Литература и лекции / DiffEqITMO

(члены, выписанные точно друг над/под другом, взаимно складываются либо взаимно уничтожаются; кроме того, {2 = ¡1)

= exp(®x) ¢ (C1 cos(¯x) + C2 sin(¯x)) = C1 exp(®x) cos(¯x) + C2 exp(®x) sin(¯x) :

Доказательство закончено.

Замечание В алгебре доказывается следующая теорема.

Если полином с вещественными коэффициентами (в частности, левая часть характеристического уравнения ЛОДУ с вещественными коэффициентами) имеет ком-

плексный корень ¸i = ®+¯¢{ кратности k ; то этот полином имеет, также, комплексносопряж¼нный к ¸i корень ¸i+1 = ¸i = ®¡¯ ¢ { той же кратности k :

Именно поэтому слагаемые в (19) è (20), соответствующие комлексному корню, выстраиваются "парами".

Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения

11

Решение Характеристическое уравнение

¸2 ¡ 5¸ + 6 = 0

имеет корни ¸1 = 2 ; ¸2 = 3 ; следовательно, общее решение имеет вид

y = y(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) :

Замечание Выражение для общего решения дифференциального уравнения содержит про-

извольные константы. Это означает, что решений у дифференциального уравнения бесконечно много,

Задача из жизни, как правило, должна иметь единственное решение. Следовательно, задача из жизни, помимо дифференциального уравнения, должна содержать некие дополнительные требования, позволяющие придать численные значения произвольным константам.

Определение

(ãäå x0 ; y0 ; y1 ; : : : yn¡1 постоянные числа) принято называть Задачей

Êîøè.

Первое из требований в (22) есть дифференциальное уравнение (3), прочие требования в (22) принято называть начальными условиями.

12

Решение Дифференциальное уравнение из (23) решено в предыдущем примере,

y(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) =) y0(x) = 2C1 exp(2x) + 3C2 exp(3x) :

Используем начальные условия,

Решение Характеристическое уравнение

¸2 ¡ 4¸ + 4 = 0 ;

(¸ ¡ 2)2 = 0

имеет один корень ¸1 = 2 кратности 2, следовательно, общее решение имеет вид

y(x) = C1 ¢ exp(2x) + C2 ¢ x exp(2x) ;

13

тогда

y0(x) = C1 ¢ 2 exp(2x) + C2 ¢ (2x + 1) exp(2x) :

Решение Характеристическое уравнение

¸4 + ¸3 = 0 ;

¸3 ¢ (¸ + 1) = 0

y(x) = C1 ¢ exp(0 ¢ x) + C2 ¢ x ¢ exp(0 ¢ x) + C3 ¢ x2 ¢ exp(0 ¢ x) + C4 ¢ exp(¡x) =

= C1 + C2 ¢ x + C3 ¢ x2 + C4 ¢ exp(¡x) ;

тогда

y0(x) = C2 + C3 ¢ 2x ¡ C4 ¢ exp(¡x) ;

14

y00(x) = C3 ¢ 2 + C4 ¢ exp(¡x) ; y000(x) = ¡C4 ¢ exp(¡x) :

Используем начальные условия,

=) y(x) = 3 ¡ 2x + 4x2 ¡ exp(¡x) :

Решение Характеристическое уравнение

¸2 + 9 = 0

имеет два простых корня

p p p

¸1;2 = § ¡9 = § 9 ¢ ¡1 = 0 § 3¢{ ;

таким образом, общее решение имеет вид

y(x) = C1 ¢ exp(0 ¢ x) cos(3x) + C2 ¢ exp(0 ¢ x) sin(3x) = C1 ¢ cos(3x) + C2 ¢ sin(3x) ;

и, следовательно,

y0(x) = C1 ¢ (¡3) ¢ sin(3x) + C2 ¢ 3 ¢ cos(3x) :

15

Решение Характеристическое уравнение

¸2 ¡ 6¸ + 13 = 0

имеет два простых корня

¸1;2 = 3 § p32 ¡ 13 = 3 § p¡4 = 3 § p4 ¢ p¡1 = 3 § 2¢{ ;

таким образом, общее решение имеет вид

y(x) = C1 ¢ exp(3x) cos(2x) + C2 ¢ exp(3x) sin(2x) ;

и, следовательно,

y0(x) = C1 ¢ exp(3x) ¢ (3 cos(2x) ¡ 2 sin(2x)) + C2 ¢ exp(3x) ¢ (2 cos(2x) + 3 sin(2x)) :

Используем начальные условия,

16

=) y(x) = 3 exp(3x) cos(2x) ¡ 2 exp(3x) sin(2x) :

Пример 9 Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение Характеристическое уравнение четв¼ртой степени

у кого-то, может быть, и вызовет затруднения, но только не у студентов СанктПетербургского университета ИТМО.

Этих студентов не остановит даже то неприятное обстоятельство, что, решая уравнение (29), сайт wolframalpha.com найд¼т корни, но не назов¼т их кратность.

В этой ситуации студенты обратятся к команде (функции) Factor ; которая разбивает свой единственный параметр на множители:

Ðèñ. 3

17

Из Рис. 3 ясно, что уравнение (29) равносильно уравнению

³ ´2 ³ ´2

x ¡ (3 + 2¢{) ¢ x ¡ (3 ¡ 2¢{) = 0 ;

и корни его,

¸1;2 = 3 § 2¢{ ;

имеют, каждый, кратность 2. Таким образом, общее решение содержит цепь из четыр¼х слагаемых и имеет вид

y(x) = C1 ¢ exp(3x) cos(2x) + C2 ¢ exp(3x) sin(2x) +

+ C3 ¢ x exp(3x) cos(2x) + C4 ¢ x exp(3x) sin(2x) :

Определение ЛНДУ (12) называется Линейным Íåоднородным Дифференциальным

Уравнением n го порядка со специальной правой частью, åñëè q(x) åñòü

функция специального вида.

Каждой их функций специального вида (не путать со специальными функциями) соответствует е¼ характеристическое число ° :

1. Полином

q(x) = bmxm + bm¡1xm¡1 + : : : + b1x + b0 ;

18

3. Линейная комбинация косинуса и синуса одного аргумента

q(x) = b0 cos(!x) + b1 sin(!x) ;

характеристическое число ° = ! ¢ { :

4. Общий вид функции специального вида

q(x) = (p1(x) cos(!x) + p2(x) sin(!x)) exp(Ãx)

(p1(x) ; p2(x) полиномы). Характеристическое число ° = Ã + ! ¢ { :

Теорема об общем решении ЛНДУ Общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения уравнения (4) è

частного решения уравнения (3).

Замечание Для построения общего решения íåоднородного дифференциального уравнения

следует найти общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения и сложить его с частным решением íåоднородного дифференциального уравнения.

Частное решение íåоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью следует строить в виде, "похожем"

на специальную правую часть. Если ki кратное характеристическое число ¸i ëå-

вой части совпад¼т с характеристическим числом правой части, будем говорить, что произошло ki кратное совпадение характеристических чисел. При таком совпадении

частное решение íåоднородного дифференциального уравнения должно иметь дополнительный множитель xki:

Как именно строить частные решения, лучше проследить по следующим нескольким примерам.

19

Пример 10 Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение

Общее решение неоднородного уравнения y(x) есть сумма общего решения однородного уравнения y0(x) и частного решения неоднородного уравнения y1(x), òî åñòü, y(x) = y0(x) + y1(x): Общее решение y0(x) = C1 exp(2x) + C2 exp(3x) найдено в

Примере 3.

Характеристическое число правой части ° = 0 ; и с ним не совпадают характе-

ристические числа левой части ¸1 = 2 ¸2 = 3 : Значит, дополнительный множитель

не требуется.

В правой части (30) стоит полином степени 1, следовательно, частное решение следует также разыскивать в виде полинома степени 1,

y1(x) = b1x + b0 ;

тогда

y10 (x) = b1 ; y100(x) = 0 :

Приготовленные выражения для искомой функции и е¼ производных подставим в уравнение (30):

0 ¡ 5b1 + 6(b1x + b0) = 6x + 7 ;

6b1x + (6b0 ¡ 5b1) = 6x + 7 :

Метод неопредел¼нных коэффициентов гласит: тождественное равенство поли-

20