Литература и лекции / IndefiniteIntegral
.pdf
|
|
|
|
¢ x ¡ Z |
x ¢ d x2 |
|
|
|
´ |
= |
|
|
|
|
|
¢ x ¡ Z x ¢ |
|
|
¢ x2 ¡ 1 |
¡ |
|
||||||||||||||||||||||||
= x2 |
¡ 1 |
¡ 1 |
2 |
x2 ¡ 1 |
2 ¢ 2x ¢ dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
³¡ |
|
|
|
2 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 ¡ |
¢ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
¢ |
|
¡ Z |
px2 |
¡ 1 |
¢ |
|
|
|
p |
|
|
|
¢ |
|
|
|
¡ Z |
|
|
|
px2 |
¡ 1 |
¢ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= x2 |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx = x2 |
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
(x ¡ 1) + 1 |
|
dx = |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1¶ ¢ dx = |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= x2 |
¡ 1 ¢ x ¡ Z µpx2¡ 11 + px21 |
¡ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= p |
|
¢ x ¡ Z p |
|
¢ dx ¡ Z |
p |
1 |
¢ dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ 1 |
x2 ¡ 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ 1 |
|
(20) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= px2 ¡ 1 ¢ x ¡ I ¡ Z px2 |
¡ 1 = I : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соотношение (20) есть уравнение относительно искомого интеграла I: Решим
åãî: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I = Z px2 ¡ 1 ¢ dx = |
¢ µpx2 ¡ 1 ¢ x ¡ Z |
p |
|
|
¶ = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 ¡ 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯x + px2 ¡ 1¯´ |
|
|
|
|
||||||||||||
= |
Int 16 |
= 2 ¢ ³x ¢ px2 ¡ 1 ¡ ln |
+ C : |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
Определение |
гиперболического синуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
ex |
|
e¡x |
exp(x) |
|
|
exp( |
x) |
|
||||||||||
|
|
|
sh x = sinh x |
|
|
|
= |
|
|
|
¡ |
|
|
= |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ðèñ. 2
31
Определение гиперболического косинуса
def |
ex + e¡x |
|
exp(x) + exp( |
¡ |
x) |
|
ch x = cosh x = |
|
= |
|
|
: |
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 3 Определение гиперболического тангенса
def |
sh x |
|
|
sinh x |
|
1 |
¡ |
e¡2x |
|
1 |
¡ |
exp( |
¡ |
2x) |
|
th x = tanh x = |
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
: |
|||
ch x |
cosh x |
1 + e¡2x |
1 + exp( |
2x) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
Ðèñ. 4
32
Определение гиперболического котангенса
def |
ch x |
|
cosh h |
|
|
1 + e¡2x |
|
1 + exp( |
2x) |
|
||
cth x = coth x = |
|
= |
|
|
= |
|
|
= |
|
¡ |
: |
|
sh x |
sinh x |
1 ¡ e¡2x |
1 ¡ exp(¡2x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 5 Определение гиперболического ареасинуса
def |
³jxj + px2 + 1´ : |
arsh x = arcsinh x = sign x ¢ ln |
Ðèñ. 6
33
Определение гиперболического ареакосинуса
arch x = arccosh x = ln ³x + px2 |
¡ 1´; x ¸ 1 : |
||
def |
|
|
|
Ðèñ. 7 |
|
|
|
|
|
|
Определение |
гиперболического ареатангенса |
|
|
|
|
|
|
1 |
¢ ln µ |
1 |
+ x |
¶ : |
|
|
def |
|||||
|
arth x = arctanh x = |
|
|
|
||
|
2 |
1 |
¡ x |
|||
Ðèñ. 8
34
Замечания
Обозначения sh x ; ch x ; th x ; cth x ; arsh x ; arch x ; arth x применяются
только в России. Сайт WolframAlpha.com эти обозначения либо не понимает вообще, либо понимает неверно.
График функции y = ch x называется цепной линией. Справедливы тождества:
sh (arsh x) ´ x ; |
x 2 (¡1; +1) ; |
|
arsh (sh x) ´ x ; |
x 2 |
(¡1; +1) ; |
ch (arch x) ´ x ; |
x 2 [1; +1) ; |
|
arch (ch x) ´ x ¢ sign x ; |
x 2 (¡1; +1) ; |
|
th (arth x) ´ x ; |
x 2 |
(¡1; +1) ; |
arth (th x) ´ x ; |
x 2 (¡1; +1) : |
|
Все гиперболические и обратные гиперболические функции непрерывны на всей области своего задания.
35