Добавил:

FilimonLipin86 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Литература и лекции / IndefiniteIntegral

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.06.2023

Размер:

364.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

= A1 (t3 + t2 ¡ t ¡ 1) + A2 (t2 ¡ 1) + A3 (t ¡ 1) + A4 (t3 + 3t2 + 3t + 1) = (t + 1)3(t ¡ 1)

= t3 ¢ (A1 + A4) + t2 ¢ (A1 + A2 + 3A4) + t1 ¢ (¡A1 + A3 + 3A4) + t0 ¢ (¡A1 ¡ A2 ¡ A3 + A4) : (t + 1)3(t ¡ 1)

Для обеспечения тождественного равенства первого и последнего представлений дроби R(t)

необходимо и достаточно потребовать равенства красного è синего числителей. Тождественное равенство двух полиномов, в свою очередь, означает равенство коэффициентов при одинаковых степенях

переменной t :

t3 :

A1 + A4

= 0

A1 =

¯:

t :

A1 + A3 + 3A4

= 4

)

> A3 = 2

t2 :

+ A2

+ 3A4

= 0

8 A2

= 1

= 0

A4 =

Возвращаемся к основному интегралу:

t :

+ A4

Z px + 1 + px ¡ 1

qx¡1

Z µt + 1

(t + 1)2

(t + 1)3

t ¡ 1¶

x + 1

¡ p

x ¡ 1

dx =

t =

x+1

= R(t)dt =

dt =

µt + 1 (t + 1)2

(t + 1)3

t ¡ 1¶

2 ¢ j

¡1

¡ ¢

¡2

¡ 2 ¢ j ¡ j

¡2

(t + 1)¡1

(t + 1)¡2

dt =

ln t + 1 +

ln t

1 =

¯r

+ 1¯

¯r

1¯

¢ ln

(11)

x+1 + 1

x+1

x 1

x 1 + 1

x + 1

³q

Пакет Wolfram Mathematica показывает результат

´´

px + 1 + px ¡ 1

2 ¢ ³

¡ p

x + p

x + 1

x ¡ 1

dx =

1 + ln

(12)

Результаты (11) è (12) верны, но по разному выглядят. Разность между (12) è (11) равна 12 :

Ñàéò WolframAlpha показывает результат, требующий знакомства с обратными гиперболиче- скими функциями:

Ðèñ. 1

Теорема об универсальнойZтригонометрической подстановке

Интеграл вида R2(sin x; cos x)¢dx можно свести к интегралу от дробно рациональной функции с помощью подстановки

tg	x	= t :	(13)

2

Доказательство Равенство (13) означает, что

x = 2 arctg t ; dx =	2 dt	;

	1 + t2

sin x cos x

2 ¢

sin x =

2 sin x2 cos x2

cos2 x2

cos2 x + sin2 x

cos2 x + sin2

cos2 x

cos

¡ sin

cos2 x2 ¡ sin2 x2

cos x =

cos2 x2

cos2 x

+ sin2 x

cos2 x

+ sin2

cos2 x

2 ¢ sin x2 cos x

= sin22x 1 + cos2 2x

			sin2	x
	1 ¡			2
=	1 ¡		cos2 x2
=			sin2	x
			sin2	x
	1 +			2
	1 +	cos2		x
				2

=	2 ¢ tg x2	=	2t	;

	1 + tg2 x2		1 + t2

=	1 ¡ tg2 x2	=	1 ¡ t2	:
=	1 + tg2 x	=	1 + t2	:
	1 + tg2 x		1 + t2
	2

Дробно рациональная функция от дробно рациональной функции, умноженная на ещ¼ одну дробно рациональную функцию, также является дробно рациональной функцией.

Пример 15	Z	4 sin x + 3 cos x + 5 :
Взять интеграл	Z	4 sin x + 3 cos x + 5 :
		dx

Решение Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Z Z dx

4 sin x + 3 cos x + 5 =

t2 + 4t + 4

2 dt

+ 5 = Z

2 dt

2t + 3

1 ¡ t2

8t + 3 ¡ 3t2 + 5 + 5t2 =

1 + t2

= Z

d (t + 2)

= ¡

+ C = ¡

+ C :

(t + 2)2

t + 2

tg x2 + 2

Теорема

о второй тригонометрической подстановке

Интеграл вида

Z R3(sin2 x; cos2 x; tg x) ¢ dx

можно свести к интегралу от

дробно рациональной функции с помощью подстановки

tg x = t :

(14)

Доказательство

Равенство (14) означает, что

x = arctg t ;

dx =

;

1 + t2

cos2 x =

;

sin2 x = 1 ¡ cos2 x = 1 ¡

1 + tg2 x

1 + t2

Пример 16

Взять интеграл Z

¢ dx :

sin4 x cos4 x

Решение

Применим вторую тригонометрическую подстановку:

¢ dx = Z

1(cos2 x)2 ¢ dx = Z

2 ¢

sin4 x cos4 x

sin2 x

1 + t2

¶ µ

1 + t2

+ t2)3

= Z

¢ dt = Z

t¡4 + 3 t¡2

+ 3 + t2 ¢ dt =

+ 3

+ 3 t +

+ C =

	1	3			tg3 x
= ¡		¡		+ 3 tg x +		+ C :
	3 tg3 x		tg x		3

Замечание Тригонометрические подстановки прокладывают гарантированный путь к "бе-

рущемуся" интегралу, но далеко не всегда этот путь короток и л¼гок. В ряде случаев более простое решение строится с помощью формул тригонометрии. Помощь может оказать также и Таблица дифференциалов.

Пример 17

Взять интеграл

cos6 x ¢ dx :

Решение

cos6 x ¢ dx = Z ¡cos3 x¢2 ¢ dx = Z

µcos 3

¢ dx =

x + 3 cos x

= 16 ¢Z

¡cos2 3x + 6 cos 3x cos x + 9 cos2 x¢ ¢ dx =

= 16 ¢Z µ

1 + 2

+ 6 ¢

+ 9 ¢

¶ ¢ dx =

cos 6x

cos 2x + cos 4x

1 + cos 2x

¢Z

(10 + cos 6x + 6 ¢ cos 2x + 6 ¢ cos 4x + 9 ¢ cos 2x) ¢ dx =

= 16 ¢Z dx +

¢Z

cos 6x ¢ dx + 32 ¢Z cos 2x ¢ dx + 32 ¢Z

cos 4x ¢ dx =

sin 6x

15 sin 2x

3 sin 4x

+ C :

192

Пример 18

Взять интеграл

cos7 x ¢ dx :

Решение Z

cos7 x ¢ dx =

cos6 x ¢ (cos x ¢ dx) =

= Z

cos6 x ¢ d(sin x) =

Di 8

cos2 x

¢ d(sin x) = Z

1 ¡ sin2 x

3 ¢ d(sin x) =

= Z

1 ¡ y2

¢ dy =

y = sin x

5 7

= Z ¡1 ¡ 3 y2 + 3 y4 ¡ y6¢ ¢ dy = y ¡ 3

+ 3

+ C =

= sin x ¡ sin3 x + 35 sin5 x ¡ 17 sin7 x + C :

Теорема о формуле интегрирования по частям для неопредел¼нного интеграла

Z	u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡		Z	v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;	(15)
	Z u(x) ¢ d (v(x)) = u(x) ¢ v(x) ¡ Z v(x) ¢ d (u(x)) ;
	Z	u ¢ dv = u ¢ v ¡ Z	v ¢ du :		(16)

Доказательство Приравняем производные левой и правой частей (15):

µZ ¶0 µ Z ¶0 u(x) ¢ v0(x) ¢ dx = u(x) ¢ v(x) ¡ v(x) ¢ u0(x) ¢ dx ;

u(x) ¢ v0(x) = (u(x) ¢ v(x))0 ¡ v(x) ¢ u0(x) ;

u(x) ¢ v0(x) = u(x)0 ¢ v(x) + u(x) ¢ v(x)0 ¡ v(x) ¢ u0(x) ; u(x) ¢ v0(x) = u(x) ¢ v(x)0 :

Доказательство закончено.

Замечание Формула интегрирования по частям в каком то смысле помогает брать интеграл

от произведения двух функций. Предполагается, что после е¼ применения интеграл либо сразу же становится табличным, либо, по крайней мере, оказывается более простым, чем исходный интеграл.

Пример 19	Z
Взять интеграл	Z	x ¢ cos x ¢ dx :
Решение. 1 й подход
Z x ¢ (cos x ¢ dx) =			= Z	x ¢ d (sin x) = x ¢ sin x ¡ Z	sin x ¢ d (
Z x ¢ (cos x ¢ dx) =		Di 8	= Z	x ¢ d (sin x) = x ¢ sin x ¡ Z	sin x ¢ d (	x ) =
				\|{z} \|{z}	\|{z}	\|{z}
				\|{z} \|{z}	\|{z}	\|{z}

=u(x) =v(x)

=v(x) =u(x)

= Int 9 = x ¢ sin x + cos x + C :

"Решение". 2 й подход

= cos x ¢

2 ¡ Z

2 ¢ d cos x =

x ¢ cos x ¢ dx = Z

cos x ¢ (x ¢ dx) = Z cos x ¢ d µ

= cos x ¢

+ Z

¢ sin x ¢ dx :

Отметим, что второй подход к решению бесперспективен. Множитель x после применения формулы интегрирования по частям переш¼л во множитель x2; отчего только хуже стало.

Замечание При обращении к формуле интегрирования по частям возникает вопрос: какую

из функций в подынтегральном выражении использовать в качестве u(x) ; и какую в качестве v(x) ?

Для ответа на вопрос собер¼м элементарные функции в следующий список:

1.Обратная тригонометрическая.

2.Логарифмическая.

3.Степенная.

4.Тригонометрическая.

5.Показательная.

Та из двух функций, которая в этом списке стоит выше (имеет меньший номер), должна быть взята в качестве u(x) .

Та из двух функций, которая в этом списке стоит ниже (имеет больший номер),

должна быть использована для построения дифференциала d(v(x)) .

Пример 20

Взять интеграл

x2 ¢ ln x ¢ dx :

Решение

Z ln x ¢ d

µ 3 ¶ = 3 ¢Z

ln x ¢ d ¡x3¢ =

Z x2 ¢ ln x ¢ dx = Z ln x ¢ (x2 ¢ dx) =

= 3 ¢ µln x ¢ x3

¡ Z x3 ¢ d (ln x)¶ = 3 ¢ µln x ¢ x3

Z x3 ¢ x ¢ dx¶

= 3 ¢ µln x ¢ x3 ¡ Z x2 ¢ dx¶ = 3 ¢ ln x ¢ x3

9 ¢ x3

+ C :

Пример 21

Взять интеграл

x2 ¢ ex ¢ dx :

Решение	Z x2 ¢ d (ex) = x2 ¢ ex ¡ Z ex ¢ d (x2) = x2 ¢ ex ¡ Z ex ¢ 2x ¢ dx =
Z x2 ¢ (ex ¢ dx) =

Z Z Z

= x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ ex ¢ x ¢ dx = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ (ex ¢ dx) = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ d (ex) =

µ Z ¶

= x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ ex ¡ ex ¢ dx = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ (x ¢ ex ¡ ex) + C :

В данном примере формулу интегрирования по частям пришлось применить два-

æäû.

Пример 22		Z
Взять интеграл			sin x ¢ ex ¢ dx :
Решение Z	sin x ¢ (ex ¢ dx) = Z			sin x ¢ d (ex) = sin x ¢ ex ¡ Z	ex ¢ d (sin x) =

= sin x ¢ ex ¡ Z	ex ¢ cos x ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ Z	cos x ¢ (ex ¢ dx) =
= sin x ¢ ex ¡ Z cos x ¢ d (ex) = sin x ¢ ex ¡ µcos x ¢ ex ¡ Z ex ¢ d (cos x)¶ =


	= sin x ¢ ex ¡	µcos x ¢ ex ¡ Z ex ¢ (¡ sin x) ¢ dx¶ =
	= sin x ¢ ex ¡ µcos x ¢ ex + Z sin x ¢ ex ¢ dx¶ =
	= sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ¡ Z		sin x ¢ ex ¢ dx :
После двухкратного применения формулы интегрирования по частям получен
не ответ, а уравнение относительно искомого интеграла,
Z	sin x ¢ ex ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ¡ Z			sin x ¢ ex ¢ dx ;

откуда

2 ¢Z

sin x ¢ ex ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ;

Z sin x ¢ ex

¢ dx =

¢ sin x ¢ ex ¡

¢ cos x ¢ ex :

Теорема

об интеграле Iº :

Для интеграла

Iº = Z

(x2 + b2)º

справедливо рекуррентное соотношение

Iº+1

= 2ºb2 ¢

µ(x2

+ b2)º + (2º ¡ 1) ¢ Iº¶

Полезным, также, может быть и "обратное" соотношение

Iº+1 = 2º 1

1 ¢ µ2ºb2Iº ¡ (x2 + b2)º

(17)

(18)

Доказательство

Iº

= Z

(x2 + b2)º = Z

(x2 + b2)º ¢

=v(x)

= (x2 + b2)º ¢

=v(x)¡ Z =v(x¢)

(x2 + b2)º =

d x

=u(x)

|{z}

=u(x)

|{z}

=u(x)

}

¡ Z

x ¢ d

¡(x2 + b2)¡º¢ =

¡ Z

x ¢ (¡º)(x2 + b2)¡º¡1 ¢ 2x dx =

(x2 + b2)º

= (x2 + b2)º + 2º Z

x2 ¢ (x2 + b2)¡º¡1dx = (x2 + b2)º + 2º Z ((x2

+ b2)¡º+1 dx =

x2 + b2)

= (x2 + b2)º + 2º Z

µ(x2

+ b2)º+1 ¡

(x2

+ b2)º+1 ¶dx =

(x2 + b2)1

= (x2 + b2)º + 2º ¢ µZ

(x2 + b2)º dx ¡ b2

¢Z

(x2 + b2)º+1 dx¶

+ 2ºIº ¡ 2ºb2Iº+1

= Iº :

(19)

(x2 + b2)º

Из равенства (19) непосредственно вытекают рекуррентное соотношение (17) и дополнительное соотношение (18).

Замечание Рекуррентное соотношение (17) для первых нескольких натуральных значений

º да¼т результаты:

I1 = Z

Int 13

¢ arctg

+ C ;

x2 + b2

I2 = Z

¢ µ

+ (2 ¢ 1 ¡ 1) ¢ I1¶ =

(17) :

= I1+1 =

(x2 + b2)2

º = 1

2 ¢ 1 ¢ b2

(x2 + b2)1

¢ arctg

+ C ;

2b2(x2 + b2)

2b3

I3 = Z (x2 + b2)3

µ(x2 + b2)2 + (2 ¢ 2 ¡ 1) ¢ I2¶

º = 2

= I2+1 =

2 ¢ 2 ¢ b2

(17) :

= 4b2(x2 + b2)2 +

4b2 ¢

2b2(x2 + b2)

+ 2b3 ¢ arctg b + C¶ =

¢ arctg

+ C ;

4b2(x2 + b2)2

8b4(x2 + b2)

8b5

= Z (x2 + b2)4

= I3+1 = 2 ¢ 3 ¢ b2 ¢ µ(x2

+ b2)3 + (2 ¢ 3 ¡ 1) ¢ I3¶ =

º = 3

(17) :

¶ + C =

¢ arctg

6b2(x2 + b2)3

6 ¢ b2

4b2(x2 + b2)2

8b4(x2 + b2)

8b5

15x

¢ arctg

+ C :

6b2(x2 + b2)3

24b4(x2 + b2)2

48b6(x2 + b2)

48b7

Убедиться в верности выведенных выражений для интегралов можно непосредственным дифференцированием.

Пример 14 (возвращение)p

¡ p

x + 1

x ¡ 1

dx :

Взять интеграл

px + 1 + px ¡ 1

Решение, второй способ

¡ p

x ¡ 1) ¢ (p

¡ p

x + 1

x ¡ 1

dx =

x + 1

x ¡ 1)

dx =

Z px + 1 + px ¡ 1

(px + 1 + px ¡ 1) ¢ (px + 1 ¡ px ¡ 1)

x + 1¡ x + 1 ¢

¢ dx =

2 ¡

¡ ¢ dx =

x + 1 2p

+ x 1

x + 1

x ¡ 1

x2 1

= Z

x ¡ x2 ¡ 1 ¢ dx =

¡ Z

x2 ¡ 1 ¢ dx =

¡ I :

Последний, фиолетовый интеграл I

может быть взят несколькими способами.

Применим формулу интегрирования по частям:

I = Z p

¢ dx = p

¢ x ¡ Z x ¢ dp

x2 ¡ 1

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература и лекции

#
30.06.2023225.1 Кб0DefiniteIntegral.pdf
#
30.06.2023293.06 Кб0DiffEqITMO.pdf
#
30.06.2023364.68 Кб0IndefiniteIntegral.pdf
#
30.06.2023161.57 Кб0IntCalculus.pdf
#
30.06.20235.04 Mб1Kudryavcev_KursMatana-1_2006.pdf
#
30.06.2023377.5 Кб0MathAn20180303.pdf
#
30.06.20231.56 Mб0Opredelenia.pdf
#
30.06.2023469.81 Кб0Series.pdf