Добавил:

PotapkinBY t.me Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Физика

Файл:

2 семестр / Лекции по физике. Лубенченко

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.07.2023

Размер:

7.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120

	Г
Ж

Ж + П	П
0	V
	Рис. 14.4

Демонстрация: Критическое состояние эфира

2.8.3. Диаграммы состояния вещества

Разные фазы одного и того же вещества могут находиться в термодинамическом равновесии друг с другом. При этом каждому значению давления соответствует своё значение температуры. Совокупность равновесных состояний двух и более фаз изображается на диаграммах (p, T) (РИС. 14.5).

ТТ

	Тр	Г
	Тр
0		T

Рис. 14.5. Фазовая диаграмма вещества

Обозначения на РИС. 14.5: Г — газ, Ж — жидкость, ТТ — твёрдая фаза, К — критическая точка, Тр – тройная точка.

Тройная точка – единственная точка на фазовой диаграмме, в которой три фазы вещества находятся в термодинамическом равновесии.

Для воды pтр = 6,4·102 Па = 5 мм рт. ст.; Tтр = 273,15 К (точно41).

2.8.4. Фазовые переходы

Фазовой переход — переход вещества из одной фазы к другой.

41 Единственность тройной точки делает её удобной для установления эталона температуры.

121

Фазовые переходы

I рода

скачкообразно изменяются ρ, n Q

ПРИМЕРЫ:

сублимация, кипение, переход вещества из одной кристаллической модификации в другую, переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное

II рода

скачкообразно изменяется C

ПРИМЕРЫ:

переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, из нормального состояния в сверхпроводящее

Теплота фазового перехода Q (характеризует переходы I рода) — количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) веществом при фазовом переходе.

Удельная теплота фазового перехода

щаяся на вещество единичной массы:

λ	Q	,
	m	,

— теплота фазового перехода, приходя-

λ	Дж	.
	К

2.9. Неравновесные процессы

2.9.1. Длина свободного пробега молекулы идеального газа
Молекулы идеального газа — это упругие шарики. Двигаясь хаотиче-
ски, они сталкиваются между собой.			d

Размер этих шариков — эффективный диаметр			молекулы
(РИС. 14.6); d = d(T) — слабая функция температуры. Эффективное се-
чение молекулы			Рис. 14.6
σ	πd2	.
	4

Средняя длина свободного пробега молекулы идеального газа — среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями.

Найдём эту величину. Будем считать молекулы неподвижными, движется только «тень» одной молекулы. «Тень» столкнётся со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра диаметром 2d (РИС. 14.7). Число этих молекул N равно числу столкновений «тени»

N πd	2	l n ,

здесь n — концентрация молекул газа, l — длина цилиндра. Средняя длина свободного пробега

λ Nl πd12n .

Рис. 14.7

На самом деле молекулы не неподвижны. Теперь рассмотрим движение молекулы относительно других молекул. Относительная скорость молекулы

122

v	v	v
2	2	2
отн	1	2

Усредним:

vотн2 v2

vотн v2 v1

2v v		v	v
		2	2
1	2	1	2

v2 2 v1v2 cos

	1	2			1	2
2v v			cos		v	,v
						0
	v ,v			2		v2
	1	2

Среднеквадратичные скорости пропорциональны среднеарифметическим, поэтому

v	~	v	2

отн		отн

	2v
	кв

;

	λ		1
	λ		2
			2
			2πd n

Среднее время между двумя последовательными соударениями молекулы

	τ		λ
			v

1 2πd2n v

Среднее число столкновений молекулы в единичный промежуток времени

z	1	v
	τ	λ

2πd2n

Численная оценка

d = 2·10–10 м; n = 3·1025 м–3 λ 2 10 7м;

при T = 300 К

3 м
1 10	с

;

			3
	z		10
	z		2
			2
			2 10

9	с	1
5 10

;

10	с
2 10

2.9.2. Эмпирические уравнения явлений переноса

Явления переноса (кинетические явления) — явления, происходящие в процессе установления термодинамического равновесия в макросистеме.

Три основных кинетических явления, их эмпирические уравнения с выводом и соответствующие характеристики сред представлены в ТАБЛИЦЕ 14.1.

Таблица 14.1

		Явления переноса

	Диффузия	Теплопроводность	Вязкость
	Диффузия	Теплопроводность	(внутреннее трение)
			(внутреннее трение)
выравнивание концен-			выравнивание скоростей упо-
траций (плотности) в			выравнивание скоростей упо-
траций (плотности) в		выравнивание темпера-	рядоченного движения слоёв
смеси	нескольких ве-	выравнивание темпера-	рядоченного движения слоёв
ществ,	обусловленное	тур, обусловленное тепло-	жидкости или газа, обуслов-
тепловым движением		вым движением молекул	ленное тепловым движением
тепловым движением			молекул
молекул			молекул
молекул
— перенос массы		— перенос энергии	— перенос импульса

123

ρ1

ρ2

(ρ2 > ρ1)

(T2 > T1)

(u2 > u1)

m — масса вещества,

переносимого

через

Q — энергия, переноси- fx — модуль силы, с которой

площадку S;

мая через площадку S;

один слой площадью S дей-

m~ S ,

Q ~ S ,

ствует на другой;

Q ~

~ S

t – время;

Q ~ gradT

;

~ gradu ;

m~ gradρ

;

m D

Q æ

— закон Фика.

— закон Фурье.

— закон Ньютона.

Знак «–» означает, что

перенос вещества про-

Знак «–» означает, что по-

исходит

сторону ток тепла идёт в сторону

уменьшения плотности уменьшения температуры.

(концентрации).

—

коэффициент æ — коэффициент теп-

η — коэффициент вязкости;

диффузии;

лопроводности;

кг м

Вт

η Па с=

D с .

æ м К .

Для идеального газа:

c ρ v

ρ v

Численная оценка

кг

μ 2,8 10 2

кг

2 10 7м; v 1 10

;

ρ 1 м3

;

моль

æ 1 5 8,31 103 2 10 7

3 2

2,8 10

Па с

Вт

10 2 10

7 10

5 10

м К

Демонстрации:

1) Теплопроводность твёрдых тел

2) Внутреннее трение в газах

124

Лекция 15

2.9.3. Молекулярно-кинетическая теория явлений переноса (на примере внутреннего трения)

Рассмотрим два слоя газа, расстояние между

которыми равно

2 λ

, движущихся парал-

лельно друг другу со скоростями		u1	и	u2
u1 , u2	v (РИС. 15.1).

Благодаря тепловому движению молекулы переходят из одного слоя в другой, соударяются друг с другом и обмениваются импуль-

сами (см. «АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР»), в т. ч.

компонентами импульса, соответствующими упорядоченному движению, поэтому импульсы упорядоченного движения слоёв выравниваются.

Среднее расстояние между точками, в кото-

Рис. 15.1

рых происходят последовательные столкновения молекулы, равно

положим u1 u z λ , u2 u z	λ	.
Потери импульса слоя 1 за время	t
			N12m0u1	,
	p1		N12m0u1	,

. Поэтому

где m0 – масса молекулы, N12 — число молекул, перешедших из слоя 1 в слой 2; импульс, приобретённый слоем 1,

N m u
21	0	2

где N21 — число молекул, перешедших из слоя 2 в слой 1. Изменение импульса слоя 1

p	N m u
1	12	0	1

N m u
21	0	2

Найдём N12 и N21:

N	n S v	t N
12	6	21
(ср. 2.2.3), n — концентрация газа,	N = const. Из этого следует, что

так как m0n = ρ — плотность газа,

z 2λ , поэтому

	m n			S	v u
		0		S	v u
		0
		6			2
		6
p1			1 S			v ρ u2
t			6
u u						u	z ,
u u							z ,
	2		1			z

u1 ;

По закону Ньютона

η u S

125

f			1	ρ v		λ	u		S
f	x		6	ρ v		λ	z		S
	x

, отсюда
		η		1	ρ v		λ	.
		η		3	ρ v		λ

126

1. Механика42

1.14. Механические колебания43

1.14.1. Виды колебаний

Колебания — периодические изменения какой-либо физической величины во времени. Система тел, в которой происходят колебания, — колебательная система.

Колебания могут иметь разную физическою природу, но схожее математическое описание. Сейчас мы будем рассматривать механические колебания.

	Колебания
свободные		вынужденные
колебательная система		вынужденные
колебательная система		при периодическом внешнем
предоставлена самой себе		при периодическом внешнем
предоставлена самой себе		воздействии
		воздействии
незатухающие	затухающие
	затухающие

W↓

1.14.2. Свободные незатухающие колебания (собственные) колебания)

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (трения нет) в горизонтальном направлении. Груз — материальная точка массы m — колеблется на пружине жёсткостью k (РИС. 15.2), после того как его вывели из положения равновесия (точка O) и предоставили систему самой себе.

O	x

Запишем II закон Ньютона для груза:

Рис. 15.2

ma Fт N F упр .

Спроецируем это уравнение на ось x. Так как Fупр x = –kx, max kx .

d2x

По определению, ax dt2 . Получим дифференциальное уравнение

md2x kx 0 dt2

Обозначим

d	2	x

dt		2

		k	x
		m

42Материал параграфов 1.14 и 1.15 выносится на конец I семестра.

43Материал параграфов 1.14 и 1.15 входит в экзаменационную программу II семестра. Материал лекций 15 (раздел «Механические колебания»), 16 и 17 может быть, по обстоятельствам, прочитан

во II семестре перед темой «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ» или параллельно материалу этой темы.

127

mk ω02 ;

2	x
d	x	2
	2	ω x 0	(15.1)
dt	2	0	(15.1)
dt

— дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение44

x t Acos ω0t φ

(15.2)

содержит две произвольные константы A и φ. Данные константы определяются из начальных условий.

Пусть при t = 0 x = x0, vx = 0 (груз оттянули на x0 и отпустили без начальной скорости). Первая производная функции (15.2) — проекция скорости груза на ось x

dx dt

v	t Aω sin ω t
x	0	0

(15.3)

Подставим начальные условия в функции (15.2) и (15.3) и найдём константы A и φ:

Acosφ,

φ 0,

0 Aω sinφ

Aω sinφ

A x .

Частное решение дифференциального уравнения (15.1) при данных начальных условиях

x t x0 cosω0t ;

проекции скорости и ускорения на ось x

v t x ω cosω t , a t x ω2 cosω t .

x 0 0 0 x 0 0 0

Графики функций x(t), vx(t), ax(t) представлены на РИС. 15.3. Решение (15.2) — гар-

моническая функция.

В общем решении (15.2):

A — амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся величины от равновесного значения;

ω0 — циклическая частота;

выражение в скобках (аргумент косинуса) — фаза колебаний;

φ — начальная фаза.

Введём другие характеристики гармонических колебаний:

период T0 — время, за которое колебательная система совершает одно полное колебание;

частота ν0 — число полных колебаний в единичный промежуток времени;

T0 2π ,

ω0

ν		ω	1
ν		0
		0
	0	2π	T
		2π	T
			0

;

44 Студентам предлагается проверить самостоятельно, является ли формула (15.2) общим решением дифференциального уравнения (15.1).

128

ω	рад	с	1	, ν0	Гц


0	с

x x0

–x0

(герц).

x0ω0

–x0ω0

Рис. 15.3

Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)

129

		2	kx	2
W W W		mv	kx	const
W W W				const
к	п	2	2
		2	2

(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно). Демонстрация: Пружинные маятники

ПРИМЕРЫ

1. Математический маятник

		Математический маятник — материальная точка,
		подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно-
		родном гравитационном поле.
z		Найдём период колебаний математического маятника
		Найдём период колебаний математического маятника
	l	массы m на нити длиной l (РИС. 15.4). Запишем II закон
φ	l	Ньютона:
		Ньютона:

		ma Fт T .

mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:

Рис. 15.4

maτ

Fт

sin

man φ .

Fт

cosφ

(15.4)

Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. ускорение маятника через угловое ускорение:

aτ εzl ,

а по определению

εz d2φ . dt2

Выразим тангенциальное

(15.5)

(15.6)

Подставим (15.5) и (15.6), а также Fт = mg в уравнение (15.4):

	2
m	d φ			l
m	dt		2	l
			2

	2
d φ
dt		2
		2

g l

mgsinφ sinφ 0.

При малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет вид

d2φ ω2φ 0, dt2 0

— дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, где

ω	g	.

0	l

Период колебаний математического маятника

2π

ω0

T0 2π gl

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 2 семестр

#
16.07.20237.88 Mб14Лекции по физике. Лубенченко.pdf
#
16.07.2023684.57 Кб73Сборник задач. Электричество и магнетизм.pdf
#
16.07.2023749.58 Кб8Экзаменационные задачи на 2 семестр.pdf