Литература и лекции / DefiniteIntegral

можно, получив верный ответ, "даже и не заметить", что это, оказывается, был несобственный интеграл 2 го рода. Но не всегда пренебрежение разрывом 2 го рода оста¼тся безнаказанным.

В соответствии со свойством 8.2 определ¼нного интеграла, результат данного примера должен быть íåотрицательным.

Но результат отрицателен. Противоречие означает, что в построенном нами решении имеется ошибка.

Теорема о свойствах определ¼нного интеграла имеет силу только для интегри-

руемых функций. А функция sin2x [0; ¼]. И виной тому разрыв cos x íåинтегрируема на

2 го рода в точке x = ¼2 .

Кроме того, при наличии разрыва на промежутке интегрирования формула Ньютона Лейбница, вообще говоря, неверна.

Мы не имеем права называть исследуемый в данном примере интеграл несобственным, поскольку разрыв 2 го рода не на конце промежутка интегрирования.

Для прояснения ситуации попытаемся "разбить" интеграл на сумму двух инте-

21

гралов по свойству аддитивности 7:

Каждый из интегралов в правой части (18) есть расходящийся несобственный интеграл 2 го рода:

функции по этому промежутку не имеет права на существование ни как обычный, ни как несобственный.

Замечание А может ли один и тот же интеграл быть несобственным интегралом одновре-

менно 1 го и 2 го рода?

Строго говоря нет, поскольку 2 й род подразумевает конечный промежуток интегрирования, а 1 й род бесконечный промежуток.

И вс¼-таки есть интеграл, который имеет какие-то признаки несобственного интеграла 1 го рода и несобственного интеграла 2 го рода:

22

Замечание

Иногда, для краткости, функция обозначается, как y = y(x) ; а длина выража-

23

Тогда длина этого отрезка есть число

Z¯ q

L = (f('))2 + (f0('))2 ¢ d' : (21)

®

Замечание

Иногда, для краткости, функция обозначается, как r = r(') ; а длина выража-

24

Теорема

Длина отрезка гладкой кривой не зависит от того, каким из тр¼х вышеназванных способов этот отрезок задан.

Без доказательства.

Пример 10

Найти длину отрезка параболы y = x2 äëÿ x 2 [0; 1] : Решение, декартовы координаты, формула (19)

На рассматриваемом отрезке параболы наименьший полярный угол ® = 0 имеет

25

точка x = y = 0 ; наибольший полярный угол ¯ = ¼=4 имеет точка x = y = 1 :

Зел¼ный интеграл, к которому свелось применение формулы длины кривой в полярных координатах, совпадает с таким же интегралом, к которому свелось применение формулы длины кривой в декартовых координатах.

Определение

Пусть f : R ! R; и пусть f(x) гладкая на промежутке [a; b] :

Пусть отрезок кривой y = f(x) построен в декартовой системе координат

xOy äëÿ x 2 [a; b] :

Тогда площадь поверхности, полученной вращением этого отрезка вокруг оси Ox ; есть число

Zb q

S = 2¼ ¢ jf(x)j ¢ 1 + (f0(x))2 ¢ dx : (25)

a

26

Замечание

Иногда, для краткости, функция обозначается, как y = y(x) ; а площадь выра-

a

Определение

Пусть f : R ! R; и пусть f(') гладкая на промежутке [®; ¯] :

Пусть отрезок кривой r = f(') построен в полярной системе координат

rO' äëÿ ' 2 [®; ¯] :

Тогда площадь поверхности, полученной вращением этого отрезка кривой вокруг полярной оси Or; есть число

Z¯ q

S = 2¼ ¢ f(') sin ' ¢ (f('))2 + (f0('))2 ¢ d' : (27)

®

Замечание

Иногда, для краткости, функция обозначается, как r = r(') ; а площадь выражается формулой

Z¯ q

S = 2¼ ¢ r(') sin ' ¢ (r('))2 + (r0('))2 ¢ d' : (28)

®

27

Тогда площадь поверхности, полученной вращением этого отрезка кривой вокруг оси Ox ; есть число

t1

Теорема

Площадь поверхности, полученной вращением отрезка гладкой кривой вокруг оси Ox ; не зависит от того, каким из тр¼х вышеназванных способов

этот отрезок кривой задан. Без доказательства.

Пример 11

Найти площадь участка повеðõности параболоида, полученного вращением вокруг оси Ox отрезка параболы y = px äëÿ x 2 [0; 1] :

28

Решение, декартовы координаты, формула (26)

На рассматриваемом участке параболы наименьший полярный угол ® = ¼=4 имеет точка x = y = 1 : Ïðè x ! +0 точка с координатами (x; px) имеет полярный

угол, стремящийся к величине ¯ = ¼=2 :

¼=4

29