитном поле с индукцией
B
. Магнитный момент
pm
и момент им-
пульса L электрона направлены под углом α к вектору магнитной индукции
(РИС. 28.2). Магнитное поле действует на электрон с моментом сил |
M |
(см. 3.8.3), |
вследствие этого изменяется момент импульса электрона. Изменение момента импульса за время dt
dL Mdt ,
так как M = pmB sin α,
dL pmBsinα dt .
72 Формулы (28.5), (28.6), (28.7) — экспериментальные результаты, обоснованные квантовой реля-
тивистской теорией. Обратим внимание на то, что gs pms .
Ls
229
За время dt плоскость, в которой лежат плоскость нормали к орбите электрона, вокруг направления B на угол
pm |
и |
L , т. е. |
повернётся
dθ |
dL |
|
p Bsinαdt |
|
m |
||
|
|
|
|
|
Lsinα |
|
Lsinα |
p B |
dt |
|
m |
||
|
||
L |
|
;
α |
угловая скорость этого вращения |
|
|
dθ |
|
p |
B |
|
eB |
|
ω |
|
|
m |
|
|
|
. |
i dt L 2me
[здесь мы использовали гиромагнитное отношение орбитальных моментов (28.4)].L
dθ
Рис. 28.2
Вращение направлений магнитного момента и момента импульса электрона в атоме, находящемся в магнитном поле, вокруг направления вектора магнитной индукции называется ларморовой прецессией.
Угловая скорость ларморовой прецессии
ω |
|
eB |
. |
|
|||
L |
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
При ларморовой прецессии атом приобретает добавочный магнитный момент
pm , направленный против B ным, то
[ср. вывод формулы (28.4)].
; если считать орбиту круговой и её радиус r постоян-
|
|
eω r |
2 |
|
2 |
Br |
2 |
p |
|
|
|
e |
|
||
L |
|
|
|
(28.8) |
|||
m |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
4m |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
e |
|
Получается, что все электроны в атомах вещества, магнитные моменты которых ориентированы беспорядочно, если поместить это вещество в магнитное поле, приобретут дополнительные магнитные моменты, направленные одинаково — против поля. Соответственно вещество намагнитится против внешнего магнитного поля. Этот эффект называется диамагнитным и присущ все веществам без исключения.
Намагниченность
J Znpm
,
где Z — число электронов в атоме, n — концентрация атомов вещества; с учётом
(28.8)
|
2 |
B |
r |
2 |
J |
Zne |
|
||
4m |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
e |
|
|
Ze2nS
4πme
B
,
где |
r |
2 |
— средний квадрат радиуса орбиты электрона, а |
S |
— её средняя пло- |
|
щадь.
Найдём магнитную восприимчивость диамагнетика. Так как µ ≈ 1, B μ0 H ; для изотропных слабомагнитных веществ J χH ;