Литература и лекции / DiffEqITMO
.pdfПример 11 Найти общее решение дифференциального уравнения
y0000 + y000 = 48x + 30 : |
(31) |
Решение Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (31), íàé-
дено в Примере 6 и имеет вид
y0(x) = C1 + C2 ¢ x + C3 ¢ x2 + C4 ¢ exp(¡x) :
Правая часть уравнения (31) есть полином первой степени, однако, поиск частного решения в виде полинома первой степени, y1(x) = b1x + b0 ; не увенчается успехом. Действительно, первые два слагаемых â y0(x) составляют общий вид именно полинома первой степени, который, таким образом, обратит левую часть (31) в ноль, но никак не в 48x + 30 :
В работу (в отличие от Примера 10) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 0 и характеристическое число левой части ¸1 = 0 кратности 3, òî
есть, срабатывает 3 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде
y1(x) = (b1x + b0) ¢ x3 = b1x4 + b0x3;
тогда
y10 (x) = 4b1x3 + 3b0x2; y100(x) = 12b1x2 + 6b0x; y1000(x) = 24b1x + 6b0; y10000(x) = 24b1 :
Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (31):
24b1 + 24b1x + 6b0 = 48x + 30 ;
24b1x + (24b1 + 6b0) = 48x + 30 ;
21
Метод неопредел¼нных коэффициентов порождает систему уравнений: |
|
||||||||||||||||||
½6b0 1+ 24b1 |
= 30 ¯ |
=) |
½b0 |
= |
¡ |
3 |
¯ |
=) y1(x) = 2x ¡ 3 =) |
|
||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24b = 48 |
¯ |
|
b1 |
= 2 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= y(x) = y0(x) + y¯1 |
(x) = C1 + C2 |
¢ |
x +¯C3 |
¢ |
x |
+ C4 |
¢ |
exp( |
¡ |
x) + 2x |
¡ |
3 : |
|||||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
y00 ¡ 5y0 + 6y = 6 exp(5x): |
|
|
|
|
|
|
(32) |
||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение |
однородного |
уравнения, |
соответствующего |
уравнению (32), |
|||||||||||||||
y0(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) ; найдено в Примере 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Характеристическое число правой части ° = 5 ; |
и с ним не совпадают характе- |
ристические числа левой части ¸1 = 2 ¸2 = 3 : Значит, дополнительный множитель
не требуется.
В правой части (32) стоит экспонента, умноженная на число, следовательно,
частное решение следует также разыскивать в виде экспоненты, но умноженной на другое число,
y1(x) = b exp(5x) ;
тогда
y10 (x) = 5b exp(5x) ; |
y100(x) = 25b exp(5x) : |
Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (32):
25b exp(5x) ¡ 5 ¢ 5b exp(5x) + 6 ¢ b exp(5x) = 6 exp(5x) =)
=) 6 ¢ b exp(5x) = 6 exp(5x) =) b = 1 =) y1(x) = exp(5x) =)
=) y(x) = y0(x) + y1(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) + exp(5x) :
22
Пример 13 Найти общее решение дифференциального уравнения
y00 ¡ 4y0 + 4y = 2 exp(2x) : |
(33) |
Решение Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (33),
y0(x) = C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) ; найдено в Примере 5.
Правая часть уравнения (33) есть экспонента (с постоянным коэффициентом при ней), однако, поиск частного решения в виде экспоненты, y1(x) = b exp(2x) ; не увенчается успехом. Действительно, первое слагаемое â y0(x) есть та же экспонента, которая, таким образом, обратит левую часть (33) в ноль, но никак не в 2 exp(2x) :
В работу (в отличие от Примера 12) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 2 и характеристическое число левой части ¸1 = 2 кратности 2, òî
есть, срабатывает 2 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде
y1(x) = b ¢ exp(2x) ¢ x2;
тогда
y10 (x) = b ¢ (2 exp(2x) ¢ x2 + 2 exp(2x) ¢ x) ; y100(x) = b ¢ (4 exp(2x) ¢ x2 + 8 exp(2x) ¢ x + 2 exp(2x)) :
Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (33):
³
b ¢ 4 exp(2x) ¢ x2 + 8 exp(2x) ¢ x + 2 exp(2x) ¡ 4 ¢ (2 exp(2x) ¢ x2 + 2 exp(2x) ¢ x) +
+ 4 ¢ exp(2x) ¢ x2 |
´ |
= 2 exp(2x) =) |
(34) |
=) b ¢ 2 exp(2x) = 2 exp(2x) =) b = 2 =) y1(x) = 2 exp(2x) ¢ x2 |
=) |
23
=) y(x) = y0(x) + y1(x) = C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) + exp(2x) ¢ x2 :
Заметим, что "лишние члены", содержащие exp(2x) ¢ x è exp(2x) ¢ x2 â (34), взаимно уничтожаются. Это не есть удивительная удача, это гарантируется теорией.
Пример 14 Найти общее решение дифференциального уравнения
y00 + 9y = 10 cos(2x) : |
(35) |
Решение |
|
Общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению |
(35), |
y0(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢ sin(3x) ; найдено в Примере 7.
Характеристическое число правой части ° = 2 ¢ { ; и с ним не совпадают харак-
теристические числа левой части ¸1;2 = § 3 ¢ { : Значит, дополнительный множитель
не требуется.
Правую часть (35) можно рассматривать, как линейную комбинацию синуса и
косинуса одного аргумента (хотя один из коэффициентов линейной комбинации и равен нулю), следовательно, частное решение следует также разыскивать в виде линейной комбинации синуса и косинуса,
y1(x) = b0 cos(2x) + b1 sin(2x) ;
тогда
y10 (x) = ¡2b0 sin(2x) + 2b1 cos(2x) ; |
y100(x) = ¡4b0 cos(2x) ¡ 4b1 sin(2x) : |
Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (35):
¡4b0 cos(2x) ¡ 4b1 sin(2x) + 9 ¢ (b0 cos(2x) + b1 sin(2x)) = 10 cos(2x) =)
5b0 cos(2x) + 5b1 sin(2x) = 10 cos(2x) + 0 ¢ sin(2x) =)
24
(тождественное равенство двух линейных комбинаций синуса и косинуса возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов)
|
|
5b0 |
= 10 |
¯ |
|
b0 |
= 2 |
¯ |
|
|
=) |
½ |
|
|
¯ |
=) |
½b1 |
|
¯ |
=) y1(x) = 2 cos(2x) =) |
|
5b1 |
= 0 |
¯ |
= 0 |
¯ |
||||||
= |
y(x) = y0(¯x) + y1(x) = C1 cos(3¯ |
x) + C2 sin(3x) + 2 cos(2x) : |
||||||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 15 Найти общее решение дифференциального уравнения
|
|
y00 + 9y = 18 cos(3x) : |
(36) |
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
Общее решение однородного |
уравнения, |
соответствующего уравнению (36), |
||
y0 |
(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢ sin(3x) ; найдено в Примере 7. |
|
|||
|
Правая часть уравнения (36) есть линейная комбинация синуса и косинуса, |
||||
однако, |
поиск частного решения |
â âèäå |
такой |
же линейной комбинации, |
|
y1 |
(x) = |
b0 cos(3x) + b1 sin(3x) ; не увенчается успехом. |
Действительно, выражение |
äëÿ y0(x) есть ровно такая же линейная комбинация, и она, таким образом, обратит левую часть (36) в ноль, но никак не в 18 cos(3x) :
В работу (в отличие от Примера 14) здесь включаются характеристическое число правой части ° = 3 ¢ { и характеристическое число левой части ¸1 = 3 ¢ { кратности
1, то есть, срабатывает 1 кратное совпадение характеристических чисел. Таким образом, частное решение следует искать в виде
y1(x) = (b0 cos(3x) + b1 sin(3x)) ¢ x1 = b0 x cos(3x) + b1 x sin(3x);
тогда
y10 (x) = b0 ¢ (cos(3x) ¡ 3x sin(3x)) + b1 ¢ (sin(3x) + 3x cos(3x)) ; y100(x) = b0 ¢ (¡6 sin(3x) ¡ 9x cos(3x)) + b1 ¢ (6 cos(3x) ¡ 9x sin(3x)) :
25
Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (36):
b0 ¢(¡6 sin(3x)¡9x cos(3x))+b1 ¢(6 cos(3x)¡9x sin(3x))+9 (b0 x cos(3x) + b1 x sin(3x)) =
= 18 cos(3x) =) |
(37) |
=) b1 ¢ 6 cos(3x) + b0 ¢ (¡6) sin(3x) = 18 cos(3x) + 0 ¢ sin(3x) |
=) |
(тождественное равенство двух линейных комбинаций синуса и косинуса возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов)
=) |
½ |
6b1 = 18 |
¯ =) |
b1 |
= 3 |
¯ |
=) y1(x) = 3 x sin(3x) =) |
|
6b0 = 0 |
½b0 |
= 0 |
||||||
|
|
¡ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
= |
|
y(x) = y0(¯x) + y1(x) = C1 cos(3¯ |
x) + C2 sin(3x) + 3 x sin(3x) : |
|||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что "лишние члены", x cos(3x) |
è x sin(3x) â (37) взаимно уничтожа- |
ются. Это не есть удивительная удача, это гарантируется теорией.
Теорема о методе Лагранжа вариации произвольных постоянных Пусть общее решение ЛОДУ
any(n) + an¡1y(n¡1) + : : : + a1y0 + a0y = 0
уже найдено в виде
y0 = y0(x) = C1z1(x) + C2z2(x) + : : : + Cnzn(x) ;
ãäå C1 ; C2 ; : : : ; Cn¡1 ; Cn произвольные константы.
Тогда общее решение ЛНДУ
any(n) + an¡1y(n¡1) + : : : + a1y0 + a0y = q(x)
26
может быть найдено в виде
y = y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) + : : : + cn¡1(x)zn¡1(x) + cn(x)zn(x) ;
ãäå c1(x) ; c2(x) ; : : : ; cn¡1(x) ; cn(x) функции, которые являются решением системы уравнений
> |
z1(x)c10 (x) + z2(x)c20 (x) + : : : + zn(x)cn0 (x) = 0 |
||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 z10 (x)c10 (x) + z20 (x)c20 (x) + : : : + zn0 (x)cn0 (x) = 0 |
|||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
: : : |
|
|
= |
0 |
||
> |
|
(n 2) |
|
|
(n |
2) |
|
(n |
2) |
|
|
|
|
> |
|
(x)c0 |
(x) + z |
(x)c0 |
(x)c0 (x) = 0 |
||||||||
< z |
¡ |
¡ |
|
(x) + : : : + zn ¡ |
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) |
|
> z(n¡1) |
(x)c |
(x) + z(n¡1) |
(x)c |
(x) + : : : + z(n¡1)(x)c |
(x) = |
|
an |
||||||
> |
|
1 |
10 |
|
2 |
|
20 |
n |
|
n0 |
|
|
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯¯: (38)
¯
¯
¯
¯
¯
Главный определитель системы линейных алгебраических уравнений (38) íå равен нулю, и поэтому система имеет единственное решение.
Доказательство строится только для случая n = 2:
Пусть y(x) = C1z1(x) + C2z2(x) общее решение ЛОДУ (39)
a2y00 + a1y0 + a0y = 0 : |
(39) |
Общее решение ЛНДУ
a2y00 + a1y0 + a0y = q(x) |
(40) |
будет найдено в виде
y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) ; |
(41) |
ãäå z1(x) ; z2(x) базисные частные решения ЛОДУ, c1(x) ; c2(x) неизвестные пока
функции.
Найд¼м первую производную искомого решения,
y0(x) = c01(x)z1(x) + c1(x)z10 (x) + c02(x)z2(x) + c2(x)z20 (x) :
27
Потребуем, чтобы выполнялось равенство
c10 (x)z1(x) + c20 (x)z2(x) = 0 ; |
(42) |
тогда
y0(x) = c1(x)z10 (x) + c2(x)z20 (x) ; |
(43) |
y00(x) = c01(x)z10 (x) + c1(x)z100(x) + c02(x)z20 (x) + c2(x)z200(x) :
Потребуем, чтобы выполнялось равенство
c0 |
(x)z0 |
(x) + c0 |
(x)z0 |
(x) = |
q(x) |
; |
(44) |
|
|||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(x) |
|
|
|
||
|
|
y00(x) = c1(x)z00 |
(x) + c2(x)z00 |
(x) + |
: |
(45) |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
a2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим приготовленные выражения для |
y(x) ; y0(x) ; y00(x) |
|
выражения |
|||||||||||||
(41), (43), (45) в левуя часть ЛНДУ (40). Получим: |
(x)´+ |
|||||||||||||||
|
a2 ¢ µc1(x)z100(x) + c2(x)z200(x) + |
|
a2 |
¶ + a1 ¢ ³c1(x)z10 (x) + c2(x)z20 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+a0 ¢ ³c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x)´ = |
|
|
|||||||||||
= c1 |
(x) ¢ ³a2z100(x) + a1z10 (x) + a0z1(x)´ + ³a2z200(x) + a1z20 (x) + a0z2(x)´ + q(x) = |
|||||||||||||||
|
| |
|
{z |
|
|
} |
| |
|
|
|
{z |
|
|
} |
||
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
= q(x) :
Содержимое синих è фиолетовых скобок равно нулю, поскольку функции z1(x) ; z2(x) являются, по условию Теоремы, частными решениями ЛОДУ (39).
Итак, ЛНДУ (40) выполнено для предложенного выражения (41) благодаря тому, что предъявлены требования (42) и (44).
Осталось только собрать эти требования в систему двух уравнений относительно
28
двух неизвестных функций c01(x) ; c02(x) ;
(c10 (x)z10 (x) + c20 (x)z20 (x) = qa |
¯ |
|
|
2 |
¯ |
|
|
c10 (x)z1(x) + c20 (x)z2(x) = 0 |
¯ |
; |
(46) |
(x) |
¯ |
||
и решать е¼ для каждого рассматриваемого ЛНДУ второго¯ |
порядка. Сами функции |
c1(x) ; c2(x) получаются из c01(x) ; c02(x) простым интегрированием. Система (46) есть частный (для n = 2) случай системы (38).
Пример 16 Найти общее решение дифференциального уравнения
y00 ¡ 4y0 + 4y = 2 exp(2x) :
Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения,
y0(x) = C1 ¢ exp(2x) + C2
| {z }
= z1(x)
¢x exp(2x) ;
| {z }
=z2(x)
найденное в Примере 5, позволяет выписать общее решение неоднородного уравнения,
y(x) = c1(x)z1(x) + c2(x)z2(x) ;
и построить систему уравнений относительно его непостоянных коэффициентов |
||||||
½z10 |
(x)c10 |
(x) + z20 |
(x)c20 |
(x) = 2 exp(2x) |
¯ |
; |
z1 |
(x)c10 |
(x) + z2 |
(x)c20 |
(x) = 0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
½ |
exp(2x)c (x) + x exp(2x)c (x) = 0 |
|
|
¯ |
; |
2 exp(2x)10c10 (x) + (exp(2x)20+ 2x exp(2x))c20 (x) = 2 exp(2x) |
|||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
c0 (x) + xc20 (x) = 0 |
¯ |
: |
¯ |
(47) |
|
½21c10 (x) + (1 + 2x)c20 (x) = 2 |
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
29
Решим систему (47) методом Крамера.
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
x |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
¯ |
2 1 + 2x |
¯ |
= 1 + 2x ¡ 2x = 1 ; |
|
|
||||||||
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|||||||||||
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
1 |
= |
2 1 + 2x |
= ¡2x ; |
2 = |
2 2 |
= 2 ; |
|||||||||||
|
|
¯ |
0 |
|
|
x |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
1 0 |
¯ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
¯ |
|
|
c10 (x) = |
|
= ¡2x ; |
|
c20 (x) = |
|
= 2 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ZZ
c1(x) = c01(x)dx = (¡2x)dx = ¡x2 + C1 ;
ZZ
c2(x) = c02(x)dx = 2dx = 2x + C2 ;
y(x) = c1(x) ¢ z1(x) + c2(x) ¢ z2(x) = (¡x2 + C1) exp(2x) + (2x + C2) x exp(2x) =
= C1 exp(2x) + C2 x exp(2x) + x2 exp(2x) :
Результат совпал с результатом Примера 13.
Пример 17 Найти общее решение дифференциального уравнения
y00 + 9y = 18 cos(3x) :
Решение Общее решение соответствующего однородного уравнения,
y0(x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢
| {z }
= z1(x)
sin(3x) ;
| {z }
= z2(x)
30